鲁教版 (五四制)八年级下册6 一元二次方程的应用教案

这是一份鲁教版 (五四制)八年级下册6 一元二次方程的应用教案，共8页。教案主要包含了探索规律，自学检测，合作探究，交流展示，归纳总结，随堂练习，问题解决，畅谈收获等内容，欢迎下载使用。

教学
内容
义务教育教科书（鲁教版）（五四制）数学八年级下册第八章第六节第三课时
教
材
分
析
一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。一元二次方程解实际问题的应用相当广泛，在几何、物理及其它学科中都有应用，因此它成为了初中数学学习的重点。这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。本节课主要侧重于一元二次方程在利润问题方面的应用。
学
情
分
析
大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集信息处理信息的能力较弱，而本节课涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定难度，这就构成了本节课的难点。
教学时，在审清题意的前提下，应注重解题思路的分析。
教
学
目
标
1.知识与技能：
1）能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
2）以一元二次方程解决实际问题为载体，加强学生对数学建模的基本方法的掌握。
2.过程与方法：
经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
3.情感、态度、价值观：
使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活
重
难
点
教学重点：
培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，学习数学建模思想。
教学难点：
发现问题中的等量关系，将类同题对比探究，培养学生分析、鉴别的能力。
教学
工具
多媒体投影、导学案
教学
方法
自主探索、合作交流，展示讲解、探究讨论等活动
教学
程序
教 师 活 动
学生活动
设计意图
创
设
情
境
引
入
新
课
谈话导入：跟学生以聊天的方式，说说早晨买煎饼果子的事情，询问老板成本以及销量的问题，从而引导学生说出体现的数量关系。
所以说利润是与生活实际联系非常密切的问题，我们知道商品的价格直接影响着销售数量，商家会根据实际情况作出价格的上调与下降，那么销售数量也会随之降低与增加，从而经常会利用一元二次方程解决生活中的利润问题，这节课我们就一起走进商场探究一下有关利润的问题，引出课题，板书。
出示本节课的学习目标。
学生说出两个等量关系：利润=售价-进价；总利润=单利润x数量。
对于某个新知识，学生接触频繁却又处于一知半解的状态，可以采取师生谈话的方式来导入。
一、探索规律(所有空格均列式表示)
问题I、某商品每件进价30元，售价40元，可得利润______元
（1）若涨价2元，则售价____元，利润__ _元。
（2）若涨价3元，则售价____元，利润___ 元。
（3）若涨价x元，则售价___ 元，利润 ___元。
（4）若降价x元，则售价___ 元，利润 ___元。
小组总结：一件商品的利润= ___________
如果该商品发生涨价或降价的变化，那么每件商品的利润=_____________
学生抢答，小组总结：如果该商品发生涨价或降价的变化，那么每件商品的利润等于什么？

问题I 比较简单，抢答的形式更能激发学生的兴趣，进一步巩固有关利润的等量关系，以及某一量发生变化后单利润的变化。
问题II、某商品原来每天可销售100件，后来进行价格调整。
1、市场调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件。
（1）若降价2元，则多卖___件，每天销量为__ _件
（2）若降价3元，则多卖___件，每天销量为___ 件
（3）若降价x元，则多卖___件，每天销量为___ 件
2、市场调查发现，该商品每涨价3元，商场平均每天可少销售5件。
（1）若涨价6元，则少卖___件，每天销量为 ____ 件
（2）若涨价9元，则少卖___件，每天销量为 ____ 件
（3）若涨价x元，则少卖____件，每天销量为 ___ 件
小组总结：价格调整后商品的销售量=
学生自主学习，独立填写，最后通过小组讨论得出规律性的结论。
问题II的设计层层递进，由浅入深探索出价格调整后单利润的变化和销量的变化，从而总结出一般规律。
自
主
学
习
二、自学检测
1、某品牌服装每件进价a元，售价b元，降价x元后则每件利润为 元。
2、商场销售某品牌服装，每天售出a件。调查发现，该服装每涨价20元，商场平均每天可少销售m件，如果涨价x元则商场平均每天可销售 件
每降价1元， 每天可多销售2件
每涨价3元， 每天可少销售5件
每涨价20元，每天可少销售m件
影 影
响 响
单利润 数量
这类题型都会出现的关键词“每涨x元或降x元，就少卖y件或多卖y件”，姑且我们称这类问题为“每每型”问题。本节课我们一定要对这样的关键句子进行特别关注！！！
学生快速独立完成。
学生思考三个句子的共同特征，小组讨论分析：由于价格的变化引起销量的变化，从而使单利润和数量发生怎样的变化。
考查对基本数量关系的掌握. 为后面的学习做好铺垫。
把三个关键句子单独提出来讨论 ，让学生明确单利润和数量是如何改变的。这也是利润问题难点的突破。
合
作
探
究
交
流
展
示
归
纳
总
结
三、合作探究
某商场鲜花礼品区将进价为20元/盒的百合，在参考价28-38元范围内定价为36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒。经调查发现，若每盒降价1元，平均每天就多卖10盒，要使利润达到750元，应将每盒降价多少元？
根据题意完成表格：

每盒利润（元）
每天销售（盒）
总利润（元）
降价前



降价x元



解：设每盒降价x元，由题意得：

（36-20-x）（40+10x）=750

解得：X1=1，X2=11（不合题意，舍去）
答：每盒降价1元。
如果没有参考价，而是为了让顾客得到更大的实惠呢？根的取舍又如何？如果没有任何附加条件呢？
变式1：某商场鲜花礼品区将进价为20元/盒的百合，在参考价28-38元范围内定价为36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒。经调查发现，若每盒降价1元，平均每天就多卖10盒，要使利润达到750元，应将每盒定价为多少元？
若只求“每盒定价为多少元？” 该怎样解答？说说你的思路。
解：设每盒定价x元，由题意得：
（x-20）[ 40+10（36-x）]=750
变式2：某商场鲜花礼品区将进价为20元/盒的百合，在参考价28-38元范围内定价为36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒。经调查发现，若每盒降价0.5元，平均每天就多卖5盒，要使利润达到750元，应将每盒降价多少元？（只列式不计算）
设每盒降价x元
四、交流展示
新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元。市场调研表明：当售价2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

每台利润（元）
每天销量（台）
总利润（元）
降价前



降价x元



解：设降价x元
（法二）解：设每台冰箱降x个50元，则每天多卖x个4台，由题意得：
五、归纳总结
议一议：利用方程解决实际问题的关键是什么？
对于这种“每…每…”型的利润问题，要抓住
五个量 ------进价，售价，数量，单利润，总利润；
两个等量关系----- 单利润=售价-进价； 总利润=单利润x数量
一个关键句子----- 售价每…销量每…
列方程解决应用题的一般步骤：
审，设，列，解，验，答。
要求：
1、在认真审题的过程中，划出题中的关键词，关键句子，思考每个数据代表的意义。
2、找出题中的等量关系。
3、可以借助表格分析题意。
困难的同学可以小组讨论，明确列方程的等量关系后独立解答。
学生到黑板板书，并详细讲解。有不对的地方其他同学补充。
由学生比较设定价和设降价的区别，分析鉴别两者有何不同
变式二学生独立列式，观察与原题的区别。
本道题由学生快速独立解决只列式不计算，指名板演，讲解分析等量关系。
解题思路不应拘泥于某一种，可以鼓励学生自主探索。
小组讨论此问题，并说出解决这种类型题需要注意什么？列方程解应用题的步骤是什么？
例题的选取我并没有选用课本例2，是因为要选取一道数据小一些计算相对简单并能进行巧算，且有两个不同的解，根据题意需要对根进行取舍的问题，这样可以完整的呈现利润问题中需要注意的其他问题。并且设置了变式一和变式二，使问题的难度层层递进，避免了课本例题的复杂。
1.列表的形式可以帮助学生理清题中复杂的数量关系。也是学生寻找等量关系常用的工具。
2.根的取舍问题是利润问题中很重要的一个环节。所以检验解的合理性这一点很重要。
变式一的设置让学生明确列方程时要选择恰当的未知数进行解设，对于本节课的利润问题一般设变化的量。这样在基本等量关系的表达和计算上也都简单一些。
变式二 是为了让学生学会把变化的量转化为单位量。
通过合作探究交流展示环节的设计有利于锻炼学生的语言表达能力，敢于展示自我，从而体验成功，收获快乐。
体现设不同未知数对解方程，检验方程解是否符合题意的影响。
到此学生已经完成了初中阶段各种方程的学习，进行简单的回顾是极为必要的。设计该环节力图让学生进一步理解利用方程（组）解决实际问题的关键是寻找等量关系
应
用
巩
固
六、随堂练习：
商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时商场每月能售出台灯多少个？
解：设每台涨价x元，由题意得：
（40-30+x）（600-10x）=10000
解得：X1=10，X2=40
40+10=50(元），600-10x10=500（台）
40+40=80(元），600-10x40=200（台）
答：售价应定为50元或80元，每月分别能售出500个或200个。
学生独立完成，并由学生板演。
使学生充分体会利润问题的数量关系，掌握两种及以上对象的变化的解题方法，进一步提升学生对这类问题的解题能力。
巩固练习旨在加深学生对利润问题同类型题目的理解。同时学生完整的解决此问题，经历间接设未知数并求出最后相对应的问题，呈现列方程、解方程的完整过程。
拓
展
深
化
七、问题解决
1、某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张。商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？(只列式不计算）
设每张应降价x元，可列方程__________________
解得：X1=0.1，X2= - 0.3
学生独立完成，教师巡视，尤其是价格变化后销量的表达式找同学解释一下。
本题旨在让学生进一步熟练利润问题的等量关系，加深对本节课知识的理解。
最后教师呈现问题的答案让学生对根进行取舍。
梳
理
反
思
收
获
感
悟
八、畅谈收获
1、你学会了哪些知识？
2、本节课你对自己表现的评价。
（对于这种“每…每…”型的利润问题，要抓住 ：五个量， 两个等量关系和一个关键句子。要善于将实际问题转化为数学问题,要深刻理解题意中的已知条件,严格审题,注意解方程中的巧算和方程两根的取舍问题。）
我参与!
我努力!
我快乐!
我的课堂我做主!
（教师对生生之间的评价做出肯定，并说出我们每个同学都是独一无二的自己，做最好的自己就是成功！）
学生小组交流后课堂交流，鼓励其他同学补充，完善和修改。
最后让学生对本小组的同学做出评价推选一个表现较好的同学，再在全班推选两个表现突出的。老师对同学们提出希望后全班同学齐读寄语。
回顾与反思，加深对本节课知识的理解，在学生充分交流的基础上，教师进行适当的点评，以正面肯定为主，同时指出需要改进的地方，帮助学生提高知识系统的自主建构能力。
测
试
反
馈
加
深
巩
固
九、课堂检测
1、七夕情人节期间，每束玫瑰盈利10元，平均每天可售出40束。为扩大销售量，经调查发现，若每束降价1元，则平均每天可多售出8束。如果小新家每天要盈利432，同时也让顾客获得最大的实惠，那么每束玫瑰应降价多少元？
2、一个农业大户收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格卖出。如果储藏起来，每周会损失2吨，且每周需支付各种费用1600元，但同时每周每吨的价格将上涨200元。储藏多少个周出售这批农产品可获利176000元？
学生检测，做得快的同学选做第2题。检验本节课学习效果。当堂统计学生的准确率，给全对的同学加分奖励。
第1个题目的设计紧扣本节课所学类型，加深了学生对解决利润问题各个环节的理解。
第2题也是课本的一道问题解决，旨在拓展学生的思维，利用了总利润=总售价-总成本 的等量关系。
板
书
设
计
一元二次方程的应用 (3)
利润 = 售价 – 进价 “每…每…型”
总利润 = 单利润 x 数量 五个量，两个等量关系，一个关键句子
1.解：设每盒降价x元，由题意得：
（36-20-x）（40+10x）=750
解得：X1=1，X2=11（不合题意，舍去）
答：每盒降价1元。
2.解：设每台涨价x元，由题意得：
（40-30+x）（600-10x）=10000
解得：X1=10，X2=40
40+10=50(元），600-10x10=500（台） （第2题在黑板右侧）
40+40=80(元），600-10x40=200（台）
答：售价应定为50元或80元，每月分别能售出500个或200个。