专题04 二次函数的性质与图象-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

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二次函数的性质与图象一．选择题（共7小题） 1．（2017•浙江）若函数在区间，上的最大值是，最小值是，则　　A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关【解析】解：函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，①当或，即，或时，函数在区间，上单调，此时（1），故的值与有关，与无关②当，即时，函数在区间，上递减，在，上递增，且（1），此时，故的值与有关，与无关③当，即时，函数在区间，上递减，在，上递增，且（1），此时（1），故的值与有关，与无关综上可得：的值与有关，与无关故选：．2．（2016•新课标Ⅱ）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，，，，则　　A．0 B． C． D．【解析】解：函数满足，故函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，故函数与 图象的交点也关于直线对称，故，故选：．3．（2017•上海）函数的单调递增区间是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：函数的对称轴是，开口向上，故在，递增，故选：．4．（2019秋•赤峰期末）若函数的定义域为，，值域为，，则的取值范围是　　A．， B． C． D．【解析】解：，，又，故由二次函数图象可知：的值最小为；最大为3．的取值范围是：，，故选：．5．（2019秋•眉山期末）若函数在区间，上是减函数，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：函数的图象是方向朝上，以直线为对称轴的抛物线又函数在区间，上是减函数，故解得故选：．6．（2019•西湖区校级模拟）已知函数，，，若有最小值，则的最大值为　　A．1 B．0 C． D．2【解析】解：函数，，函数在，上单调增当时，有最小值当时，有最大值（1）故选：．7．（2019秋•庐江县期末）函数在闭区间，上有最大值3，最小值为2，的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：作出函数的图象，如图所示，当时，最小，最小值是2，当时，，函数在闭区间，上有最大值3，最小值2，则实数的取值范围是，．故选：．二．填空题（共13小题）8．（2014•江苏）已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围为　，　．【解析】解：二次函数的图象开口向上，对于任意，，都有成立，，即，解得，故答案为：，．9．（2012•江苏）已知函数的值域为，，若关于的不等式的解集为，则实数的值为　9　．【解析】解：函数的值域为，，只有一个根，即△，则不等式的解集为，即为解集为，则的两个根，分别为，两根之差为根据韦达定理可知：解得故答案为：910．（2019•成都模拟）设二次函数，，为常数）的导函数为．对任意，不等式恒成立，则的最大值为　　．【解析】解：，，对任意，不等式恒成立，恒成立，即恒成立，故△，且，即，，，，故，故答案为：11．（2019•上海）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为　　．【解析】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，，当且仅当时，取最小值，故答案为：．12．（2019秋•会宁县校级期中）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是　　．【解析】解：曲线，，根据图象可得出：直线与曲线有四个交点，则13．（2019•西湖区校级模拟）设函数，若存在实数，使得对任意不为零的实数，均有成立，则的取值范围是　　．【解析】解：成立等价于，当时，左边，右边，不成立，当时，等价于，设，则，则，，，或，，，，，，或，，，，，，，在上有解，，在上的值域为，设，则在，上单调递减，，解得，故答案为：14．（2019秋•陆川县校级期末）函数在，上是单调函数，则实数的取值范围是　，，　．【解析】解：的函数图象开口向上，对称轴为直线，在上单调递减，在，上单调递增，在，上是单调函数，或，解得或．故答案为：，，．15．（2019春•安庆期末）若一元二次不等式对一切实数都成立，则的范围是　　．【解析】解：一元二次不等式对一切实数都成立，，且满足，即，解得，故答案为：．16．（2019•和平区校级一模）若函数的定义域为，，值域为，，则的取值范围是　，　．【解析】解：，，又，故由二次函数图象可知：的值最小为；最大为3．的取值范围是：．故答案，17．（2019春•东莞市期末）如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是　　【解析】解：函数的对称轴为：，函数在区间上是减函数，则函数对称轴满足即可，解得：；故答案为：实数的取值范围是：；18．（2019•姜堰区校级模拟）已知函数，若函数的最小值与函数的最小值相等，则实数的取值范围是　或．　．【解析】解：由于，．则当时，，又函数的最小值与函数的最小值相等，则函数必须要能够取到最小值，即，得到或，所以的取值范围为或．故答案为：或．19．（2019秋•合肥期末）若函数在上为增函数，实数的取值范围是　，　．【解析】解：函数在上为增函数，，解得，故实数的取值范围是，，故答案为，．20．（2019春•福州校级期末）已知函数的值域为，，若关于的不等式的解集为，则实数的值为　16　．【解析】解：函数的值域为，，函数的最小值为0，可得△，即又关于的不等式可化成，即，不等式的解集为，也就是方程的两根分别为，，，可得，即，解之即可得到故答案为：16三．解答题（共8小题）21．（2019•江苏三模）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．【解析】解：（1）当时，不等式即，，．不等式的解集为（2）不等式的解集为，的一元二次不等式的解集为，△实数的取值范围是，22．（2019•鹿城区校级模拟）二次函数的最小值为1，且（2）．（1）求的解析式；（2）若在区间，上不单调，求的取值范围．【解析】解：（1）为二次函数且（2），对称轴为．又最小值为1，可设，，，，即．（2）由条件知的对称轴穿过区间，．23．（2019秋•张掖期末）二次函数满足且．（1）求的解析式；（2）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）由题意，设，则．从而，，又，即，又，．（2）由（1）及，令，，，则当，时，为减函数，当时，（1），从而要使不等式恒成立，则．故得实数的取值范围是．24．（2015•安徽）设函数．（Ⅰ）讨论函数在，内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记，求函数在，上的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求满足条件时的最大值．【解析】解：（Ⅰ）设，在，递增，即有，，①当时，，递减，即递减；当时，，递增，即递增．即有或时，不存在极值．②当时，，，递减；，，递增．有极小值；（Ⅱ）时，当时，取，等号成立；当时，取，等号成立．由此可知，在，上的最大值为．（Ⅲ）即为，此时，，从而取，，则，并且．由此可知，满足条件的最大值为1．25．（2019秋•鄂尔多斯期末）已知二次函数的最小值为1，且（2）．（1）求的解析式；（2）若在区间，上不单调，求实数的取值范围；（3）在区间，上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．【解析】解：（1）由已知是二次函数，且（2）对称轴为又最小值为1设又（2）要使在区间，上不单调，则（3）由已知在，上恒成立化简得设则在区间，上单调递减在区间，上的最小值为（1）26．（2019•白银区校级模拟）二次函数满足，且．（1）求的解析式；（2）在区间，上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围．【解析】解：（1）设，由得，故．因为，所以．即，所以，，所以（2）由题意得在，上恒成立．即在，上恒成立．设，其图象的对称轴为直线，所以在，上递减．故只需最小值（1），即，解得．27．（2019秋•红岗区校级月考）已知函数，且．（1）求不等式的解集；（2）求在，上的最值．【解析】解：（1），，由可得，，整理可得，，解可得，不等式的解集为；（2）的开口向下，对称轴，在，上单调递增，在，上单调递减，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，故函数有最大值，最小值．28．（2019秋•辽阳县期末）已知二次函数在区间，上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设．若在，时恒成立，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）函数的图象的对称轴方程为依题意得，即，解得，（Ⅱ），在，时恒成立，即在，时恒成立在，时恒成立只需令，由，得设函数的图象的对称轴方程为当时，取得最大值33．（8）的取值范围为，．