专题16 函数奇偶性的性质与判断-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

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函数奇偶性的性质与判断一．选择题（共5小题） 1．（2018•新课标Ⅱ）已知是定义域为的奇函数，满足，若（1），则（1）（2）（3）　　A． B．0 C．2 D．50【解析】解：是奇函数，且，，，则，则，即函数是周期为4的周期函数，（1），（2），（3）（1），（4），则（1）（2）（3）（4），则（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）（1）（2），故选：．2．（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是　　A． B． C． D．【解析】解：对于，是偶函数，所以不正确；对于，函数是奇函数，所以不正确；对于，是偶函数，所以不正确；对于，不满足也不满足，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以正确．故选：．3．（2014•湖南）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（1）（1）　　A． B． C．1 D．3【解析】解：由，将所有替换成，得，根据，，得，再令，计算得，（1）（1）．故选：．4．（2019•新课标Ⅲ）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则　　A． B． C． D．【解析】解：是定义域为的偶函数，，，，在上单调递减，，故选：．5．（2014•新课标Ⅰ）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是　　A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数【解析】解：是奇函数，是偶函数，，，，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故错误，是奇函数，故正确．为偶函数，故错误，故选：．二．多选题（共1小题）6．（2020•全国模拟）函数的定义域为，且与都为奇函数，则　　A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数【解析】解：与都为奇函数，①，②，由①可得，即③，由②③得，所以的周期为2，，则为奇函数，，则为奇函数，故选：．三．填空题（共8小题）7．（2006•全国卷Ⅰ）已知函数，若为奇函数，则　　．【解析】解：函数．若为奇函数，则，即，．故答案为8．（2015•新课标Ⅰ）若函数为偶函数，则　1　．【解析】解：为偶函数，，，，，，，．故答案为：1．9．（2017•山东）已知是定义在上的偶函数，且．若当，时，，则　6　．【解析】解：由．则，为周期为6的周期函数，（1），由是定义在上的偶函数，则（1），当，时，，，，故答案为：6．10．（2019•新课标Ⅱ）已知是奇函数，且当时，．若，则　　．【解析】解：是奇函数，，又当时，，，，．故答案为：11．（2019•北京）设函数为常数）．若为奇函数，则　　；若是上的增函数，则的取值范围是　　．【解析】解：根据题意，函数，若为奇函数，则，即，变形可得，函数，导数若是上的增函数，则的导数在上恒成立，变形可得：恒成立，分析可得，即的取值范围为，；故答案为：，，．12．（2012•上海）已知是奇函数，且（1），若，则　　．【解析】解：由题意，是奇函数，且（1），所以（1）解得所以故答案为：．13．（2011•湖南）已知为奇函数，，，则（2）　6　．【解析】解：为奇函数（2）（2）所以（2）故答案为614．（2012•重庆）若为偶函数，则实数　4　．【解析】解：为偶函数对于任意的都成立即故答案为：4．四．解答题（共9小题）15．（2007•上海）已知函数．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在，上为增函数，求实数的取值范围．【解析】解：（1）当时，，对任意，，，有，为偶函数．当时，，取，得（1），（1），（1），（1）．函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）设，，要使函数在，上为增函数，必须恒成立．，，即恒成立．又，，的取值范围是，．16．（2019•范县校级一模）已知定义在的函数对任意实数，恒有，且当时，，又（1），（1）求证，为奇函数；（2）求证：在上是减函数；（3）求在，上的最大值与最小值．【解析】解：（1）证明：令，则，当，时，则（1）（1）即为奇函数（2）设，，且，则，，由题意得，即在是减函数；（3）（1）（2）（3）在，上是减函数，（3）（6）17．（2019秋•宝安区期末）设函数且是奇函数．（1）求常数的值；（2）若，试判断函数的单调性，并加以证明；（3）若已知（1），且函数在区间，上的最小值为，求实数的值．【解析】解：（1）且是奇函数．，即，解得．（2）且，当时，在上递增．理由如下：设，则，由于，则，即，，即，则当时，在上递增．（3）（1），，即，解得或（舍去）．，令，，（1），，当时，，解得，不成立舍去．当时，，解得，满足条件，．18．（2019秋•海淀区校级期末）已知，，函数是奇函数．（1）求，的值；（2）当，时，的最小值是1，求的解析式．【解析】解：（1）（法一），又为奇函数，，对恒成立，，解得；（法二），为奇函数，，，，．（2），其图象对称轴为，当，即时，，；当，即时，，解得或（舍；当，即时，（2），（舍，或．19．（2019•鹿城区校级模拟）已知函数，且．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）当时，求使的的取值范围．【解析】解：（1），则解得．故所求定义域为．（2）为奇函数由（1）知的定义域为，且，故为奇函数．（3）因为当时，在定义域内是增函数，所以．解得．所以使的的取值范围是．20．（2019秋•三门峡期末）已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数．【解析】解：（1）函数的定义域，则，则函数是偶函数，（2）当时，设，则，，，，则，则，即函数在上是减函数．21．（2019•松江区一模）已知函数，，．（1）若为偶函数，求的值；（2）若在区间，上是增函数，试求、应满足的条件．【解析】解：（1）因为为偶函数，对任意的，都有，即，所以得． （2）记，①当时，在区间，上是增函数，即在区间，上是增函数，，②当时，在区间，上是增函数，即在区间，上是减函数但在区间，上是增函数，故不可能在区间，上是增函数时，、应满足的条件为且22．（2019•西湖区校级模拟）已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围；（3）若函数，，，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）函数是偶函数，，即恒成立．，．（2）若函数的图象与直线没有交点，则方程即方程无解．令，则函数的图象与直线无交点．在上是单调减函数．，．．（3）由题意函数，，，令，，则，，，函数的图象开口向上，对称轴为直线，故当，即时，当时，函数取最小值，解得：，当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），综上所述，存在满足条件．23．（2019•西湖区校级模拟）已知函数的图象过点．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，求实数的取值范围．【解析】解：（1）因为的图象过点，所以，解得，所以，的定义域为．因为，所以是奇函数．（2）因为，所以，即，可得，即，解得．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/12/14 16:40:23；用户：程长月；邮箱：hngsgz031@xyh.com；学号：25355879