4.5.2 复合函数的零点问题 中等-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

复合函数的零点问题 中等1．复合函数定义：设，，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为．2．复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值．例如：已知，计算．【解析】，．3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值．例如：已知，，若，求．4．函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称为的一个零点．5．复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数． Ⅰ．题型攻略·深度挖掘【技能方法】：求解复合函数零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围．【易错指导】1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2，2)内有一个零点，则f(－2)·f（2）的值                                             (　　)A．大于0  B．小于0    C．等于0  D．不能确定  【典型例题】类型一：关于函数的零点与方程根的关系问题例1．若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（    ）A．若，不存在实数使得；B．若，存在且只存在一个实数使得；C．若，有可能存在实数使得；D．若，有可能不存在实数使得． 举一反三：【变式1】函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 (　　)A．(－2，－1)      B．(－1,0)      C．(0,1)      D．(1,2)  例2．求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)．    【变式1】已知函数，当时，函数的零点,则          ．  例3.已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是       .    举一反三：【变式1】函数且函数只有一个零点，则实数a的取值范围是     .     【变式2】若方程在（0，1）恰好有一解，求a的取值范围．   【变式3】.已知函数(1)若a=-2，且存在互不相同的实数满足求实数m的取值范围;(2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.  【解析】(1)若a=-2则当时，当时，，，此时的图象如图所示：要使函数y=m 与的图象有4个不同的交点，的取值范围是.(2)①若a=0,则在上单调递增，满足条件；②若a>0则，只需考虑的情况，此时的图象的对称轴为，因此只需即③若a<0时，则 结合函数图象有以下情况：当即时，此时在内单调递增，因此在内也单调递增，满足条件；当即时，在和内均单调递增，只需或解得，即有a的取值范围是由①②③得，实数a的取值范围为   一、选择题1．设，则函数的零点所在的区间为（    ）A．      B．      C．      D． 2．已知是函数的零点，若，则的值满足（    ）A．      B．C．      D．的符号不确定 3．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ）A．      B．      C．      D． 4．若，则函数的两个零点分别位于区间（    ）A．和内        B．和内C．和内      D．和内 5．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为（    ）A．1      B．2      C．3      D．4 6．函数的零点个数为（    ）A．3      B．2      C．7      D．0 7．已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ）A．               B．C．      D． 8．若函数在区间内存在一个零点，则的取值范围是（    ）A．      B．C．      D．9．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（    ）A．               B．C．      D．  10．已知是奇函数且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是（    ）A．      B．      C．      D．   11．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（    ）A．         B．C．        D．    12．已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程有且只有6个根（2）方程有且只有3个根（3）方程有且只有5个根（4）方程有且只有4个根则正确命题的个数是（    ）A．1      B．2      C．3      D．4    二、填空题13．函数的零点个数为________．  14．设函数与的图象的交点为，若，，则所在的区间是______．  15．函数的零点个数是________．  16．已知函数，，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围是________________．    17.(2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝则f[f(x)]<2的解集是________.    三、解答题18.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.有且只有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析式.         19．设函数．（1）作出函数的图象；（2）当且时，求的值；（3）若方程有两个不相等的正根，求的取值范围．      20.已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（    ）A．      B．      C．      D．    21.已知函数是定义域为的偶函数.当时，，若关于的方程有且仅有6个不同实数根，求实数的取值范围