2021学年2.3 幂函数教案

这是一份2021学年2.3 幂函数教案，共12页。教案主要包含了问题导思，思路探究，自主解答，思路点拨，规范解答等内容，欢迎下载使用。

教学教法分析
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解幂函数的概念，会画幂函数的图象；
(2)结合几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和简单性质．
2．过程与方法
(1)类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质．引导学生通过观察、归纳、抽象、概括幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．能运用幂函数概念解决简单的问题；
(2)使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；
(2)进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
(3)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
●重点难点
重点：从五个具体的幂函数中认识概念和性质．
难点：从幂函数的图象中概括其性质．
重难点的突破：以学生熟知的函数y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝x3，y＝xeq \f(1,2)为切入点，类比指数函数及对数函数的概念得出幂函数的概念．通过学生自主作图，并观察五个具体的幂函数的图象，经小组讨论并结合多媒体的直观演示，师生共同总结出函数y＝xα的图象特征.
课前自主导学
【问题导思】
1．函数y＝2x与y＝x2有何不同？
【提示】 在函数y＝2x中，常数2为底数，自变量x为指数，故为指数函数；而在函数y＝x2中，自变量x为底数，常数2为指数，故为幂函数．
2．函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1及y＝xeq \f(1,2)解析式有何共同特征？
【提示】 指数为常数；底数是自变量，自变量的系数为1；幂xα的系数为1；只有1项．
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
【问题导思】 
在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x\f(1,2)，y＝x－1的图象如图.

1．它们的图象都过同一定点吗？
【提示】 是的，都过定点(1,1)．
2．上述五个函数，在(0，＋∞)内是增函数的是哪几个？是减函数的呢？
【提示】 在(0，＋∞)内是增函数的有：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \f(1,2).
在(0，＋∞)内是减函数的有：y＝x－1.
3．上述5个函数的图象关于原点对称，是奇函数的有哪几个？图象关于y轴对称，是偶函数的呢？
【提示】 图象关于原点对称是奇函数的有：y＝x，y＝x3，y＝x－1；图象关于y轴对称，为偶函数的是y＝x2.
幂函数的性质
课堂互动探究
已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
【思路探究】 eq \x(已知函数)eq \(――→,\s\up12(对照))eq \x(y＝xα)eq \(――→,\s\up12(列方程组))eq \x(求m，n)
【自主解答】 ∵函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，
由幂函数的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1,2n－3＝0，))解得m＝－3或1，n＝eq \f(3,2).
1．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．反之，若一个函数具有这种形式，则该函数必为幂函数．
2．判断函数解析式以根式形式给出的函数是否为幂函数，要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f(100)＝________.
【解析】 由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝xeq \f(1,2)，
∴f(100)＝100eq \f(1,2)＝10.
【答案】 10
已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图2－3－1所示，则a，b，c的大小关系为( )
A．c C．b 图2－3－1
【思路探究】
eq \x(利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质)eq \x(结合所给图象分析)eq \x(判断a，b，c的大小关系)
【自主解答】 由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.
由幂函数的性质知，当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.
综上所述，可知c【答案】 A
1．本题也可采用特殊值法，如取x＝2，结合图象可知2a>2b>2c，又函数y＝2x在R上是增函数，于是a>b>c.
2．对于函数y＝xαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＝±1，\f(1,2)，2，3))而言，其图象有以下特点：
(1)恒过点(1,1)，且不过第四象限．
(2)当α＞0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是减函数．
(3)在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．
幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y＝xeq \f(1,2)的图象经过的“卦限”是( )
A．④⑦ B．④⑧
C．③⑧ D．①⑤

【解析】 ∵x－eq \r(x)＝eq \r(x)(eq \r(x)－1)，当0即x当x>1时，x－eq \r(x)>0，即x>eq \r(x)>1，∴幂函数y＝xeq \f(1,2)的图象经过“卦限⑤”．
【答案】 D
比较下列各组数的大小：
(1)3－eq \f(5,2)和3.1－eq \f(5,2)；
(2)－8－eq \f(7,8)和－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \f(7,8)；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－eq \f(2,3)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))－eq \f(2,3)；
(4)4.1eq \f(2,5)，3.8－eq \f(2,3)和(－1.9)－eq \f(3,5).
【思路探究】 eq \x(幂的结构)eq \(―――――――――――――――→,\s\up12(借助幂函数的单调性或中间量))eq \x(幂的大小).
【自主解答】 (1)函数y＝x－eq \f(5,2)在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以3－eq \f(5,2)>3.1－eq \f(5,2).
(2)－8－eq \f(7,8)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \f(7,8)，函数y＝xeq \f(7,8)在(0，＋∞)上为增函数，
又eq \f(1,8)>eq \f(1,9)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \f(7,8)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \f(7,8)，从而－8－eq \f(7,8)<－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \f(7,8).
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－eq \f(2,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－eq \f(2,3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))－eq \f(2,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))－eq \f(2,3).
函数y＝x－eq \f(2,3)在(0，＋∞)上为减函数，又eq \f(2,3)>eq \f(π,6)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－eq \f(2,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－eq \f(2,3)(4)4.1eq \f(2,5)>1eq \f(2,5)＝1；0<3.8－eq \f(2,3)<1－eq \f(2,3)＝1；(－1.9)－eq \f(3,5)<0，
所以(－1.9)－eq \f(3,5)<3.8－eq \f(2,3)<4.1eq \f(2,5).
1．比较幂的大小的三种常用方法
2．利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．
已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．
【解】 ∵f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，∴m－3<0，∴m<3.
又∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵f(x)＝xm－3是偶函数，∴m－3是偶数．
∴m＝1.∴f(x)＝x－2.
思想方法技巧
巧用幂函数的性质求参数的范围
(12分)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－eq \f(m,3)<(3－2a)－eq \f(m,3)的a的取值范围．
【思路点拨】 eq \x(据题中条件)→eq \x(列出不等式组)→eq \x(求出m)→eq \x(利用幂函数的单调性)→eq \x(对底数分类讨论)→eq \x(得a)
【规范解答】 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－9<0，解得m<3. 4分
又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1. 8分
∴有(a＋1)－eq \f(1,3)<(3－2a)－eq \f(1,3).
又∵y＝x－eq \f(1,3)在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a， 10分
解得eq \f(2,3)
1．本题涉及到幂函数的单调性、奇偶性、图象等问题，解题的关键是准确把握幂函数的图象，实质上，抓住了幂函数的图象也就抓住了性质．
2．分类讨论思想．本题中依“a＋1,3－2a”是否在同一区间为分类标准，从而做到不重不漏，学习中应注意分类意识的培养．
课堂小结
1．幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq \f(1,2))图象与性质的关系．
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题．
当堂双基检测
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝5xB．y＝x5
C．y＝5xD．y＝(x＋1)3
【解析】 函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
【答案】 B
2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝xB．y＝x2
C．y＝x3D．y＝xeq \f(1,2)
【解析】 结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3及y＝xeq \f(1,2)的图象可知，幂函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．
【答案】 B
3．若幂函数f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝________.
【解析】 设幂函数f(x)＝xα，则由题意可知
f(2)＝2α＝eq \f(1,4)，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2＝4.
【答案】 4
4．比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.5eq \f(3,5)与1.6eq \f(3,5)；(2)0.61.3与0.71.3；
(2)3.5－eq \f(2,3)与5.3－eq \f(2,3)；(4)0.18－0.3与0.15－0.3.
【解】 (1)∵幂函数y＝xeq \f(3,5)在(0，＋∞)上单调递增，且1.5<1.6，∴1.5eq \f(3,5)<1.6eq \f(3,5).
(2)∵幂函数y＝x1.3在(0，＋∞)上单调递增，且0.6<0.7，∴0.61.3<
(3)∵幂函数y＝x－eq \f(2,3)在(0，＋∞)上单调递减，且3.5<5.3，∴3.5－eq \f(2,3)>5.3－eq \f(2,3).
(4)∵幂函数y＝x－0.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.18>0.15，∴0.18－0.3<0.15－0.3.
课后知能检测
一、选择题
1．下列函数中，定义域为R的是( )
A．y＝x－2 B．y＝xeq \f(1,2)
C．y＝x2D．y＝x－1
【解析】 对A，由y＝x－2＝eq \f(1,x2)，知x≠0；
对B，由y＝xeq \f(1,2)＝eq \r(x)，知x≥0；
对D，由y＝x－1＝eq \f(1,x)，知x≠0.
故A，B，D中函数的定义域均不为R，从而选C.
【答案】 C
2．函数y＝xeq \f(5,3)的图象大致是( )
【解析】 ∵函数y＝xeq \f(5,3)在(0,0)处有定义，且该函数为奇函数，故排除选项A、D，又eq \f(5,3)>1，故排除选项C.
【答案】 B
3．下列命题中正确的是( )
A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数
D．幂函数的图象不可能在第四象限
【解析】 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为两条射线，故A选项不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故选项B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x>0，α∈R时，y＝xα>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D正确．
【答案】 D
4．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \f(3,5)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \f(2,5)，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \f(2,5)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>cB．c>a>b
C．ac>a
【解析】 ∵函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x在R上是减函数，又eq \f(3,5)>eq \f(2,5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \f(3,5)又∵函数y＝xeq \f(2,5)在R上是增函数，且eq \f(3,5)>eq \f(2,5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \f(2,5)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \f(2,5)，即c>b，∴a【答案】 C
图2－3－3
5．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是递减的，且f(－2)＝0，如图2－3－3所示，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2)
【解析】 由图可得在(－∞，0)上，f(x)<0的解集为(－2,0]．因为f(x)为偶函数，所以x的取值范围为(－2,2)．
【答案】 D
二、填空题
6．函数y＝x－2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的最大值为________．
【解析】 ∵函数y＝x－2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上是减函数，
故该函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的最大值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2＝4.
【答案】 4
7．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值组成的集合为________．
【解析】 当α＝－1或α＝eq \f(1,2)时，所得幂函数的定义域不是R；
当α＝1或α＝3时，所得幂函数的定义域为R且为奇函数．
【答案】 {1,3}
8．幂函数y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,8)))，则满足f(x)＝－27的x值等于________．
【解析】 设f(x)＝xα，由题意可知2α＝eq \f(1,8)，α＝－3，即f(x)＝x－3.
由x－3＝－27可知x＝－eq \f(1,3).
【答案】 －eq \f(1,3)
三、解答题
9．(2014·济南高一检测)已知函数y＝(m2－3m＋3)xeq \f(m2,3)－1为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性．
【解】 由题意得m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0.∴m＝1或m＝2.
当m＝2时，y＝xeq \f(1,3)，定义域为R，
y＝xeq \f(1,3)在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数．
当m＝1时，y＝x－eq \f(2,3)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
由于y＝x－eq \f(2,3)＝eq \f(1,x\f(2,3))＝eq \f(1,\r(3,x2))，∴函数y＝x－eq \f(2,3)为偶函数．
又－eq \f(2,3)<0，∴y＝x－eq \f(2,3)在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
10．点(eq \r(2)，2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)图象上，当x为何值时，有
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)【解】
设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，则(eq \r(2))α＝2，(－2)β＝－eq \f(1,2)，
∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，
①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
②当x＝1时，f(x)＝g(x)；
③当x∈(0,1)时，f(x)11．设f(x)＝eq \f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq \f(ax－a－x,2)(其中a>0且a≠1)．
(1)由5＝2＋3，请你探究g(5)能否用f(2)，g(2)，f(3)，g(3)来表示；
(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广．
【解】 (1)∵g(5)＝eq \f(a5－a－5,2)，
而f(2)g(3)＋g(2)f(3)＝eq \f(a2＋a－2,2)·eq \f(a3－a－3,2)＋eq \f(a2－a－2,2)·eq \f(a3＋a－3,2)
＝eq \f(1,4)(a5＋a－a－1－a－5＋a5－a＋a－1－a－5)＝eq \f(1,2)(a5－a－5)，
∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)由(1)可得g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．
证明：f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝eq \f(ax＋a－x,2)·eq \f(ay－a－y,2)＋eq \f(ax－a－x,2)·eq \f(ay＋a－y,2)
＝eq \f(1,4)(ax＋y＋ay－x－ax－y－a－y－x＋ax＋y－ay－x＋ax－y－a－x－y)
＝eq \f(1,2)(ax＋y－a－x－y)＝g(x＋y).课标解读
1.掌握幂函数的概念、图象和性质．(重点)
2．熟悉α＝1,2,3，eq \f(1,2)，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．(易混点)
3．能利用幂函数的性质来解决实际问题．(难点)
知识1
幂函数的概念
知识2
幂函数的图象及性质
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \f(1,2)
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上是
增函数
在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数
在R上是增函数
在[0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数
公共点
(1,1)
类型1
幂函数的概念
类型2
幂函数的图象
类型3
幂函数的性质及应用