高中人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系学案设计

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编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波
【学习目标】
1.了解空间中两条直线的位置关系.
2.理解异面直线的概念、画法
【自主学习】
知识点1 空间中直线与直线的位置关系
1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．
2．空间两直线的三种位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(共面,直线)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：在同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))
3．为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(如图(1)(2)所示)
知识点2 空间中直线与平面的位置关系
1．位置关系：有且只有三种
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；
(3)直线与平面平行——没有公共点；
(4)当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．
2．符号表示：直线a在平面α内，记为a⊂α；直线a与平面α相交于点A，记作a∩α＝A；直线a与平面α平行，记作a∥α.
3．图示：直线a在平面α内，如下图(1)所示；直线a与平面α相交于点A，如下图(2)所示；直线a与平面α平行，如下图(3)所示．
知识点三 空间中平面与平面的位置关系
1．位置关系：有且只有两种
(1)两个平面平行——没有公共点；
(2)两个平面相交——有一条公共直线．
2．符号表示：两个平面α，β平行，记作α∥β；两个平面α，β相交于直线l，
记作α∩β＝l.
3．图示：两个平面α，β平行，如下图(1)所示；两个平面α，β相交于直线l，如下图(2)所示．
【合作探究】
探究一 空间中直线与直线的位置关系
【例1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，以下四个结论：
①直线DM与CC1是相交直线；
②直线AM与NB是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．
【答案】 ①③④
[分析] 利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断．
[解析] ①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交，故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填①③④.
归纳总结：判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．
【练习1】在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是( )
A．SB B．SC
C．BC D．AB
【答案】C
解析：由题图知SB、SC、AB、AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．
探究二 空间中直线与平面的位置关系
【例2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是________．
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
[分析] 利用直线和平面的公共点个数进行判定．
【答案】 (1)平行 (2)相交
[解析] (1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．
(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．
归纳总结：判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据三个基本事实及推论给出严格证明.另外，借助模型如长方体举反例也是解决这类问题的有效方法.
【练习2】三棱台ABC­A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是( )
A．相交
B．平行
C．直线在平面内
D．平行或直线在平面内
【答案】A
解析：由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．
探究三 空间中平面与平面的位置关系
【例3】(1)若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
(2)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不存在
【答案】 (1)D (2)C
[解析] (1)两个平面内的直线必无交点，所以是异面或平行．
(2)由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行．解答本题可逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．
归纳总结：判断空间中两平面之间的位置关系时，可把文字语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系
【练习3】(1)两个平面将空间分成几部分？
(2)将一个三棱柱的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？
解：(1)两个平面平行时，将空间分成三部分；两个平面相交时，将空间分成四部分．
(2)如图，将三棱柱的三个侧面延展成平面后，可将空间分成7部分，然后将三棱柱的两底面延展成平面，那么每一个平面将这7部分一分为二，故共分成3×7＝21部分．
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面D．相交、平行或异面
【答案】D [异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a，b异面，直线c的位置可如图所示．]
2．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
【答案】D [当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．]
3．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
【答案】D [直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a⊂α.]
4．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )
A．相交B．异面
C．平行D．异面或相交
【答案】D [由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．]
5．(多选题)下列结论正确的是( )
A．直线a∥平面α，直线b⊂α，则a∥b
B．若a⊂α，b⊄α，则a，b无公共点
C．若a⊄α，则a∥α或a与α相交
D．若a∩α＝A，则a⊄α
【答案】CD [结合直线与平面的位置关系可知，AB错误，CD正确．]
二、填空题
6．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是________．
【答案】平行或相交 [当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α的异侧时，l与α相交．]
7．在四棱锥P­ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
【答案】8 [以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．]
8．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
【答案】(1)平行 (2)相交 [(1)AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．]
三、解答题
9．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
[解] B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，AB1，AD1，CD1都相交，B1D1与平面AC平行．
10. 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．
[解] 如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.
因为E是AA1的中点，
所以EF∥A1B．
在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形．
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1.
所以E，F，C，D1四点共面．
因为E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，
F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，
所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.
所以过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.
B组 能力提升
一、选择题
1．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有( )
A．3个B．4个
C．6个 D．7个
【答案】D [把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面α可以分为两类：第一类：如图(1)所示，四个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中α共有4个．
图(1) 图(2)
第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共3个．
综上，α共有4＋3＝7(个)，故选D．]
2．(多选题)以下四个命题是真命题的是( )
A．三个平面最多可以把空间分成八部分
B．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C．若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D．若n条直线中任意两条共面，则它们共面
【答案】AC [对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱并不共面，故D错．所以正确的是AC．]
二、填空题
3．已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是________．
【答案】平行或异面 [如图，由于ABCD是梯形，AB∥CD，所以AB与CD无公共点，又CD⊄平面α，所以CD与平面α无公共点. 当m∥AB时，则m∥DC；当m与 AB相交时，则m与DC异面．]
三、解答题
4.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
[解] 平面ABC与β的交线与l相交．
证明如下：因为AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，所以AB与l一定相交．设AB∩l＝P(图略)，则P∈AB，P∈l.又因为AB⊂平面ABC，l⊂β，所以P∈平面ABC，P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，所以直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，
所以平面ABC与平面β的交线与l相交．