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2020-2021学年1.1 集合第二课时导学案
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第二课时 表示集合的方法
语言是人与人之间相互联系的一种方式,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐”,用繁体中文为“生日快樂”,英文为“Happy Birthday”……
[问题] 对于一个集合,有哪些不同的表示方法呢?
知识点一 列举法
把集合中的元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法.
用列举法表示集合的注意点
(1)元素与元素之间需用“,”隔开;
(2)集合中的元素必须是确定的;
(3)不必考虑元素出现的前后顺序,但不能重复.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
答案:(1)× (2)×
2.不等式x-3<2且x∈N+的解集用列举法可表示为____________.
答案:{1,2,3,4}
知识点二 描述法
把集合中元素共有的,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,以确定这个集合,这种表示方法叫作描述法.
用描述法表示集合的注意点
(1)写清楚集合中的代表元素,如数或点等;
(2)说明该集合中元素的共同属性,如满足的方程、不等式、函数或几何图形等;
(3)所有描述的内容都要写在大括号内,用于描述内容的语言力求简洁、准确;
(4)“{}”有“所有”“全体”的含义,因此自然数集可以表示为{x|x为自然数}或N,但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}.
1.用描述法表示函数y=3x+1图象上的点的集合是( )
A.{x|y=3x+1} B.{y|y=3x+1}
C.{(x,y)|y=3x+1} D.{y=3x+1}
答案:C
2.由大于-1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________,用描述法表示为________.
解析:大于-1小于5的自然数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为{0,1,2,3,4},用描述法表示可用x表示代表元素,其满足的条件是x∈N且-1<x<5.故用描述法表示集合为{x∈N|-1<x<5}.
答案:{0,1,2,3,4} {x∈N|-1<x<5}
知识点三 区间的相关概念
1.区间的概念及记法
设a,b是两个实数,且a<b,我们规定:
定义 | 名称 | 符号 | 数轴表示 |
{x|a<x<b} | 开区间 | (a,b) | |
{x|a≤x≤b} | 闭区间 | [a,b] | |
{x|a≤x<b} | 左闭右开区间 | [a,b) | |
{x|a<x≤b} | 左开右闭区间 | (a,b] |
2.无穷大
实数集R可以表示为(-∞,+∞),符号“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.
3.特殊区间的表示
定义 | 区间 | 数轴表示 |
{x|x≥a} | [a,+∞) | |
{x|x>a} | (a,+∞) | |
{x|x≤b} | (-∞,b] | |
{x|x<b} | (-∞,b) |
理解区间概念时的注意点
(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开;
(2)区间表示实数集的三个原则:连续的数集,左端点必须小于右端点,开或闭不能混淆;
(3)“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数,以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.
用区间表示下列数集:
(1){x|x≥1}=________;
(2){x|2<x≤3}=________;
(3){x|-1<x<2}=________.
答案:(1)[1,+∞) (2)(2,3] (3)(-1,2)
用列举法表示集合 |
[例1] (链接教科书第4页例3)用列举法表示下列集合:
(1)方程x2-1=0的解组成的集合;
(2)单词“see”中的字母组成的集合;
(3)所有正整数组成的集合;
(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
[解] (1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为{-1,1}.
(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.
(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.
(4)方程组的解是所求集合用列举法表示为{(1,1)}.
列举法表示集合的步骤及注意点
分清元素 | 列举法表示集合,要分清是数集还是点集 |
书写集合 | 列元素时要做到不重复、不遗漏 |
[提醒] 二元方程组的解集、函数的图象、点形成的集合都是点的集合,一定要写成实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开.如{(2,3),(5,-1)}.
[跟踪训练]
把集合{x|x2-4x+3=0}用列举法表示为( )
A.{1,3} B.{(1,3)}
C.{x2-4x+3=0} D.{x=1,x=3}
解析:选A 解方程x2-4x+3=0得x=1或x=3,用列举法表示解集为{1,3}.
用描述法表示集合 |
[例2] (链接教科书第5页例4)用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;
(3)不等式x-2<3的解组成的集合.
[解] (1){(x,y)|y=-x}.
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}.
(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.
描述法表示集合的2个步骤
[跟踪训练]
方程组的解集不能表示为( )
A.
B.
C.{1,2}
D.{(x,y)|x=1,y=2}
解析:选C 二元一次方程组的解是一个有序实数对,故C错.
用区间表示集合 |
[例3] (链接教科书第5页例5)用区间表示下列集合:
(1){x|x>-1}=________;
(2){x|2<x≤5}=________;
(3){x|x≤-3}=________;
(4){x|2≤x≤4}=________.
[解析] (1)集合{x|x>-1}可用开区间表示为(-1,+∞);(2)集合{x|2<x≤5}可用半开半闭区间表示为(2,5];(3)集合{x|x≤-3}可用半开半闭区间表示为(-∞,-3];(4)集合{x|2≤x≤4}可用闭区间表示为[2,4].
[答案] (1)(-1,+∞) (2)(2,5] (3)(-∞,-3] (4)[2,4]
用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值;
(2)区间两端点之间用“,”隔开;
(3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号;
(4)以“-∞”,“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号.
[跟踪训练]
1.区间(-3,2]用集合可表示为( )
A.{-2,-1,0,1,2} B.{x|-3<x<2}
C.{x|-3<x≤2} D.{x|-3≤x≤2}
解析:选C 由区间和集合的关系,可得区间(-3,2]可表示为{x|-3<x≤2},故选C.
2.已知区间(4p-1,2p+1)为一确定区间,则p的取值范围为________.
解析:由题意,得4p-1<2p+1,所以p<1.
答案:(-∞,1)
1.(2021·北京育才学校月考)集合{x∈N+|x<6}的另一种表示方法是( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
解析:选D 易知集合化简为{1,2,3,4,5}.故选D.
2.集合用描述法可表示为( )
A.
B.
C.
D.
解析:选D 由3,,,,即,,,,
从中发现规律,x=,n∈N+,
故可用描述法表示为.
3.(多选)M={(x,y)|x+y≤1,x∈N,y∈N}中的元素有( )
A.(0,0) B.(0,1)
C.(1,0) D.(2,-1)
解析:选ABC ∵M={(x,y)|x+y≤1,x∈N,y∈N},
∴或或
∴M={(0,0),(0,1),(1,0)}.
4.若(a,3a-1]为一确定区间,则实数a的取值范围是________.
解析:∵(a,3a-1]为一确定区间,∴a<3a-1.解得a>,∴实数a的取值范围是.
答案:
5.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程(x+1)(x2-2)=0的解集;
(2)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合.
解:(1)解方程(x+1)(x2-2)=0,得x=-1或x=±,故其解集用集合表示为{-1,-,}.
(2)代表元素是有序实数对(x,y),用描述法表示集合为{(x,y)|x<0,且y>0}.
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