数学选择性必修 第一册3.3 抛物线学案

这是一份数学选择性必修 第一册3.3 抛物线学案，共18页。

第三章　圆锥曲线的方程
3.3　抛物线
3.3.1　抛物线及其标准方程
基础过关练
题组一　抛物线的定义及应用
1.在平面直角坐标系中,与点(1,2)和直线x+y-3=0的距离相等的点的轨迹是(　　)
A.直线　　　　B.抛物线
C.圆　　　　D.双曲线
2.(2023江西赣州赣县三中月考)已知动圆M经过定点A(1,0),且和直线x=-1相切,则此动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.y2=2x　　　　B.y2=4x
C.y2=-2x　　　　D.y2=-4x
3.点M到点F(-4,0)的距离比它到直线l:x-6=0的距离小2,则点M的轨迹方程为(　　)
A.y2=16x　　　　B.y2=-16x
C.y2=24x　　　　D.y2=-24x
4.(2022广东深圳期末)一个动圆P与定圆F:(x-3)2+y2=4相外切,且与直线l:x=-1相切,则动圆圆心P的轨迹方程为(　　)
A.y2=12x　　　　B.y2=8x
C.y2=6x　　　　D.y2=4x
5.(2023河南郑州外国语学校期中)若点P(x,y)满足方程(x−1)2+(y−2)2=|3x+4y+12|5,则点P的轨迹是　　　　　.(填圆锥曲线的类型) 
6.动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,求动点M(x,y)的轨迹方程.





题组二　抛物线的标准方程的应用
7.(2023上海复旦附中期中)抛物线y2=x的准线方程为(　　)
A.x=12　　　　B.x=14
C.x=-12　　　　D.x=−14
8.(2023浙江湖州中学期中)抛物线x2=-4y的焦点坐标是(　　)
A.(0,-2)　　　　B.(-1,0)
C.(0,2)　　　　D.(0,-1)
9.(2023江苏扬州期中)抛物线y=2x2的准线方程是(　　)
A.x=-1　　　　B.x=-12
C.y=-12　　　　D.y=−18
10.(多选题)(2023山东滨州实验中学)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为(　　)
A.y2=x　　　　B.x2=8y
C.x2=-8y　　　　D.y2=-8x
11.(2023山西部分高中期中联考)有一种卫星接收天线如图1所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线,如图2,已知该卫星接收天线的口径AB为a米,深度MO为b米,信号处理中心F位于焦点处,以顶点O为坐标原点,建立平面直角坐标系Oxy,则该抛物线的标准方程为(　　)
　　
A.y2=a24bx　　　　B.y2=a22bx
C.x2=4b2ay　　　　D.x2=2b2ay
12.(2023江苏扬州大学附属中学期中)F是抛物线y2=2x的焦点,A、B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=8,则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A.4　　　　B.92
C.3　　　　D.72
13.(2023江西吉安第一中学月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l上有两点A,B,若△FAB为等腰直角三角形且面积为8,则抛物线C的标准方程是(　　)
A.y2=42x　　　　
B.y2=8x
C.y2=42x或y2=8x　　　　
D.y2=4x
14.(2022河南新乡月考)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,点P在C上,直线PF交x轴于点Q,若PF=3FQ,则点P到准线l的距离为(　　)
A.6　　B.5　　C.4　　D.3
15.(2023河南确山一高期中)抛物线y=1mx2(m≠0)的焦点坐标是　　　　. 
16.(2023北京四中顺义校区期中)请写出一个与双曲线x2-y23=1有相同焦点的抛物线方程:　　　　　　　　. 
17.(2023北京对外经济贸易大学附属中学期中)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直于x轴,垂足为N.若|MF|=6,则点M的横坐标为　　　　;△FMN的面积为　　　　. 
18.(2022湖南师大附中期中)苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是东方之门的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线形,如图1,两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一个窗户,两个窗户的水平距离为30 m,如图2,求此抛物线顶端O到连桥AB的距离.

图1　　　　　　　　　　图2



能力提升练
题组一　抛物线及其标准方程的应用
1.(2022四川成都期中)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-2x-3=0相切,则p的值为　(　　)
A.12　　B.1　　C.2　　D.4
2.(2023江苏徐州睢宁期中)已知抛物线D:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在D上,过点P作准线l的垂线,垂足为A,若|PA|=|AF|,则|PF|=(　　)
A.2　　B.22　　C.23　　D.4
3.(2023黑龙江鹤岗一中月考)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=(　　)
A.6　　B.4　　C.3　　D.2
4.(2022浙江宁波效实中学期中)已知A(4,5),抛物线x2=8y的焦点为F,P为抛物线上与直线AF不共线的点,则△PAF周长的最小值为(　　)
A.18　　B.13　　C.12　　D.7
5.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,B在D上方.若∠ABD=90°,且△ABF的面积为93,则(　　)
A.△ABF是等边三角形
B.|BF|=3
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2=6x
6.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,点A的坐标为(2,6),点P是C上的任意一点,若当P在点P1处时,|PF|-|PA|取得最大值,当P在点P2处时,|PF|-|PA|取得最小值,则P1,P2两点间的距离是　　　　. 
7.(2023湖北宜城第一中学月考)如图,抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆F:x2+y2-2x=0,M(x,y)为抛物线上一点,且x∈[1,3],过M作圆F的两条切线,切点分别为A,B,求|AB|的取值范围.

8.在平面直角坐标系Oxy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线x=3与抛物线C交于A,B两点,|AF|=4,圆E为△FAB的外接圆,直线OM与圆E切于点M,点N在圆E上,求OM·ON的取值范围.



9.已知点A(6,0),点P在抛物线y2=16x上运动,点B在曲线(x-4)2+y2=1上运动,求|PA|2|PB|的最小值.



题组二　抛物线的实际应用
10.(2023湖南期中联考)党的二十大报告指出,必须坚持在发展中保障和改善民生,不断实现人民对美好生活的向往.为响应中央号召,某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4 m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下:在水池中心竖直安装一根高出水面2 m的喷水管(水管半径忽略不计),它喷出的水柱呈抛物线形,要求水柱在与水池中心的水平距离为32 m处达到最高,且水柱刚好落在池内,则水柱的最大高度为(　　)
A.83 m　　　　B.94 m
C.258 m　　　　D.145 m
11.已知一个抛物线形拱桥,在一次暴雨前后桥下水位之差为1.5 m,暴雨后的水面宽为2 m,暴雨来临之前的水面宽为4 m,求暴雨后的水面离桥拱顶的距离.
12.如图所示,高脚杯的轴截面上部为抛物线,往杯中缓慢倒水,当杯中的水深为2 cm时,水面宽度为6 cm,当水面再上升1 cm时,求水面宽度.

答案与分层梯度式解析
第三章　圆锥曲线的方程
3.3　抛物线
3.3.1　抛物线及其标准方程
基础过关练
1.A
2.B
3.B
4.A
7.D
8.D
9.D
10.AC
11.A
12.D
13.C
14.B




1.A　因为点(1,2)在直线x+y-3=0上,所以所求点的轨迹是过点(1,2)且与直线x+y-3=0垂直的直线,故选A.
易错警示　到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹不一定是抛物线:①F∉l时,为抛物线;②F∈l时,为直线.
2.B　因为动圆M经过定点A(1,0),且和直线x=-1相切,所以此动圆圆心M到点A(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,即M的轨迹为以点A(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,设其方程为y2=2px(p>0),
所以p2=1,解得p=2,故轨迹方程为y2=4x.故选B.
3.B　设点M的坐标为(x,y).由题意可知点M到点F的距离等于它到直线x=4的距离.
根据抛物线的定义,点M的轨迹是以F(-4,0)为焦点的抛物线,
因为焦点在x轴的负半轴上,所以设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),所以p2=4,得p=8.故点M的轨迹方程为y2=-16x.故选B.
4.A　定圆F:(x-3)2+y2=4的圆心为F(3,0),半径为2,设动圆圆心P的坐标为(x,y),动圆的半径为r,动圆圆心到直线x=-1的距离为d,r,d>0,
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得,|PF|-2=r,d=r,
∴|PF|-d=2,∴|PF|=d+2,即P到F(3,0)的距离与P到直线x=-3的距离相等,
∴动圆圆心P的轨迹为以(3,0)为焦点的抛物线,
∴所求轨迹方程为y2=12x.故选A.
5.答案　抛物线
解析　由(x−1)2+(y−2)2=|3x+4y+12|5,得(x−1)2+(y−2)2=|3x+4y+12|32+42,
易知等式左边表示点P(x,y)到点(1,2)的距离,右边表示点P(x,y)到直线3x+4y+12=0的距离,即点P(x,y)到点(1,2)的距离与其到直线3x+4y+12=0的距离相等,
又因为点(1,2)不在直线3x+4y+12=0上,所以由抛物线的定义知,点P的轨迹是以(1,2)为焦点,直线3x+4y+12=0为准线的抛物线.
6.解析　当x≥0时,∵动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,
∴动点M到定点(2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等.
∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,此抛物线的方程为y2=8x(x≥0);
当x<0时,∵x轴上点(0,0)左侧的点到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,
∴点M的轨迹方程为y=0(x<0).
综上,得动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x(x≥0).
7.D　抛物线y2=x的焦点在x轴上,且开口向右,2p=1,∴p2=14,∴抛物线y2=x的准线方程为x=-14,故选D.
8.D　抛物线x2=-4y的焦点在y轴上,且开口向下,2p=4,所以p2=1,所以焦点坐标是(0,-1),故选D.
9.D　抛物线y=2x2的标准方程是x2=12y,所以其准线方程为y=-18.故选D.
易错警示　求解抛物线的焦点或者准线方程时,需先将方程化成标准方程的形式.
10.AC　∵点P(4,-2)在第四象限,∴设所求的抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0),
∵过点(4,-2),∴4=2p·4或16=-2p·(-2).
∴2p=1或2p=8.
故所求的抛物线方程为y2=x或x2=-8y.故选AC.
11.A　设抛物线方程为y2=2px(p>0),
∵点Ab,a2在抛物线y2=2px上,∴a24=2p×b,
∴p=a28b,故抛物线的标准方程为y2=a24bx.故选A.
12.D　∵F是抛物线y2=2x的焦点,∴F12,0,准线方程为x=-12,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴|AF|+|BF|=x1+12+x2+12=8,∴x1+x2=7,∴线段AB中点的横坐标为72,∴线段AB的中点到y轴的距离为72,故选D.
13.C　由题意得,当∠AFB=π2时,S△AFB=12×2p×p=8,解得p=22(舍负);当∠FAB=π2或∠FBA=π2时,S△AFB=12p2=8,解得p=4(舍负),所以抛物线的标准方程是y2=42x或y2=8x.故选C.
14.B　如图,过点P作x轴的垂线,垂足为N,由题意得F(0,1),l:y=-1,则|OF|=1.
易得△QOF∽△QNP,则|QF||QP|=|OF||NP|,
因为PF=3FQ,所以|FQ||PQ|=|QF||QP|=|OF||NP|=14,
所以|NP|=4,所以点P到准线l的距离为|NP|+1=5.故选B.

15.答案　0,m4
解析　由题知,抛物线的标准方程为x2=my,故焦点坐标为0,m4.
16.答案　y2=8x(或y2=-8x)
解析　由题意知a2=1,b2=3,∴c=a2+b2=2,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0)或(2,0),
设抛物线方程为y2=ax(a≠0),则a4=−2或a4=2,解得a=-8或a=8,
∴抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x.
17.答案　5;45
解析　因为抛物线的方程为y2=4x,故p=2且F(1,0).因为|MF|=6,所以xM+p2=6,解得xM=5,故yM=±25,所以S△FMN=12×(5-1)×25=45.
18.信息提取　①“门”的内侧曲线呈抛物线形;②A,B,C,D都在抛物线上;③|CD|=30 m,|AB|=60 m,AB与CD间的距离为150 m.
数学建模　以O为坐标原点建立平面直角坐标系,利用抛物线方程进行求解.
解析　建立平面直角坐标系,如图所示,

设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),D(15,t)(t<0),则B(30,t-150).
由点B,D均在抛物线上,得152=−2pt,302=−2p(t−150),
解得p=94,t=−50,所以抛物线顶端O到连桥AB的距离为150+50=200 m.


能力提升练
1.C
2.D
3.A
4.C
5.ACD
10.C


1.C　易得抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2.由圆x2+y2-2x-3=0得(x-1)2+y2=4.
因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-2x-3=0相切,所以1−−p2=2,解得p=2(p=-6舍去).故选C.
2.D　由题知F(1,0),准线l:x=-1,设准线与x轴的交点为C,因为点P在D上,
所以由抛物线的定义及已知得|PA|=|AF|=|PF|,则△PAF为等边三角形,
在Rt△ACF中,|CF|=2,∠AFC=60°,
则|AF|=4.故|PF|=4.故选D.
3.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).
由题意得抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.因为FA+FB+FC=0,所以点F是△ABC的重心,故x1+x2+x3=3,
则|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=x1+x2+x3+3=3+3=6.故选A.
4.C　由题意得F(0,2),准线方程为y=-2.过P作PP1垂直于准线,交准线于P1,过A作AA1垂直于准线,交准线于A1,根据抛物线的定义可知|PF|=|PP1|.
因为A(4,5),所以|AF|=42+(5−2)2=5,
|AA1|=5-(-2)=7,
所以△PAF的周长C=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PP1|≥|AF|+|AA1|=5+7=12,当且仅当A,P,P1三点共线时,等号成立.故选C.
5.ACD　根据题意作图,如图所示:

因为以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,所以|FA|=|FB|,
又A在抛物线上,所以|FA|=|AB|,所以△ABF为等边三角形,故A正确;
因为∠ABD=90°,所以AB∥x轴,过F作FE⊥AB于点E,则点E为AB的中点,
故点E的横坐标为p2,又点B的横坐标为-p2,所以|AB|=2|BE|=2p,
所以S△ABF=34|AB|2=34×4p2=93,解得p=3(舍负),则|BF|=|AB|=2p=6,故B错误;
焦点F到准线的距离为p=3,故C正确;
抛物线C的方程为y2=6x,故D正确.故选ACD.
6.答案　5172
解析　依题意知F(2,0),过P作抛物线准线:x=-2的垂线,垂足为Q,
一方面:||PF|-|PA||=||PQ|-|PA||≤|AQ|⇒|PF|-|PA|≤|AQ|,
当P,A,Q三点共线,即PA平行于x轴时,|PF|-|PA|取得最大值,此时P192,6;
另一方面:||PF|-|PA||≤|AF|⇒|PF|-|PA|≥-|AF|,
当P,F,A三点共线,且F在P,A之间时,|PF|-|PA|取得最小值,此时P2(2,-4),
故|P1P2|=5172.
7.解析　由题意知,圆F的圆心为F(1,0),半径r=1,故抛物线方程为y2=4x,
四边形MAFB的面积S=12|MA|×|AF|×2=|MA|=|MF|2−1,
又S=12|AB|·|MF|,所以|AB|=2|MF|2−1|MF|=21−1|MF|2,
由抛物线定义,得|MF|=x+1,又x∈[1,3],所以|MF|2∈[4,16],
所以1|MF|2∈116,14,所以|AB|∈3,152.
8.解析　由题意,不妨设A在第一象限,故A(3,6p),所以|AF|=3+p2=4,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,则A(3,23),B(3,-23),F(1,0),所以直线AF的方程为y=3(x-1),
由题易知圆E的圆心在x轴上,设E(x0,0),由|EF|=|EA|得(x0-1)2=(3-x0)2+12,解得x0=5,即E(5,0),∴圆E的方程为(x-5)2+y2=16,不妨设yM>0,直线OM的方程为y=kx,则k>0,根据|5k1+k2=4,解得k=43,由y=43x,(x−5)2+y2=16,解得x=95,y=125或x=−95,y=−125,故M95,125.由题可设N(4cos θ+5,4sin θ),θ∈[0,2π],所以OM·ON=365cos θ+485sin θ+9=125(3cos θ+4sin θ)+9,
因为3cos θ+4sin θ=5sin(θ+φ)∈[-5,5],其中tan φ=34,
所以OM·ON∈[-3,21].
9.解析　抛物线y2=16x的焦点为(4,0),记F(4,0),设P点坐标为(x,y),则|PF|=x+4,|PA|2=(x-6)2+y2=(x-6)2+16x=x2+4x+36.
若求|PA|2|PB|的最小值,则|PA|尽可能小,|PB|尽可能大,易知当|PB|=|PF|+1=x+5时,|PB|最大,此时|PA|2|PB|=x2+4x+36x+5,
令x+5=t,则x=t-5,|PA|2|PB|=(t−5)2+4(t−5)+36t=t2−6t+41t=t+41t-6,
由基本不等式知t+41t≥241,当且仅当t=41时等号成立,
故|PA|2|PB|的最小值为241-6.
10.C　取一截面建系如图,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),记水柱的最大高度为h m,

依题意可知A−32,2−ℎ,B52,−ℎ在抛物线上,故94=−2p(2−ℎ),254=−2p(−ℎ),
两式相除,有259=ℎℎ−2,解得h=258.故选C.
11.解析　如图,以抛物线形拱桥的顶点为坐标原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,

设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
由已知得A(1,yA),B(2,yB),且yA-yB=1.5,所以yA-yB=-12p+42p=1.5,解得p=1,所以yA=-12,即暴雨后的水面离桥拱顶的距离为12 m.
12.解析　建立平面直角坐标系,使抛物线的顶点与坐标原点重合,
则由题意可设抛物线的方程为x2=2py(p>0),
由题意可知点(3,2)在抛物线上,
则32=2p×2,所以p=94,
所以抛物线的方程为x2=92y,
当水面再上升1 cm时,y=3,此时有x2=92×3=272,
解得x=±272=±362,
所以此时的水面宽度为36 cm.