数学必修12.3 幂函数教案设计

2.3 幂函数

课前预习 · 预习案

【温馨寄语】

你是花季的蓓蕾，你是展翅的雄鹰，明天是你们的世界，一切因你们而光辉

【学习目标】

1．能熟练利用幂函数的图象和性质解决相关的综合问题.

2．结合函数，，，，的图象，了解它们的变化情况.

3．通过实例了解幂函数的概念.

【学习重点】

幂函数的图像和性质

【学习难点】

幂函数的图像和性质

【自主学习】

1．幂函数的概念

(1)解析式为：                  (其中为常数).

(2)自变量是：                  .

2．常见的五种幂函数的图象与性质

【预习评价】

1．下列函数中不是幂函数的是

A.          B.          C.         D.

2．幂函数是二次函数，则

A.1          B.4          C.2         D.3

3．已知，，则              .

4．幂函数的定义域为           ，其奇偶性是            .

5．幂函数在(0，+∞)上是减函数，则的取值范围是             .

知识拓展 · 探究案

【合作探究】

1．幂函数的解析式  根据幂函数的解析式，完成下列填空，并明确其具有的三个结构特征：

(1)特征1：自变量在         位置，且只能是而不能为关于的代数式.

(2)特征2：指数位置为          ，不含变量.

(3)特征3：的系数是           .

2．幂函数的图象和性质  根据幂函数为常数)的解析式及当到不同范围内值时在第一象限的图象的特征，思考下列问题：

(1)观察上面的图象，①当时图象都经过定点            ，           .

②当时，图象经过定点                .

(2)观察上面的幂函数图象，分析幂函数在区间(0，+∞)上为增函数时，满足的条件是什么？在区间(0，+∞)上为减函数时，满足的条件是什么？

3．幂函数的图象和性质  幂函数中，令(其中，).讨论，的取值是如何影响函数的奇偶性的？

【教师点拨】

1．对幂函数解析式的说明

(1)定义中所说的形如为常数)的形式一般来说是不可改变的，否则就不是幂函数.

(2)解析式中的指数是常数.

2．对幂函数图象与性质的三点说明

(1)定点：所有幂函数的图象均过定点(1，1).

(2)单调性：当时，在区间(0，+∞)上是增函数；当时，在区间(0，+∞)上是减函数.

(3)图象特征：当时在区间(0，+∞)上增加得越来越快；当时在区间(0，+∞)上增加得比较缓慢.

【交流展示】

1．在，，，四个函数中，幂函数有

2．已知是幂函数，求，的值.

3．如图所示的曲线是幂函数的第一象限的图象，已知，相应于曲线，，，的值依次为

4．已知幂函数的图象过点，试求出该函数的定义域、单调区间、奇偶性.

5．若 ，则的取值范围是

6．把，，，，按从小到大的顺序排列                         .

【学习小结】

1．幂函数的判断方法

(1)看形式：判断一个函数是否是幂函数，关键看解析式是否符合为常数)这一结构形式.

(2)明特征：幂函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是幂函数.

2．求幂函数解析式的依据及常用方法

(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.

(2)常用方法：设幂函数解析式为，根据条件求出.

3．幂函数图象的画法

(1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据的取值，确定幂函数在第一象限内的图象.

(2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数在其他象限内的图象.

4．求幂函数中含参数问题的三个步骤

【当堂检测】

1．已知函数为幂函数，求其解析式.

2．比较下列各组数中两个数的大小：

(1)与.

(2) 与.

(3) 与.

答案

课前预习 · 预习案

【自主学习】

1．(1)y＝xa　(2)x

2．R　R　R　[0，＋∞)　(－∞，0)∪(0，＋∞)　R　[0，＋∞)　R　[0，＋∞)

{y|y∈R且y≠0}　奇　偶　奇

非奇非偶　奇　增　x∈[0，＋∞)增，x∈(－∞，0)减　增　增　x∈(0，＋∞)减，x∈R(－∞，0)减　(1，1)

【预习评价】

1．D

2．B

3．-1

4．(0，＋∞)　非奇非偶函数

5．a＞2

知识拓展 · 探究案

【合作探究】

1．(1)底数　(2)常数α　(3)1

2．(1)①(0，0)　(1，1)　②(1，1)

(2)当α＞0时，y＝xa在(0，＋∞)上为增函数.

当α＜0时，y＝xa在(0，＋∞)上为减函数.

3．当p，q都为奇数时，幂函数y＝xa(α为常数)为奇函数；当p为奇数，q为偶数时，幂函数y＝xa(α为常数)为偶函数.

【交流展示】

1．B

2．由题意得

解得

所以m＝－3，.

3．B

4．因为，所以，

即，所以.

由，得x≠0，

所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).

又因为，

所以f(x)是偶函数.

因为，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上是增函数.

故f(x)的单调减区间为(0，＋∞)，增区间务(－∞，0).

5．C

6．

【当堂检测】

1．因为为幂函数，所以m2－3m＋3＝1，

解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数解析式为；

当m＝2时，幂函数解析式为.

2．(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，

又，所以.

(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，

又，所以.

(3)因为函数力为减函数，

又，所以，

又因为函数在(0，＋∞)上是增函数，且，所以，所以.