人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行学案

   8.5.1直线与直线平行

导学案

编写：廖云波      初审：谭光垠      终审：谭光垠  廖云波

【学习目标】

1.能用基本事实4解决一些数学问题

2.理解等角定理，能用等角定理解决一些数学问题

【自主学习】

知识点1  基本事实 4

(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

(2)符号表示：⇒a∥c.

知识点2  等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．

【合作探究】

探究一  基本事实4的应用

【例1】如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1­ABCD的棱A1A、C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．

[分析]　平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．

[证明]　取DD1的中点点Q，连接EQ、QC1.

∵E是AA1的中点，∴EQ綉A1D1.

又在矩形A1B1C1D1中A1D1綉B1C1.

∴EQ//B1C1(基本事实4)，

∴四边形EQC1B1为平行四边形，

∴B1E//C1Q，

又∵Q、F是矩形DD1C1C的两边中点，

∴QD//C1F，

∴四边形DQC1F为平行四边形，

∴C1Q//DF.

又∵B1E//C1Q，∴B1E//DF，

∴四边形B1EDF为平行四边形．

归纳总结：基本事实4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法

【练习1】如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，求证：四边形MNA′C′是梯形．

证明：连接AC.

∵M、N为CD、AD的中点，

∴MN=AC.

由正方体性质可知AC//A′C′.

∴MN//= A′C′.

∴四边形MNA′C′是梯形．

探究二  等角定理的应用

【例2】如右图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.

[证明]　连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF//=B1C.

又ABCD­A1B1C1D1为正方体，

所以CD//AB，A1B1//AB，由基本事实4知CD//A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D//B1C.

又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG.

同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.

又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.

所以△EFG∽△C1DA1.

归纳总结：等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补

【练习2】如图，已知线段AA1、BB1、CC1交于O点，且＝＝，求证：△ABC∽△A1B1C1.

证明：∵AA1与BB1交于点O.

且＝，∴A1B1∥AB.

同理A1C1∥AC，B1C1∥BC.

又∵A1B1和AB，A1C1和AC方向相反，

∴∠BAC＝∠B1A1C1，同理∠ABC＝∠A1B1C1.

∴△ABC∽△A1B1C1.

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．两等角的一组对应边平行，则(　　)

A．另一组对应边平行

B．另一组对应边不平行

C．另一组对应边不可能垂直

D．以上都不对

【答案】D

解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．

2．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1(　　)

A．相等   B．互补

C．相等或互补   D．不确定

【答案】B

解析：由于E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC1，所以∠EFG与∠ABC1的两组对边分别平行，一组对应边方向相同，一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补．

3．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)

A．30°   B．30°或150°

C．150°  D．大小无法确定

【答案】B

解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.

4．(多选)下列命题中，正确的结论有(　　)

A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等

C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补

D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行

【答案】BCD

解析：由等角定理得B、C正确，A错误，由基本事实4得D正确．

5．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)

A．3条  B．4条

C．5条  D．6条

【答案】B

解析：由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．

6．如图，在三棱锥P­ABC中，E，F，G，H，I，J分别为线段PA，PB，PC，AB，BC，CA的中点，则下列说法正确的是(　　)

A．PH∥BG

B．IE∥CP

C．FH∥GJ

D．GI∥JH

【答案】C

解析：由题意结合三角形中位线的性质，可得FH∥PA，GJ∥PA，由基本事实4可得FH∥GJ.

二、填空题

7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为         .

【答案】60°或120°

解析：根据“等角定理”可知，α与β相等或互补，故β为60°或120°.

8．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：

①∠BAC＝∠B′A′C′；

②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；

③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.

一定成立的是          .

【答案】③

解析：∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，

∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.

9．已知棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是           ．

【答案】平行

解析：因为AN＝DN，DM＝MC，

所以MN∥AC，因为AC∥A′C′，

所以MN∥A′C′.

三、解答题

10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点．

求证：(1)GB∥D1F；

(2)∠BGC＝∠FD1E.

证明：(1)因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綉GD1，BF綉GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形，所以GC∥D1E，GB∥D1F.

(2)因为∠BGC与∠FD1E两边的方向都相同，所以∠BGC＝∠FD1E.

11．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．

证明：∵梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC、AD的中点，

∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)．

又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.

∵G、H分别为AD′、BC′的中点，

∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，

∴GH綉EF，∴四边形EFGH为平行四边形．

B组 能力提升

一、选择题

1．下列结论中正确的是(　　)

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；

②平行于同一条直线的两条直线平行；

③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；

④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.

A．①②③   B．②④

C．③④   D．②③

【答案】B

解析：①错，可以异面；②正确，基本事实4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．

二、填空题

2．在空间四边形ABCD中，如图所示，＝，＝，则EH与FG的位置关系是       ．

【答案】平行

解析：如图，连接BD，在△ABD中，＝，则

EH∥BD，同理可得FG∥BD，∴EH∥FG.

3．已知点E，E′分别是正方体ABCD­A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点，则四边形BB′E′E的形状为         ，∠BEC与∠B′E′C′的大小        ．(填相等或互补)

【答案】平行四边形   相等

解析：如图所示，因为点E，E′分别是AD，A′D′的中点，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.所以四边形AEE′A′是平行四边形．

所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.

又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′.

所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′.

所以四边形BB′E′E是平行四边形．

所以BE∥B′E′，同理可证CE∥C′E′.

又因为∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，

所以∠BEC＝∠B′E′C′.

三、解答题

4．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．

求证：∠NMP＝∠BA1D.

证明：如图，连接CB1、CD1，

∵CD綉A1B1，

∴四边形A1B1CD是平行四边形．

∴A1D∥B1C.

∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，

∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.

∵BC綉A1D1，

∴四边形A1BCD1是平行四边形，

∴A1B∥CD1.

∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，

∴MP∥A1B，

∵∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，

∴∠NMP＝∠BA1D.