专题20 奇偶性与单调性的综合-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

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1．（2017•天津）已知奇函数在上是增函数．若，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】解：奇函数在上是增函数，
，
，
，
又，
，
即．
故选：．
2．（2015•新课标Ⅱ）设函数，则使得成立的的取值范围是
A．，，B．，
C．D．，
【解析】解：函数为偶函数，
且在时，，
导数为，
即有函数在，单调递增，
等价为，
即，
平方得，
解得：，
所求的取值范围是，．
故选：．
3．（2015•天津）已知定义在上的函数为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】解：为偶函数；
；
；
；
；
；
；
；
在，上单调递增，并且，，；
；
．
故选：．
4．（2015•湖南）设函数，则是
A．奇函数，且在上是增函数
B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数
D．偶函数，且在上是减函数
【解析】解：函数，函数的定义域为，
函数，所以函数是奇函数．
排除，，正确结果在，，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，时，；
时，，显然，函数是增函数，所以错误，正确．
故选：．
5．（2017•北京）已知函数，则
A．是偶函数，且在上是增函数B．是奇函数，且在上是增函数
C．是偶函数，且在上是减函数D．是奇函数，且在上是减函数
【解析】解：，
，
即函数为奇函数，
又由函数为增函数，为减函数，
故函数为增函数，
故选：．
二．填空题（共9小题）
6．（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数在，单调递减，（2），若，则的取值范围是 ．
【解析】解：偶函数在，单调递减，（2），
不等式等价为（2），
即（2），
，
解得，
故答案为：
7．（2016•天津）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 ， ．
【解析】解：是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，
在区间，上单调递减，
则，等价为，
即，
则，即，
故答案为：，
8．（2019•张家港市校级模拟）设定义在，上的奇函数在区间，上单调递减，若，则实数的取值范围为 ．
【解析】解：定义在，
即①
又定义在，上的奇函数，且在，上单调递减
在，上也单调递减
在，上单调递减
又
即②
由①②可知：
故答案为：，
9．（2019•齐齐哈尔一模）已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为 ， ．
【解析】解：由等价为
设，
又由函数是定义在上的奇函数，则有，
则有，
即函数为上的奇函数，
则有；
又由对任意时，有，
则，
，
，
即在，上为减函数，
是奇函数，
在上为减函数，
，；
（2），，
则等价为（2），
是减函数，
，
即不等式的解集为，；
故答案为：，．
10．（2019•定远县一模）已知是上的偶函数，且在，单调递增，若（4），则的取值范围为 ．
【解析】解：是上的偶函数，且在，单调递增，
不等式（4）等价为（4），
即，
即，
得，
即实数的取值范围是，
故答案为：
11．（2009•山东）已知定义在上的奇函数满足，且在区间，上是增函数，若方程在区间，上有四个不同的根，，，，则 ．
【解析】解：是奇函数，
，
的图象关于直线对称，
又，，
，周期为8，
作出的大致函数图象如图：
由图象可知的4个根中，两个关于直线对称，两个关于直线对称，
．
故答案为：．
12．（2020秋•东阳市校级月考）若为偶函数，且当时，，则不等式的解集 或 ．
【解析】解：因为为偶函数，且当时，单调递增，
根据偶函数的对称性可知，当时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，
则由不等式可得，
两边平方可得，，
整理可得，，
解可得，或．
故答案为：或
13．（2020秋•尖山区校级月考）已知函数在定义域，上是偶函数，在，上单调递减，并且，则的取值范围是 ．
【解析】解：因为函数在定义域，上是偶函数，所以，所以．
所以，即，
所以偶函数在，上单调递增，而，，
所以由得，
解得．
故答案为．
14．（2019•南京校级四模）已知是定义在区间，上的奇函数，当时，，则关于的不等式的解集为 ， ．
【解析】解：由题意，奇函数是定义在，上的减函数，不等式，
即，
则，即，
解得，
即，．
故答案为：，．
三．解答题（共7小题）
15．（2006•重庆）已知定义域为的函数是奇函数．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以，
即
又由（1）知．
所以，．
经检验，时，是奇函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
易知在上为减函数．
又因为是奇函数，
所以
等价于，
因为为减函数，由上式可得：．
即对一切有：，
从而判别式．
所以的取值范围是．
16．（2019秋•郑州期末）已知函数．
（Ⅰ）若为奇函数，求的值；
（Ⅱ）试判断在内的单调性，并用定义证明．
【解析】解：（Ⅰ）
，（2分）
是奇函数，
，即，
解之得．（5分）
（Ⅱ）设，则
．（9分）
，
，，从而，（11分）
即．
所以函数在内是单调增函数．（12分）
17．（2019•铁东区校级一模）已知函数为奇函数．
（1）判断的单调性并证明；
（2）解不等式．
【解析】解：（1）由已知，
，，
，为单调递增函数．
（2），
，而为奇函数，
为单调递增函数，，
，
，
．
18．（2019春•兴庆区校级期末）已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式．
（2）用定义证明在上是增函数．
（3）解不等式．
【解析】（1）解：函数是定义在上的奇函数，
则，即有，
且，则，解得，，
则函数的解析式：；
（2）证明：设，则
，由于，则，，即，
，则有，
则在上是增函数；
（3）解：由于奇函数在上是增函数，
则不等式即为，
即有，解得，
则有，
即解集为．
19．（2020秋•武汉期中）已知定义在，上的函数是增函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若函数是奇函数，且（2），解不等式．
【解析】解：由题意可得，，求得，
即的范围是，．
（2）函数是奇函数，且（2），（2），
，，，
，．
不等式的解集为．
20．（2019春•红岗区校级期末）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数，的值；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（1）由于定义域为的函数是奇函数，
则即，解得，
即有，经检验成立；
（2）在上是减函数．
证明：设任意，
，
由于，则，则有，
故在上是减函数；
（3）不等式，
由奇函数得到，
，
再由在上是减函数，
则，即有对恒成立，
或即有或，
综上：．
21．（2019秋•兴宁区校级期末）已知函数，函数．
（1）若求不等式的解集；
（2）求函数在，上的最小值；
（3）若对任意，，均存在，，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）当时，．
不等式，即，
①当时，不等式转化为，解之得或
因为不满足，所以此时
②当时，不等式转化为，不等式的解集是空集
综上所述，不等式的解集为，；
（2）
当时，在区间和上是增函数；，上是减函数；
当时，在区间和，上是增函数；上是减函数；
当时，在区间上是增函数．
定义域为，，
①当时，在区间，上是增函数，得的最小值为（3）；
②当时，因为，结合函数的单调性，得（3）
的最小值为．
综上所述，得的最小值为；
（3），
因为，，所以当时，的最小值为；
当时，的最小值为（4）．
由题意，在，上的最小值大于在，上的最小值，结合（2）得
①当时，由，得，故；
②当时，由，得，故；
③当时，由，得，故．
综上所述，实数的取值范围是
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