专题19 奇偶函数图象的对称性-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

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1．（2008•全国卷Ⅱ）函数的图象关于
A．轴对称B．直线对称C．坐标原点对称D．直线对称
【解析】解：
是奇函数，所以的图象关于原点对称
故选：．
2．（2019•长春四模）若函数与的图象的交点为，，，，，，，则
A．2B．4C．6D．8
【解析】解：函数关于直线对称
（满足，
也关于直线对称，
当时，单调递增，（1），
（4），
如图，两个函数图象只有两个交点，
故选：．
3．（2019秋•梅州月考）已知函数，则
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．在上单调递减，在上单调递增
【解析】解：，则函数定义域为，（1），（3），
即（3）（1），有关于点对称的可能，进而推测为奇函数，关于原点对称，
，定义域为，奇函数且单调递增，为向右平移两个单位得到，
则函数在单调递增，关于点对称，
故选：．
4．（2019秋•明山区校级期末）函数的图象关于 对称
A．原点B．C．轴D．轴
【解析】解：．
则，即函数是偶函数，
则函数的图象关于轴对称，
故选：．
5．（2019•思明区校级模拟）若函数图象与函数的图象关于原点对称，则
A．B．
C．D．
【解析】解：设是函数的图象上任意一点，其函数图象上关于原点对称的点是．
因为点在函数的图象上，所以，
即，
故选：．
6．（2020春•兴庆区校级月考）已知函数，则
A．函数的图象关于对称
B．函数的图象关于对称
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
【解析】解：不是偶函数，的图象不关于对称，的图象不关于对称，即错误；
不是偶函数，从而得出的图象不关于对称，即错误；
，是奇函数，图象关于对称，的图象关于对称，即正确；
，不是奇函数，的图象不关于对称，即错误．
故选：．
7．（2020•洛阳一模）设是定义在上的函数，满足条件，且当时，，则，的大小关系是
A．B．C．D．
【解析】解：由可得函数的图象关于对称，
又当时，单调递减，故时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，
，，，
故．
故选：．
8．（2020春•东安区校级月考）已知定义在上的函数满足，，且当，时，，则
A．0B．1C．D．2
【解析】解：，，
，即有，
即函数是周期为2的函数，
当，时，，
（1），
故选：．
9．（2019秋•惠山区校级月考）函数的图象一定关于
A．轴对称B．轴对称C．原点对称D．直线对称
【解析】解：函数的定义域为，
则，
则函数为奇函数，
则图象关于原点对称，
故选：．
10．（2019秋•凯里市校级期末）已知函数的定义域是，，与的图象关于点成中心对称，若在上有意义，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由已知得，，
在上恒成立，
，
故选：．
11．（2019•桃城区校级模拟）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是
A．B．C．D．
【解析】解：设为所求函数图象上的任意一点，它关于直线对称的点是．
由题意知点在函数的图象上，
则．
即．
故选：．
12．（2019春•城关区校级月考）函数的图象关于 对称．
A．轴B．轴C．原点D．
【解析】解：的定义域，
又，即函数为奇函数，图象关于原点对称．
故选：．
13．（2019秋•沙坪坝区校级期末）已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】解：，则关于对称，且当时，为增函数，
由，等价，
平方得，解得
故选：．
14．（2020•包头二模）已知函数，则
A．在单调递增
B．在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【解析】解：根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为；
，
设，则，
在区间上，为增函数，为增函数，故在上为增函数，
在区间上，为减函数，为增函数，故在上为减函数，
故错误；
函数，其定义域为，
，故函数的图象关于直线对称，正确，错误；
故选：．
二．多选题（共1小题）
15．（2020秋•历下区校级期中）关于函数，下列结论正确的是
A．的图象过原点
B．是奇函数
C．在区间上单调递减
D．是定义域上的增函数
【解析】解：函数，，对；
图象关于点对称，错；
在，是减函数，整个定义域上不是减函数，
故对，错，
故选：．
三．填空题（共6小题）
16．（2019•洛阳模拟）若函数为奇函数，则 ．
【解析】解：根据题意，当时，，
为奇函数，
（1），
则（3）；
故答案为．
17．（2020•南京模拟）函数为定义在上的奇函数，且满足，若（1），则（1）（2） 3 ．
【解析】解：函数为定义在上的奇函数，且满足，
，
即，则，
则函数的周期为4，
（1），，（2），（3）（1），（4），
则（1）（2）（3）（4），
则（1）（2）（1）（2）（1）（2）（3）（4），
故答案为：3．
18．（2019•苏州一模）已知奇函数的图象关于直线对称，当，时，，则 ．
【解析】解；图象关于直线对称
是奇函数
，
即，
故，
进而
是以8为周期的周期函数．
（1）
故答案为：
19．（2019秋•浦东新区校级期末）已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则的所有实数根之和为 0 ．
【解析】解：函数是偶函数
其图象关于轴对称
其图象与轴有四个交点也关于轴对称
方程 的所有实根之和为0
故答案为：0
20．（2019秋•新吴区校级月考）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且在，上单调递增，若点，都是函数图象上的点，且，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：定义在上的函数的图象关于直线对称，且在，上单调递增，
构造函数，
则由，得，
即，
即，
平方得，
得，
即，
即实数的取值范围是，
故答案为：．
21．（2019•普陀区二模）设函数的图象关于原点对称，且存在反函数．若已知（4），则 ．
【解析】解：函数的图象关于原点对称，此此函数在定义域上是奇函数，
（4），，
由于存在反函数，则．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
22．（2019•黄浦区一模）已知函数（其中，，，是实数常数，
（1）若，函数的图象关于点成中心对称，求，的值；
（2）若函数满足条件（1），且对任意，，总有，，求的取值范围；
（3）若，函数是奇函数，（1），，且对任意，时，不等式恒成立，求负实数的取值范围．
【解析】解（1），
．
类比函数的图象，可知函的图象的对称中心是．
又函的图象的对称中心，．
（2）由（1）知，．
依据题意，对任，，恒，．
①，，符合题意．
②，时，对任，，恒，不符合题意．
所，函，上是单调递减函数，且满．
因此，当且仅（3），
即时符合题意．
综上，所实数的范围．
（3）依据题设，解
于是．
由，得，
．
因此，．
函数在，是增函数，
（1）．
所求负实数的取值范围．
故答案为．
23．（2019秋•合肥期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”．
（1）已知二次函数，试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；
（2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）由可得显然有解或，
故为“局部中心函数，
（2）若为局部中心函数，则有解，
得，
令，
从而在，有解．
①当（2）时，在，有解，
由（2），即，解得；
②当（2）时，在，有解等价于，
解得，
综上，所求实数的取值范围为
24．（2019秋•临汾期末）已知函数的图象关于坐标原点对称．
（1）求实数的值；
（2）比较（2）与（3）的大小，并请说明理由．
【解析】解：（1），
．
又函数的图象关于坐标原点对称，
，
，
，
，
，或．
验证知，不成立，．
（2）据（1）求解知，，（7分）（2），（3）．
讨论：当时，函数在上单调递增，（2）（3）；
当时，函数在上单调递减，（2）（3）．
25．（2019秋•武昌区校级期中）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“类对称函数”．
（1）判断函数是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的的值；若不是，请说明理由；
（2）若函数为定义在，上的“类对称函数”，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）是，且满足条件的为1．
，设实数满足，即，解得，
所以函数是“类对称函数”，且满足条件的为1；
（2）因为是“类对称函数”，
所以存在，，使得，，
设，则，
所以的取值范围是．
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日期：2020/12/14 16:59:47；用户：王思宇；邮箱：hngsgz047@xyh.cm；学号：25355895