4.5.2复合函数的零点问题 较难-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

复合函数的零点问题 较难1．复合函数定义：设，，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为．2．复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值．例如：已知，计算．【解析】，．3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值．例如：已知，，若，求．4．函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称为的一个零点．5．复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数． Ⅰ．题型攻略·深度挖掘【技能方法】求解复合函数零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围．1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2，2)内有一个零点，则f(－2)·f（2）的值                              (　　)A．大于0    B．小于0    C．等于0    D．不能确定解答：若函数f(x)在(－2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则f(－2)·f（2）<0；（2）该零点是非变号零点，则f(－2)·f（2）>0，因此选D．Ⅱ．举一反三·触类旁通【例1】函数满足，且当时， ．若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（    ）A．    B．    C．    D．【答案】C 【例2】已知函数若关于的方程有3个实数根，则实数的取值范围是（    ）A．    B．    C．    D．【答案】D【解析】作图如下：因此要使方程有3个，实数的取值范围是 ，选D． 【例3】已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ）A．    B．    C．    D．【答案】AA（0，﹣2），B（3，1），C（4， 0），则g（x）的图象介于直线AB和AC之间，介于kAB＜m＜kAC，可得＜m＜1．故答案为：（，1）．      【例4】已知函数，则的零点个数是（    ）A．4    B．5    C．6    D．7【答案】A【解析】解：令t=f（x），F（x）=0，则f（t）﹣2t﹣=0， 【例5】已知函数，若0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），则的范围为         ．【答案】（1，2）函数图象如右：，满足，，即，，，故，故答案为． 【例6】已知函数，的四个零点，，，，且，则的值是__________．【答案】 【例7】已知函数若有三个零点，则实数m的取值范围是________．【答案】【例8】已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是_________．【答案】．【解析】数形结合，由直线与曲线的位置关系可得当时有两个交点，即函数恰有两个零点． 【例9】【2015年高考天津】已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是 （    ）A．   B．   C．   D．【答案】D．【解析】由得，，即，所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知． 【跟踪练习】1．若函数，则方程的根的个数为（    ）A．1    B．2    C．3    D．4【答案】C【解析】       2．已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】当时， ，所以．．若方程有唯一解，即，有唯一解．作出和的图象，根据题意两函数图象有唯一交点．由图可知： ．  3．已知若方程有且仅有3个实数解，则实数的取值范围是__________．【答案】设，AB为的切线，B为切点， ，观察可知，当位于切线AB和割线AC之间时， 图象与的图象有三个交点，设．由，得切线AB: ，解得，故，又，所以当方程在上有三个实数解，实数k的取值范围为．4．已知，若有个根，则的取值范围是________________．【答案】 【解析】因为，所以，故答案为． 5．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】画出的图象如图所示当时，得或，此时化为， 若，则此时有两解或，违背题意，故，此时若，则关于的不等式恰有一个整数解．结合图象可知，可得若，则关于的不等式恰有一个整数解．结合图象可知，可得，综上， ．6．已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则实数a的取值范围为______．【答案】[0，2]∪[3，8]
满足符合题意，当时，至少存在两点满足不合题意，故答案为    7．定义函数， ， ，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】      8．已知，若函数有零点，则实数的取值范围是__________．【答案】综上可得： 或故答案为：  9．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由可得，则问题转化为函数的图像有至少三个交点，结合图像可以看出当时，即时满足题设，应填答案． 10．已知，又，若满足的有三个，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意作函数的图象：
 11．已知函数则关于的方程的不同实根的个数为________．【答案】4个 【解析】函数 图像如图所示， ，由图   12．【2018河南郑州一中模拟】已知函数满足，当时， ，当时，，若定义在上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】当时，则，故；当时，则，故；当时，则，又因为，所以，则．所以， ，画出函13．函数其中，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】时，两直线与函数共有六个不同交点，应填答案．