高中数学湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合学案及答案

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合学案及答案，共11页。


1．1.2　子集和补集

新课程标准解读
核心素养
1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集
数学抽象、逻辑推理
2.了解全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集
数学抽象、数学运算
3.能理解用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用
数学抽象、直观想象



一望无际的草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑．如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.

[问题]　(1)集合A与集合B存在什么关系？
(2)如何用数学语言来表示这两个集合之间的关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　子集
1．韦恩图(Venn图)
用平面上封闭曲线的内部表示集合．如图，这类表示两集合间关系的示意图叫作韦恩图(即Venn图)．
2．子集

3．两个集合相等

4．真子集
定义：如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集．


集合间关系的性质
(1)空集包含于任一集合，是任一集合的子集；
(2)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；
(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若AB，B⊆C，则AC.　　　　

1．符号“∈”与“⊆”有什么区别？
提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.
②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}．
③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．
2．∅与0，{0}，{∅}有何区别？
提示：

∅与0
∅与{0}
∅与{∅}
相同点
都表示无的意思
都是集合
都是集合
不同点
∅是集合；


0是实数
∅不含任何元素；{0}含一个元素0
∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅

关系
0∉∅
∅{0}
∅{∅}


1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则(　　)
A．P∈Q　　　　　　　　　 B．P⊆Q
C．Q⊆P D．Q∈P
解析：选C　集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P.
2．已知集合A＝{x|－1 A．BA B．AB
C．B 解析：选A　由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可．如图所示，由图可知，BA.

3．设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝________．
解析：因为{2，9}＝{1－a，9}，则2＝1－a，所以a＝－1.
答案：－1
知识点二　补集
1．全集：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定集合U叫作全集(或基本集)．
2．补集
定义
若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集，叫作A的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言

[注意]　B[BT(＝{x|x∈B，且x∉A}

1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
2．补集的性质
(1)若A⊆U，则①∁UA⊆U；②∁U(∁UA)＝A；③(∁UU)＝∅；④∁U∅＝U.
(2)已知A⊆U，B⊆U，相关结论如下：
①若A⊆B，则∁UA⊇∁UB；②若∁UA⊇∁UB，则A⊆B.
特别地，若A＝B，则∁UA＝∁UB；反之，若∁UA＝∁UB，则A＝B.　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数集问题的全集一定是R.(　　)
(2)集合∁BC与∁AC相等．(　　)
(3)一个集合的补集中一定含有元素．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则∁UM＝____________．
解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以∁UM＝{2，4，6}．
答案：{2，4，6}
3．若全集U＝{x|－2≤x≤2}，则集合A＝{x|－2≤x≤0}的补集∁UA＝________．
解析：借助数轴易得∁UA＝{x|0
答案：{x|0 4．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝________．
解析：∵U＝{0，1，2}，∁UA＝{2}，
∴A＝{0，1}．
答案：{0，1}


集合间关系的判断
[例1]　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1 (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}；
(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}．
[解]　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.

(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.
(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意n∈Z，n＝2×(－n)＋3n∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，因为任意n∈Z，n＝4n－3n∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z.

判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系；
(2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系；
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．　　　　
[跟踪训练]
1．(多选)下列关系中，正确的有(　　)
A．0∈{0}　　　　　　　 B．∅{0}
C．{0，1}{(0，1)} D．{(1，2)}＝{(2，1)}
解析：选AB　对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}正确；对于C，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以C错误；对于D，{(1，2)}与{(2，1)}是不同的点集，所以D错误．
2．能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)

解析：选B　解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．
3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.
答案：(1)＝　(2)　(3)　(4)∈

确定有限集合的子集、真子集及其个数
[例2]　(链接教科书第7页例6)(1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个．
[解析]　(1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素的真子集为∅，含有1个元素的真子集有3个{1}，{2}，{3}，含有2个元素的真子集有{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B.
(2)由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有五个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足题意的集合M共有7个．
[答案]　(1)B　(2)7

求集合子集、真子集个数的3个步骤
　　　　
[跟踪训练]
已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．
解：∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}，
∴A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
A的真子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}.

补集的求法
[例3]　(链接教科书第7页例7)(1)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM＝(　　)
A．U　　　　　　　　　 B．{1，3，5}
C．{3，5，6} D．{2，4，6}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁UA＝________．
[解析]　(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知∁UM＝{3，5，6}．
(2)如图，在数轴上表示出集合A，可知∁UA＝{x|－2≤x≤2}．

[答案]　(1)C　(2){x|－2≤x≤2}

求集合补集的2种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．　　　　
[跟踪训练]
若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求∁SA.
(1)S＝R；
(2)S＝{x|x≤2}；
(3)S＝{x|－4≤x≤1}．
解：(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．

由图知∁SA＝{x|x<－1或x≥1}．
(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．

由图知∁SA＝{x|x<－1或1≤x≤2}．
(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．

由图知∁SA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}．


由集合间的关系求参数值(范围)
[例4]　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|11)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．
[解析]　由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4，
又m>1，所以1
[答案]　(1，4]
[母题探究]
1．(变条件)本例若将“B＝{x|11)”改为“B＝{x|1 解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A.
若m>1，则由例题解析可知1 综上可知实数m的取值范围是(－∞，4]．
2．(变条件)本例若将“B＝{x|11)”改为“B＝{x|2m－1 解：因为B⊆A，
①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠∅时，有
解得－1≤m<2.
综上得实数m的取值范围为[－1，＋∞)．
3．(变条件)本例若将集合A，B分别改为A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}，其他条件不变，则实数m的值又是什么？
解：因为B⊆A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，A＝{－1，3，1}，B＝{3，1}满足B⊆A.所以m的值为1.

由集合间的包含关系求参数的方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，建立方程(组)求解，此时应注意分类讨论；
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
[注意]　(1)不能忽视集合为∅的情形；
(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．　　　　
[跟踪训练]
1．设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，∁UA＝{5}，则实数a的值为________．
解析：∵∁UA＝{5}，∴5∈U，且5∉A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3，2}，U＝{2，3，5}，符合题意．
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9，2}，U＝{2，3，5}，
不满足条件∁UA＝{5}，故a＝－4舍去．
综上知a＝2.
答案：2
2．设全集U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若∁UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________．
解析：∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∴∁UA＝{x|xb}．
又∵∁UA＝{x|x<3或x>4}，∴a＝3，b＝4，∴a＋b＝7.
答案：7

子集个数的探究
观察下表并回答后面的问题.
集合B
集合A
关系
所有子集
集合C的个数
{a}
{a，b}
B⊆C⊆A
{a}，{a，b}
2
{a}
{a，b，c}
B⊆C⊆A
{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}
4
{a}
{a，b，c，d}
B⊆C⊆A
{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}
8

[问题探究]
1．若集合A有n个元素，则集合A有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？
提示：若集合A含有n个元素，则集合A有2n个子集；其真子集要去掉集合A本身，故有2n－1个；非空真子集要去掉集合A本身与空集，故有2n－2个．
2．对于有限集A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中有m个元素(n，m∈N，且n>m)．
(1)当B⊆C⊆A时，满足条件的C有多少个？
(2)如果集合C分别满足如下条件：B⊆CA，BC⊆A，BCA，那么C的个数为多少？
提示：(1)由表格中的集合可知，若B⊆C⊆A，则集合C中一定有集合B的全部元素，也就是A中元素去掉B中元素后剩余元素构成的集合的子集，故有2n－m个．
(2)①当B⊆CA时，在问题(1)的基础上，去掉与A集合相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个．
②当BC⊆A时，在问题(1)的基础上，去掉与B集合相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个．
③当BCA时，在问题(1)的基础上，去掉与A，B相等的两个集合，故有2n－m－2个．
[迁移应用]
如果{2，3}A⊆，则满足条件的集合A是什么？共有多少个？
解：∵x∈N，验证可知＝{1，2，3，4}，
∴{2，3}A⊆{1，2，3，4}，
∴A可能为{1，2，3}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，共有3个．

1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是(　　)
A．A⊆B　　　　　　　 B．A⊇B
C．AB D．AB
解析：选D　集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以BA.
2．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B⊆A，则a的值为________．
解析：由题意得1－2a＝3或1－2a＝a，
解得a＝－1或a＝.
当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合条件．
当a＝时，A＝，B＝，符合条件．
所以a的值为－1或.
答案：－1或
3．设全集U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0，x∈U}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________．
解析：∵∁UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，
∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.
答案：－3