数学必修12.3 幂函数教案

2.3 幂函数（教学设计）

教学目的：

1．通过实例，了解幂函数的概念．

2．具体结合函数的图象，了解幂函数的变化情况．

3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导．

教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．

教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．

一、新课导入

先看五个具体的问题：

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数；

（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里是的函数；

（3）如果立方体的边长为a，求立方体的体积，这里是a的函数；

（4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数；

（5）如果某人 s内骑车进行了1km，那么他骑车的平均速度km/s，这里是的函数．

讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？

它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数．

从上述函数中，我们观察到，它们都是形如的函数．

二、师生互动，新课讲解：

1、幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数（power function），其中是自变量，是常数．对于幂函数，我们只讨论时的情形．

2、幂函数的图象

在同一直角坐标系内作出幂函数； ； ；；的图象．

观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．

3、幂函数的性质

1）．五个具体的幂函数的性质

（1）函数； ； ；和的图象都通过点（1，1）；

（2）函数；；是奇函数，函数是偶函数；

（3）在区间上，函数，，和是增函数，函数是减函数；

（4）在第一象限内，函数的图象向上与轴无限接近，向右与轴无限接近．

2）．一般的幂函数的性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；

 >1时，图象向上，靠近y轴；

0<<1，图景向上，靠近x轴；

=1是条直线。

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴；

（4）幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数由小到大；轴和直线之间，图象由上至下，指数由小到大．

课堂练习： 已知幂函数在第一象限内的图象如图所示，且分别取四个值，则相应于曲线的的值依次为              ．

例1：（课本第78页例1）证明幂函数在上是增函数．

变式训练1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：

（1），；（2），；（3），；（4），．

例2：求下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性：

（1）；（2）；（3）； （4）

解  （1）函数的定义域是，它是奇函数；

    （2）函数即，其定义域是，它是偶函数；

    （3）函数即，其定义域是，它既不是奇函数，也不是偶函数；

    （4）函数即，其定义域是，它是奇函数．

变式训练2：

（1）. 设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（  A  ）．

(A) ，     (B) ，   (C) ，   (D) ，，

（2）. 若函数，则函数在其定义域上是（  B  ）．

(A) 单调递减的偶函数        (B) 单调递减的奇函数      

(C) 单调递增的偶函数        (D) 单调递增的奇函数

（3）若幂函数f(x)的图象经过点(3，)，则其定义域为(　　)

A．{x|x∈R，x>0}　　　　B．{x|x∈R，x<0}C．{x|x∈R，且x≠0}     D．R

解析：设f(x)＝xα.∵图象过点(3，)，∴＝3α，即3－2＝3a，∴α＝－2，即f(x)＝x－2＝，∴x2≠0，即x≠0.

答案：C

例3：在同一坐标系作出函数y=x2与y=2x的图象。

变式训练3：已知幂函数f(x)＝ (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.

解析：∵幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3<0，∴－1<m<3，又m∈N*，∴m＝1或2，当m＝1时，f(x)＝x－4，其图象关于y轴对称，符合；当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，不符合，∴m＝1.

答案：1

布置作业：

A组：

1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　)

解析：注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，结合选项知，其图象应与④对应；图象①与y＝x3大致对应．综上述所述，选B.

答案：B

2．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝__________.

解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．

答案：－1或2

3．（课本P79习题2.3 NO:1）已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．

4．(课本P79习题2.3 NO:2)在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．

（1）写出气流流量速率v关于管道半径r的函数解析式；

（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；

（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1cm3/s）．

5．讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说出函数的单调性．

6．已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－.

(1)求m的值；

(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．

解：(1)∵f(4)＝－，∴－4m＝－.∴m＝1.

(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，

证明如下：

任取0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)

＝(－x1)－(－x2)＝(x2－x1)(＋1)．

∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，＋1>0.

∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，

即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．

B组：

1．如果幂函数f(x)＝ (p∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．

解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴－p2＋p＋>0，即p2－2p－3<0.∴－1<p<3，又∵f(x)是偶函数且p∈Z.∴p＝1，故f(x)＝x2.