高中数学人教版新课标A必修12.3 幂函数练习

这是一份高中数学人教版新课标A必修12.3 幂函数练习，共10页。试卷主要包含了1~2，已知a=lg20，设a=30，已知55<84,134<85，故选A等内容，欢迎下载使用。

五年高考练
考点1 指数式与对数式的恒等变形
1.(2020课标全国Ⅲ,4,5分,)lgistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的lgistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)( )

A.60B.63C.66D.69
2.(2020新高考Ⅰ,6,5分,)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天
考点2 指数函数、对数函数和幂函数的综合运用
3.(2019课标全国Ⅰ,3,5分,)已知a=lg20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )
A.aC.c4.(2020天津,6,5分,)设a=30.7,b=13-0.8,c=lg0.70.8,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.b5.(2020课标全国Ⅰ,12,5分,)若2a+lg2a=4b+2lg4b,则( )
A.a>2bB.a<2b
C.a>b2D.a6.(2020课标全国Ⅱ,9,5分,)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )
A.是偶函数,且在12,+∞单调递增
B.是奇函数,且在-12,12单调递减
C.是偶函数,且在-∞,-12单调递增
D.是奇函数,且在-∞,-12单调递减
7.(2019浙江,6,4分,)在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=lgax+12(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
8.(2018课标全国Ⅲ,7,5分,)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( )
A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)
C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)
9.(2020课标全国Ⅱ,11,5分,)若2x-2y<3-x-3-y,则( )
A.ln(y-x+1)>0B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0
10.(2020课标全国Ⅲ,12,5分,)已知55<84,134<85.设a=lg53,b=lg85,c=lg138,则( )
A.aC.b考点3 含参数的指数函数、对数函数问题的解法
11.(2019课标全国Ⅱ,14,5分,)已知f(x)是奇函数,且当x<0时, f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a= .
12.(2018课标全国Ⅰ,13,5分,)已知函数f(x)=lg2(x2+a),若f(3)=1,则a= .
强基计划
(2018复旦大学自主招生试题,16,)设方程lg3x3+lg273x=-43的两个根为a和b,求a+b的值.
三年模拟练
1.(2020宁夏大学附属中学高二期中,)函数f(x)=ln x-x+1的图象大致为( )
2.(2020山东潍坊高一上期中,)已知a=lg32,b=314,c=ln23,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>cB.b>a>c
C.c>b>aD.c>a>b
3.(2020安徽舒城中学高二开学考试,)设函数f(x)=31-x,x≤1,1-lg3x,x>1,则满足f(x)≤3的x的取值范围是( )
A.[0,+∞)B.[-1,3] C.[0,3]D.[1,+∞)
4.(2019湖南长郡中学高一上第一次模块检测,)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=ex1+ex-12,则函数y=[f(x)]的值域是( )
A.{0,1}B.{1} C.{-1,0,1}D.{-1,0}
5.(2019山东师大附中高一上第一次学分认定考试,)设0A.(-∞,0)B.(lga3,+∞) C.(-∞,lga3)D.(0,+∞)
6.(2020四川成都外国语学校高一期中,)已知函数f(x)=|lg2x|(x≤2),若a≠b,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是( )
A.1,52B.2,52 C.(2,+∞)D.[1,2]
7.()下列判断正确的是 (填序号).
①若f(x)=x2-2ax在[1,+∞)上为增函数,则a=1;
②函数y=ln(x2+1)的值域是R;
③函数y=2|x|的最小值为1;
④在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与y=12x的图象关于y轴对称.
8.(2020江西九江高一期末,)已知函数f(x)=12x,函数g(x)=lg2x.
(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为1,求实数a的值.
9.(2020山东菏泽一中高一月考,)2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T(单位:年)的衰变规律满足N=N0·2-T5730(N0表示碳14原有的质量),则经过5 730年后,碳14的质量变为原来的 ;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到 年之间.(参考数据:lg 2≈0.3,lg 7≈0.84,lg 3≈0.48)
答案全解全析
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1~2.3综合拔高练
五年高考练
1.答案 C
信息提取 ①I(t)=K1+e-0.23(t-53);
②I(t*)=0.95K,求t*.
数学建模 以新冠肺炎疫情为情境,构建lgistic模型,通过解方程I(t*)=K1+e-0.23(t*-53)=0.95K求值.
解析 因为I(t)=K1+e-0.23(t-53),所以I(t*)=K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,整理得e0.23(t*-53)=19,
所以0.23(t*-53)=ln 19≈3,
解得t*≈66.故选C.
2.答案 B
信息提取 ①累计感染病例数I(t)与时间t(单位:天)满足:I(t)=ert;②指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT;③R0=3.28,T=6;④累计感染病例数增加1倍所需的时间.
数学建模 以基本再生数与新冠疫情感染的变化规律为情境,构建指数函数模型:I(t)=ert,根据R0=3.28,T=6,R0=1+rT求出r,将参数代入给定的函数模型,写出表达式I(t)=ert=e0.38t,设累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天,列出方程I(t1)=2I(0)进行求解.
解析 因为R0=3.28,T=6,R0=1+rT,
所以r=3.28-16=0.38,所以I(t)=ert=e0.38t,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天,
则I(t1)=2I(0),即e0.38t1=2,所以0.38t1=ln 2,所以t1=ln20.38≈≈1.8.故选B.
3.B ∵a=lg20.220=1,c=0.20.3∈(0,1),∴a4.D 因为a=30.7>1,b=13-0.8=30.8>30.7=a,c=lg0.70.8<,
所以c<15.B 2a+lg2a=22b+lg2b<22b+lg2(2b),
令f(x)=2x+lg2x,则f(a)又易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以a<2b,故选B.
6.D |2x+1|>0,|2x-1|>0⇒x∈xx≠±12,x∈R,∴函数f(x)的定义域关于原点对称,
又∵f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)是奇函数,排除A、C;当x∈-12,12时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),易知y=ln(2x+1)在-12,12上单调递增,y=ln(1-2x)在-12,12上单调递减,∴函数f(x)在-12,12上单调递增,排除B.故选D.
7.D 对于函数y=lgax+12,当y=0时,有x+12=1,得x=12,即y=lgax+12的图象恒过定点12,0,排除选项A、C;函数y=1ax与y=lgax+12在各自定义域上单调性相反,排除选项B,故选D.
8.B y=ln x的图象过点(1,0),点(1,0)关于直线x=1的对称点还是(1,0),结合选项可知,只有y=ln(2-x)的图象过点(1,0).故选B.
9.A 因为2x-2y<3-x-3-y,
所以2x-3-x<2y-3-y.
设f(x)=2x-3-x,
易知y=2x在R上是增函数,y=3-x在R上是减函数,
所以f(x)在R上为增函数.
由2x-3-x<2y-3-y得x所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,故选A.
10.A 因为(845)5=84>55,所以845>5,所以45=lg8845>lg85=b,即b<45.因为(1345)5=134<85,所以1345<8,所以45=lg13134545.又2 187=37<55=3 125,所以lg 3757,所以b=lg5lg8>57,所以c>b>a.
11.答案 -3
解析 由x>0可得-x<0,由f(x)是奇函数可知f(-x)=-f(x),
∴x>0时, f(x)=-f(-x)=-[-ea(-x)]=e-ax,则f(ln 2)=e-aln 2=8,
∴-aln 2=ln 8=3ln 2,∴a=-3.
12.答案 -7
解析 由f(3)=lg2(9+a)=1,得9+a=2,即a=-7.
13.解析 利用对数的换底公式把方程lg3x3+lg273x=-43化为11+lg3x+1+lg3x3=-43,
化简得(1+lg3x)2+4(1+lg3x)+3=0,
解得1+lg3x=-1或1+lg3x=-3,
即lg3x=-2或lg3x=-4,
因此x=19或x=181,从而a+b=19+181=1081.
三年模拟练
1.A 当x∈(0,e-1)时,ln x<-1,ln x+1<0,所以f(x)=ln x-x+1<0,故排除B、C;由f(e)=ln e-e+1=2-e>0,可排除D.故选A.
2.B 因为a=lg32∈(0,1),b=314>1,c=ln23<0,所以a,b,c的大小关系为b>a>c.故选B.
3.A 由函数f(x)=31-x,x≤1,1-lg3x,x>1满足f(x)≤3,可得
当x≤1时,31-x≤3,即1-x≤1,解得x≥0,此时0≤x≤1;
当x>1时,1-lg3x≤3,即lg3x≥-2=lg33-2,解得x≥19,此时x>1.
综上,x的取值范围是[0,+∞).故选A.
4.D 由题知f(x)=ex1+ex-12=ex+1-1ex+1-12=12-1ex+1.
∵ex>0,∴ex+1>1,∴-12<12-1ex+1<12.
当-12<12-1ex+1<0时,[f(x)]=-1;
当0≤12-1ex+1<12时,[f(x)]=0.
因此y=[f(x)]的值域是{-1,0},故选D.
5.C 由f(x)<0,得lga(a2x-2ax-2)∵0∴a2x-2ax-2>1,
即(ax)2-2ax-3>0,
即(ax-3)(ax+1)>0,
又ax+1>0,∴ax-3>0,∴ax>3=alga3,
由06.B 作出函数f(x)=|lg2x|(x≤2)的图象,如图.
因为f(a)=f(b)且a≠b,所以不妨设a当f(x)=|lg2x|=1时,解得x=2或x=12,
所以12≤a<1由f(a)=f(b),得|lg2a|=|lg2b|,
去绝对值可得-lg2a=lg2b,
所以lg2a+lg2b=0,
所以lg2(ab)=0,
即ab=1,所以a+b=a+1a,
设g(a)=a+1a,a∈12,1.
易知函数g(a)=a+1a在12,1上单调递减,所以a+b∈2,52,故选B.
7.答案 ③④
解析 由f(x)=x2-2ax在[1,+∞)上为增函数,知a≤1,①错误;由y=ln(x2+1)≥ln 1=0,知其值域为[0,+∞),②错误;借助图象知③④正确.
8.解析 (1)g(mx2+2x+m)=lg2(mx2+2x+m),
∵g(mx2+2x+m)的定义域为R,
∴mx2+2x+m>0恒成立,
当m=0时,不符合,
当m≠0时,需满足m>0,4-4m2<0,解得m>1,
∴实数m的取值范围为(1,+∞).
(2)令t=f(x)=12x,当x∈[-1,1]时,t∈12,2,
则函数y=[f(x)]2-2af(x)+3化为y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,t∈12,2.
①当a>2时,
可得当t=2时,y取最小值,且ymin=7-4a=1,解得a=32(舍去);
②当12≤a≤2时,
可得当t=a时,y取最小值,且ymin=3-a2=1,解得a=-2(舍)或a=2;
③当a<12时,
可得当t=12时,y取最小值,且ymin=134-a=1,解得a=94(舍去).
综上,a=2.
9.答案 12;6 876
信息提取 ①样本中碳14的质量N随时间T(单位:年)的衰变规律满足N=N0·2-T5730(N0表示碳14原有的质量);②碳14的质量是原来的37至12.
数学建模 以良渚古城遗址考古测定的放射性物质衰变规律为情境,构建指数函数模型N=N0·2-T5730,把T=5 730代入N=N0·2-T5730,求出碳14的质量与原来的关系;令2-T5730>37,两边同时取以2为底的对数,结合给定的对数值求出T的范围.
解析 ∵N=N0·2-T5730,
∴当T=5 730时,N=N0·2-1=12N0,
∴经过5 730年后,碳14的质量变为原来的12.
由题意可知2-T5730>37,
两边同时取以2为底的对数,
得lg22-T5730>lg237,
∴-T5730>lg37lg2=lg3-lg7lg2≈-1.2,
∴T<6 876,
∴推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间.
1.C
2.B
3.B
4.D
5.B
6.D
7.D
8.B
9.A
10.A
1.A
2.B
3.A
4.D
5.C
6.B