专题31 幂函数的性质-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

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幂函数的性质一．选择题（共14小题） 1．（2019秋•南平期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为　　A． B．1 C．2 D．1或2【解析】解：幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，，解得．故选：．2．（2019秋•太和县校级期末）幂函数在为减函数，则的值为　　A．1或3 B．1 C．3 D．2【解析】解：为幂函数，解得或．由当时为减函数，则，解得．，故选：．3．（2019•大武口区校级三模）已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．【解析】解：由点在幂函数的图象上，得，即．，单调递增，又，，．故选：．4．（2020秋•济南期中）设，则，，的大小顺序是　　A． B． C． D．【解析】解：，，；且，函数在上是单调增函数，所以，所以；综上知，．故选：．5．（2019秋•黄山期末）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为　　A．，1，3 B．，1 C．，3 D．1，3【解析】解：当时，函数的定义域为，不满足定义域为；当时，函数的定义域为且为奇函数，满足要求；当函数的定义域为，不满足定义域为；当时，函数的定义域为且为奇函数，满足要求；故选：．6．（2019秋•琼海校级月考）若函数是幂函数且为奇函数，则的值为　　A．2 B．3 C．4 D．2或4【解析】解：函数为幂函数，，或，当时，是奇函数，满足题意，当时，是奇函数，满足题意；或4，故选：．7．（2020春•工农区校级期末）已知幂函数在上为增函数，则值为　　A．4 B．3 C． D．或4【解析】解：幂函数中，令，解得或；当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，不合题意；综上知值为4．故选：．8．（2019•陕西二模）已知点在幂函数图象上，设，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．【解析】解：点在幂函数图象上，（2），解得，，设，，，，，，的大小关系是．故选：．9．（2020春•清江浦区校级期末）已知，，，，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则的值为　　A． B． C． D．2【解析】解：幂函数为奇函数，且在上单调递减，为奇数且，，故选：．10．（2020春•兴庆区校级期末）已知幂函数的图象过点，则该函数的单调递减区间是　　A． B． C． D．【解析】解：设幂函数的解析式为，图象过点，即，可得，可知幂函数是偶函数，且，在单调递增；在单调递减；故选：．11．（2020秋•南昌县校级月考）幂函数为单调函数，则实数的值为　　A．2 B．3 C．4 D．2或4【解析】解：幂函数中，令，得，解得或．当时，，在定义域内的每个区间上是单调函数，不满足题意；当时，，在定义域上是单调增函数，满足题意．故选：．12．（2020秋•贵池区校级期中）已知函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则　　A．2 B．3 C．4 D．5【解析】解：函数，其中，函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，，解得，．故选：．13．（2020秋•湖北期中）若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值是　　A． B． C．或 D．【解析】解：由题意，或当时，幂函数为，图象不过原点，且关于轴对称，不合题意；当时，幂函数为，图象不过原点，且关于原点对称，符合题意；故选：．14．（2019•沈阳校级模拟）已知幂函数的图象经过点，，，，，是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　　A．①② B．①③ C．②④ D．②③【解析】解：依题意，设，则有，即，所以，，于是．由于函数在定义域，内单调递增，所以当时，必有，从而有，故①错误，②正确；又因为，分别表示直线、的斜率，由于函数的增长速度越来越慢，结合函数图象，容易得出直线的斜率大于直线的斜率，故，所以③正确，故选：．二．填空题（共17小题）15．（2019•武汉校级模拟）若幂函数的图象不过原点，则是　或　．【解析】解：幂函数的图象不过原点，，解得或．故答案为：或．16．（2019•上海模拟）已知，幂函数为偶函数，且在上是增函数，则（2）的值为　16　．【解析】解：幂函数为偶函数，且在上是增函数，则指数是偶数且大于0，，因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得非整数，，，（2）．17．（2019春•烟台期末）幂函数在上为增函数，则　2　．【解析】解：函数是幂函数可得解得或2，当时，函数为在区间上单调递减，不满足题意；当时，函数为在上单调递增，满足条件．故答案为：2．18．（2019秋•宛城区校级月考）已知幂函数为奇函数，则不等式的解集为　　．【解析】解：幂函数为奇函数，且为奇数；解得；，且在上为增函数；由不等式，；不等式；不等式；．所以不等式的解集为．故答案为：．19．（2019秋•和平区校级期中）函数是幂函数且在上单调递减，则实数的值为　2　．【解析】解：函数是幂函数，，解得或；当时，，函数在上单调递减，满足题意；当时，，函数不满足题意；综上，实数的值为2．故答案为：2．20．（2019•杨浦区校级三模）幂函数的图象经过点，则它的单调减区间为　　【解析】解：幂函数的图象经过点，，解得，幂函数，它的单调减区间为．故答案为：．21．（2019秋•杨浦区校级期末）幂函数为偶函数，且在上是减函数，则　3　．【解析】解：幂函数，在上是减函数，，且，，，又，，1，2，又幂函数为偶函数，，，故答案为：3．22．（2019秋•沙依巴克区校级期中）已知函数，且，则的取值范围是　　．【解析】解：函数是增函数，且，解得故答案为23．（2019秋•海淀区校级期末）函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值是　3　．【解析】解：由函数是幂函数，得，即，解得或；又为偶函数，即为偶数，所以实数的值是3．故答案为：3．24．（2019秋•小店区校级月考）已知，则的取值范围　．　．【解析】解：幂函数当时为偶函数，在上是减函数，在上是增函数，所以由，有，解得且，故答案为：．25．（2019秋•衡阳县期末）已知幂函数的图象过点，则　　．【解析】解：，解得，故答案为：26．（2019秋•徐汇区校级期末）已知幂函数是上的增函数，则的值为　3　．【解析】解：函数是幂函数，则，即，解得或；当时，不是上的增函数，不满足题意；当时，是上的增函数，满足题意．则的值为3．故答案为：3．27．（2019•福田区校级一模）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是　　．【解析】解：，则，由，；则满足不等式的实数的取值范围是，故答案为：．28．（2019春•如皋市期末）已知幂函数的图象过点，则的单调减区间为　　．【解析】解：设幂函数为常数），图象过点，，解得．．则的单调减区间为．故答案为：．29．（2019秋•武昌区校级期中）已知幂函数为偶函数，且满足（3）（5），则　2　．【解析】解：幂函数为偶函数，，求得，且，3，5，满足（3）（5），即，故为正偶数，．则，故答案为：2．30．（2020秋•红岗区校级期中）幂函数在上为减函数，则的值为　1　；【解析】解：函数是幂函数，，即，解得或．又幂函数在上为减函数，，即，故．故答案为：1．31．（2019秋•沙坪坝区校级期末）幂函数在单调递减，则实数的值为　1　．【解析】解：幂函数在单调递减，，解得．实数的值为1．故答案为：1．三．解答题（共7小题）32．（2019秋•舒城县期末）已知幂函数在上单调递增，函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当，时，记，的值域分别为集合，，若，求实数的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）依题意得：，解得或当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，，单调递增，，，，，，解得，故实数的取值范围为，33．（2019秋•襄阳期末）已知函数为幂函数，且为奇函数．（1）求的值；（2）求函数在，的值域．【解析】解：（1）函数为幂函数，，或，当时，是偶函数，不满足题意，当时，是奇函数，满足题意；，（2），，令，解得，当时，即时，函数为减函数，函数在，为减函数，即故函数的值域为，34．（2019秋•杨浦区校级期末）已知幂函数是奇函数，且（1）（2）．（1）求的值，并确定的解析式；（2）求，，的值域．【解析】解：（1）幂函数是奇函数，且（1）（2）．是正奇数，且，，．（2），，，当时，取最小值，当时，取最大值11．，的值域为，．35．（2019秋•龙华区期末）已知幂函数在上单调递增，又函数．（1）求实数的值，并说明函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）因为是幂函数，所以，解得或，（2分）又因为在上单调递增，所以，即，即，则，（4分）因为与均在上单调递增，所以函数在上单调递增．（6分）（2）因为，所以是奇函数，（8分）所以不等式可变为，（9分）由（1）知在上单调递增，所以，解得．故实数的取值范围是，．（12分）36．（2019秋•南关区校级期末）已知幂函数的图象经过点．（1）求幂函数的解析式；（2）试求满足的实数的取值范围．【解析】解：（1）幂函数的图象经过点，，解得，幂函数；（2）由（1）知在定义域，上单调递增，则不等式可化为，解得，实数的取值范围是，．37．（2019秋•红岗区校级期末）已知幂函数，且在上为增函数．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1），即，则，解得或，当时，，当时，，在上为增函数，；（2）由（1）得定义域为，且在上为增函数，解得：，所以的取值范围为：．38．（2020秋•大武口区校级月考）已知幂函数．（1）求的解析式；（2）若图象不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间．若图象经过坐标原点，解不等式．【解析】解：（1）幂函数中，令，得，解得或；当时，；当时，；（2）若图象不经过坐标原点，则；所以函数的单调减区间是和．若图象经过坐标原点，则；不等式即为，化简得，解得，所以不等式的解集为．