高中数学人教版新课标A必修1第二章 基本初等函数（Ⅰ）综合与测试同步达标检测题

这是一份高中数学人教版新课标A必修1第二章 基本初等函数（Ⅰ）综合与测试同步达标检测题，共11页。试卷主要包含了下列结论中正确的个数为，计算，已知函数f=lga等内容，欢迎下载使用。

易混易错练
易错点1 利用指数、对数运算性质进行运算时忽视公式中的限定条件导致错误
1.()下列结论中正确的个数为( )
①当a<0时,(a2)32=a3;②nan=|a|(n>0);③函数y=(x-2)12-(3x-7)0的定义域是(2,+∞);④若100a=5,10b=2,则2a+b=1.
A.0B.1C.2D.3
2.()计算:(1)5lg25(1-3)2+3lg9(1+3)2;
(2)3(-8)3+4(3-2)4-3(2-3)3.
易错点2 研究指数、对数函数时忽视对底数分01两种情况讨论导致错误
3.(2019湖北武昌实验中学高一上期中,)若lga12<2,则a的取值范围是( )
A.22,+∞B.0,22 C.22,1D.0,22∪(1,+∞)
4.()若函数f(x)=ax+lga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为 .
5.()已知lga(2a+1)0且a≠1,求实数a的取值范围.
6.()已知函数f(x)=lga(8-ax)(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)<2,求实数x的取值范围;
(2)若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
易错点3 研究指数、对数函数时忽视定义域与值域导致错误
7.()已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f13=0,则不等式f(lg18x)<0的解集为( )
A.0,12B.12,+∞
C.12,1∪(2,+∞)D.0,12∪(2,+∞)
8.()若函数f(x)=lga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,3)
C.(1,+∞)D.[3,+∞)
9.()若函数f(x)=lg12(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,则a的取值范围为( )
A.(-∞,4]B.(-4,4]
C.[-4,4)D.[-4,4]
10.(2020山东枣庄高一上期末,)已知f(x)=3x-4,x>1,3x,x≤1,若a思想方法练

一、函数与方程思想在解决函数问题中的应用
1.(2019湖北黄冈高一上期末,)已知函数f(x)的定义域为D,若函数f(x)满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为a2,b2,那么就称函数f(x)为“减半函数”.若函数f(x)=lgc(2cx+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则t的取值范围为( )
A.(0,1)B.(0,1]
C.-∞,18D.0,18
2.(2020江苏镇江高一期中,)已知函数y=f(x)是二次函数,且满足f(0)=3,f(1)=f(3)=0.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(lg2x),x∈[2,8]的最小值;
(3)若x∈[1,t](t>1),试将y=f(x)的最小值表示成关于t的函数g(t).
二、数形结合思想在解决函数问题中的应用
3.()如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥lg2(x+1)的解集是( )
A.{x|-1C.{x|-14.()若实数a,b满足a+lg a=8,b+10b=8,则a+b= .
5.()已知函数f(x)=|lg2x|,08,若a,b,c,d互不相同,且a三、分类与整合思想在解决函数问题中的应用
6.()已知函数f(x)=(a-2)x-1,x≤1,lgax,x>1,若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.(1,2)B.(2,3)
C.(2,3]D.(2,+∞)
7.(2019浙江嘉兴一中高一上期中,)设函数f(x)=e|ln x|(e为自然对数的底数),若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是( )
A.x2 f(x1)>1B.x2 f(x1)<1
C.x2 f(x1)=1D.x2 f(x1)8.()设函数f(x)=21-x,x≤1,1-lg2x,x>1,则满足f(x)≤2的x的取值范围是 .
四、转化与化归思想在解决函数问题中的应用
9.(2019吉林省实验中学高一上期中,)定义域为R的函数f(x),对任意实数x均有f(-x)=-f(x),f(2-x)=f(2+x)成立,若当210.(2020山东菏泽高一上期末联考,)设函数f(x)=1ex+aex(a为常数),若对任意x∈R,f(x)≥3恒成立,则实数a的取值范围是 .
11.()若3x=4y=36,则2x+1y= .
五、特殊与一般思想在解决函数问题中的应用
12.()设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时, f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )
A.1B.-1C.-3D.3
()已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数,求a,b的值.
答案全解全析
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
本章复习提升
易混易错练
1.B ①中,当a<0时,(a2)32=[(a2)12]3=(-a)3=-a3,∴①不正确;②中,若a=-2,n=3,则3(-2)3=-2≠|-2|,∴②不正确;③中,由x-2≥0,3x-7≠0,得x≥2且x≠73,故其定义域为2,73∪73,+∞,∴③不正确;④中,∵100a=5,即102a=5,10b=2,∴102a×10b=102a+b=10,∴2a+b=1,∴④正确.
2.解析 (1)原式=25lg25(3-1)+9lg9(1+3)=3-1+1+3=23.
(2)原式=-8+|3-2|-(2-3)=-8+2-3-2+3=-8.
3.D 当a>1时,由lga12<2,得lga1212,解得a>22或a<-22,又a>1,所以a>1;当0综上,a的取值范围是0,22∪(1,+∞).故选D.
易错警示
由于对数函数的图象、单调性等受底数a的影响,所以在底数未知的情况下应先讨论底数与1的大小关系,一般分01两种情况.
4.答案 12
解析 当a>1时,y=ax与y=lga(x+1)在[0,1]上都是增函数,
因此f(x)=ax+lga(x+1)在[0,1]上是增函数,∴f(x)max=f(1)=a+lga2, f(x)min=f(0)=a0+lga1=1,∴a+lga2+1=a,∴lga2=-1=lga1a,解得a=12(舍去);
当0∴f(x)max=f(0)=a0+lga(0+1)=1, f(x)min=f(1)=a+lga2,∴a+lga2+1=a,
∴lga2=-1=lga1a,解得a=12.
综上所述,a=12.
易错警示
解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数自身(如真数、底数的取值)要满足的条件,特别是在研究复合函数的单调性时,除了按照“同增异减”的规律讨论之外,还要特别注意真数大于零.
5.解析 当a>1时,原不等式等价于
2a+1<3a-1,2a+1>0,3a-1>0,所以a>2;
当02a+1>3a-1,3a-1>0,2a+1>0, 所以13综上所述,a的取值范围是13,1∪(2,+∞).
6.解析 (1)当a>1时,由f(x)<2,即lga(8-ax)当0a2,所以x<8a-a.
因此当a>1时,x的取值范围是x|8a-a当0(2)当a>1时,f(x)=lga(8-ax)在[1,2]上是减函数,
由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,得f(x)min=lga(8-2a)>1,且在x∈[1,2]上8-ax>0,即lga(8-2a)>lgaa,且8-2a>0,解得1当0由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,得f(x)min=lga(8-a)>1,且在x∈[1,2]上8-ax>0,即lga(8-a)>lgaa,且8-2a>0,所以a>4,且a<4,故a不存在.
综上可知,实数a的取值范围是1,83.
7.C ∵f(x)是定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f13=0,∴f(x)在(-∞,0)上也为增函数,f-13=0.画出f(x)的大致图象如图所示.结合图象,由f(lg18x)<0,可得02,即不等式f(lg18x)<0的解集为12,1∪(2,+∞).
8.B 设u=6-ax,则函数f(x)由y=lgau,u=6-ax复合而成.因为a>0,所以u=6-ax是减函数,那么函数y=lgau就是增函数,所以a>1.
因为[0,2]为定义域的子集,且u=6-ax是减函数,所以当x=2时,u=6-ax取得最小值,所以6-2a>0,解得a<3.
综上,得19.D 设u=x2-ax+3a,
则函数f(x)由y=lg12u,u=x2-ax+3a复合而成.
因为y=lg12u是减函数,
所以u=x2-ax+3a在(2,+∞)上单调递增,
从而a2≤2,解得a≤4.
又当x∈(2,+∞)时,u=x2-ax+3a>0,
所以当x=2时,u=4-2a+3a≥0,
解得a≥-4.
所以-4≤a≤4.故选D.
易错警示
f(x)在(2,+∞)上为减函数,既要考虑单调性,又要考虑f(x)在(2,+∞)上有意义,解题时注意对数的真数大于0.
10.答案 (-∞,8]
解析 依题意,得a≤1由f(a)=f(b),得3a=3b-4,即3b=3a+4.
设S=a+3b=a+3a+4.
∵函数S=a+3a+4在(-∞,1]上单调递增,
∴S≤1+31+4=8,∴S的取值范围是(-∞,8].
思想方法练
1.D 显然f(x)是定义域上的单调递增函数,因此,若f(x)是“减半函数”,
则f(a)=a2,f(b)=b2,即f(x)=x2有两个不等实根.
故根据函数的性质构建关于a,b的方程组.
lgc(2cx+t)=x2,即2cx+t=cx2.
令cx2=u,则u>0,且2u2-u+t=0.
依题意知方程有两个不等正根,
换元后构造关于u的一元二次方程,根据方程根的情况,应用“三个二次”的关系求解.
∴Δ=1-4×2×t>0,t2>0,解得02.解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
设出函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),根据题意,用待定系数法求出函数的解析式.
因为f(0)=c=3,所以f(x)=ax2+bx+3,
又f(1)=f(3)=0,
所以a+b+3=0,9a+3b+3=0,解得a=1,b=-4.
所以f(x)=x2-4x+3.
(2)令t=lg2x,∵x∈[2,8],∴t∈[1,3].
则y=t2-4t+3=(t-2)2-1,t∈[1,3],
用换元法,令t=lg2x,构造二次函数求最值.
所以当t=2,即x=4时,ymin=-1.
所以函数y=f(lg2x),x∈[2,8]的最小值为-1.
(3)f(x)=x2-4x+3,x∈[1,t](t>1),
定轴动区间问题,讨论区间端点t与对称轴的相对位置.
①当1所以当x=t时,f(x)有最小值t2-4t+3;
②当t>2时,f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,t]上单调递增,
所以当x=2时,f(x)有最小值-1,即此时g(t)=-1.
综上,g(t)=t2-4t+3,12.
3.C 作出函数y=lg2(x+1)的图象,如图所示.
借助函数的图象求解不等式.在已有折线图中画出函数y=lg2(x+1)的图象,求出交点,以交点为分界点分析不等式的解集.
结合图象得,BC所在直线的解析式为y=-x+2,由y=-x+2,y=lg2(x+1),得x=1,y=1,
∴不等式f(x)≥lg2(x+1)的解集为{x|-14.答案 8
解析 依题意得lg a=8-a,10b=8-b,在同一平面直角坐标系内作出函数y=lg x,y=10x,y=8-x,y=x的图象,如图所示.
由图可知,A,B的横坐标即为a,b.
由y=lg x与y=10x互为反函数知,交点A,B关于直线y=x对称,故a+b=8.
作出函数图象,把满足等式的a,b转化为函数图象交点的横坐标,结合互为反函数的图象的对称性分析坐标之间的关系.
5.答案 (96,99)
解析 画出函数y=f(x)和y=t的图象,如图所示.设a,b,c,d分别为y=f(x)的图象与直线y=t交点的横坐标.
画出函数y=f(x)与y=t的图象,问题转化为有四个交点时,横坐标乘积的范围,结合图象利用函数的性质解决该问题.
由图可知,|lg2a|=-lg2a=lg2b,即a·b=1,c+d2=10,且86.C 因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
所以a-2>0,a>1,a-2-1≤0,故2所以a的取值范围为(2,3].
根据参数a的不同,分析各段函数的单调性,根据整个函数的单调性,分析各段函数端点处函数值之间的关系.
7.B 由题知, f(x)=e|ln x|=x,x≥1,1x,0按照自变量x的不同取值范围把f(x)化为分段函数.
由x≥1时, f(x)=x是增函数,0分析分段函数的单调性,从而确定x1,x2分别在两个区间内.
当0∴x1x2=1,
∴x2·f(x1)=x2x1>1,x1·f(x2)=x1·x2=1,
从而x2 f(x1)>x1 f(x2).此时A成立.
当0∴x1x2=1,
∴x2 f(x1)=x2·x1=1,x1·f(x2)=x1x2>1,
从而x2 f(x1)因此无论何种情况,B一定不成立,故选B.
8.答案 [0,+∞)
解析 当x≤1时,令f(x)≤2,即21-x≤2,解得x≥0,所以0≤x≤1;
当x>1时,令f(x)≤2,即1-lg2x≤2,解得x≥12,所以x>1.
综上,x的取值范围是[0,+∞).
9.答案 -2
解析 由题意得,f(-1)=-f(1)=-f(2-1)=-f(2+1)=-f(3)=-[23-3+lg2(3-1)]=-(20+lg22)=-2.
要想利用已知式求值,必须把自变量转化为区间(2,4)内的数.
10.答案 94,+∞
解析 f(x)≥3⇔1ex+aex≥3⇔a≥3ex-1(ex)2.
将含参的恒成立问题通过变形转化为有关参数的不等式问题.
令t=1ex,则t>0,则a≥3t-t2,①
设g(t)=-t2+3t=-t-322+94,t>0,
则当t=32时,g(t)max=94.
又不等式①恒成立,∴a≥94,
把参数满足的不等式转化为函数最值问题.
故a的取值范围是94,+∞.
11.答案 1
解析 已知3x=4y=36,取以6为底的对数,将指数式化为对数式,得xlg63=ylg64=2,
应用指数与对数关系将指数式转化为对数式.
∴2x=lg63,2y=lg64,
即1y=lg62,故2x+1y=lg63+lg62=1.
12.C 由f(x)是定义在R上的奇函数知, f(0)=20+0+b=0,解得b=-1,
应用定义在R上的奇函数的性质:f(0)=0,求b.
∴f(-1)=-f(1)=-(21+2-1)=-3,故选C.
13.解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即-1+b2+a=0,解得b=1,
所以f(x)=-2x+12x+1+a.由-f(x)=f(-x),知--2x+12x+1+a=-2-x+12-x+1+a,化简,得2x+1+a=2+a·2x,即(a-2)(2x-1)=0.
由(a-2)(2x-1)=0对任意x∈R都成立,得a=2.故a=2,b=1.
思维升华
在处理函数奇偶性问题时,遇到定义域为R的奇函数,应用性质f(0)=0,可以快速找到解决问题的突破口,使复杂的问题简单化.
1.B
3.D
7.C
8.B
9.D
1.D
3.C
6.C
7.B
12.C