人教版新课标A必修12.3 幂函数练习题

学业分层测评(十九)

 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题　　　 　　　　　　 　　　　　

1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则log2f(2)的值为(　　)

A.   B．－

C．2   D．－2

【解析】　设log2f(2)＝n，则f(2)＝2n，∴f(x)＝xn，

又∵由幂函数y＝f(x)的图象过点，

∴n＝＝⇒n＝，故选A.

【答案】　A

2．已知幂函数f(x)＝xa，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则a的取值范围是(　　)

A．0＜a＜1   B．a＜1

C．a＞0   D．a＜0

【解析】　当x＞1时，f(x)＜x恒成立，

即xa－1＜1＝x0恒成立，

因为x＞1，所以a－1＜0，解得a＜1，故选B.

【答案】　B

3．如图2­3­2所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　)

图2­3­2

A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1

D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1

【解析】　因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．

【答案】　B

4．已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，则f(x)的增区间为(　　)

A．(－∞，＋∞)   B．(－∞，0)

C．[0，＋∞)   D．(1，＋∞)

【解析】　设幂函数f(x)＝xn，则4n＝2，解得n＝，即f(x)＝，则增区间为[0，＋∞)．故选C.

【答案】　C

5．设则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c   B．b＜a＜c

C．c＜a＜b   D．b＜c＜a

【解析】　由于函数y＝x在它的定义域R上是减函数，

∴由于函数y＝x在它的定义域R上是增函数，且>，故有c＝，故a，b，c的大小关系是b＜a＜c，故选B.

【答案】　B

二、填空题

6．若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是________．

【解析】　因为函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，

所以⇒

解得m＝3.

【答案】　3

7．从小到大依次是________．

【解析】　∵，

<

【答案】　

8．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若n＞n，则n＝________.

【解析】　∵－＜－，且n＞n，

∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．

又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，

∴n＝－1或n＝2.

【答案】　－1或2

三、解答题

9．比较下列各组数的大小：

【解】　(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.3<2.4.

(2)∵y＝x－为(0，＋∞)上的减函数，且<，

∴()－>()－.

(3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31)＝0.31.

又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.31<0.35，即(－0.31)<0.35.

10．已知幂函数y＝f(x)经过点.

(1)试求函数解析式；

(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．

【解】　(1)由题意，得f(2)＝2a＝，即a＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.

(2)∵f(x)＝x－3＝，∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，

∴该幂函数为奇函数．

当x＞0时，根据幂函数的性质可知f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f(x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．

[能力提升]

1．如图，函数y＝x的图象是(　　)

【解析】　幂函数y＝x是偶函数，图象关于y轴对称．

【答案】　D

2．三个数60.7,0.76，log0.76的大小顺序是(　　)

A．0.76＜60.7＜log0.76　 B．0.76＜log0.76＜60.7

C．log0.76＜60.7＜0.76   D．log0.76＜0.76＜60.7

【解析】　由指数函数和对数函数的图象可知：60.7＞1,0＜0.76＜1，log0.76＜0，∴log0.76＜0.76＜60.7，故选D.

【答案】　D

3．若(a＋1)－<(3－2a)－，则a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　令f(x)＝x－＝，∴f(x)的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于解得<a<.

【答案】　B

4．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足：

①是区间(0，＋∞)上的增函数；             

②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.

求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．

【解】　因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因为对任意x∈R，都有

f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；

当m＝1时，f(x)＝x0，条件①，②都不满足．

当m＝0时，f(x)＝x3，条件①，②都满足，且在区间[0,3]上是增函数，所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．