高中3.1.1方程的根与函数的零点达标测试

这是一份高中3.1.1方程的根与函数的零点达标测试，共10页。试卷主要包含了1　函数与方程，函数f=4x-2x-2的零点是，故选C等内容，欢迎下载使用。

3.1.1 方程的根与函数的零点
基础过关练
题组一 函数的零点
1.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是( )

A.-12,-1B.12,1
C.12,-1D.-12,1
2.函数f(x)=4x-2x-2的零点是( )
A.(1,0)B.1
C.12D.-1
3.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+lg2x,x>1,则函数f(x)的零点为( )
A.12,0B.-2,0
C.12D.0
4.(2020江西师大附中高一期中)把函数f(x)=lg2x的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的零点是( )
A.3B.5
C.-34D.54
5.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上的零点有1 009个,则f(x)的零点个数为( )
A.1 009B.1 010
C.2 019D.2 020
题组二 函数零点存在定理
6.(2020福建宁德高一期末)函数f(x)=x3-x+1的零点所在的区间是( )
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
7.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
8.函数f(x)=ln x+x-3的零点所在的大致区间是( )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
9.函数f(x)=x3-12x-2的零点所在的区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
10.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知实数x0是函数f(x)=x-6x的一个零点,若0A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0
题组三 函数零点的应用
11.(2020重庆一中高一月考)若函数f(x)=ax,2a(其中a>0,且a≠1)存在零点,则实数a的取值范围是( )
A.12,1∪(1,3)B.(1,3]
C.(2,3)D.(2,3]
12.(2020山东淄博高一期中)若二次函数y=x2+ax+b的两个零点分别是2和3,则2a+b的值为 .
13.(2019福建福州三校联盟高一上期中)已知奇函数f(x)=a-22x+1(a为常数).
(1)求a的值;
(2)若函数g(x)=|(2x+1)f(x)|-k有两个零点,求实数k的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.(2020江苏江阴四校高一上期中,)函数f(x)=-|x-2|+ex的零点所在区间为( )

A.(-1,0)B.(0,1)
C.(1,2)D.(2,3)
2.(2020福建厦外高一上期中,)一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2,则实数m的取值范围是( )
A.-214,+∞B.(-∞,-5)
C.-214,-5D.-214,-5
3.(2020湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上联考,)已知函数f(x)=-x(x≤0),-x2+2x(x>0),方程f(x)·[f(x)-b]=0,b∈(0,1),则方程的根的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
4.(2020河南三门峡外国语高中高一期中,)已知定义在[-2,2]上的函数y=f(x)和y=g(x),其图象如图所示:给出下列四个命题:①方程f(g(x))=0有且仅有6个根;②方程f(f(x))=0有且仅有5个根;③方程g(g(x))=0有且仅有3个根;④方程g(f(x))=0有且仅有4个根.其中正确命题的序号是( )
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
5.(2020江西南昌第三中学高一期中,)对于函数f(x)和g(x),设α∈{x∈R|f(x)=0},β∈{x∈R|g(x)=0},若存在α,β,使得|α-β|≤1,则称f(x)与g(x)互为“零点关联函数”.若函数f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点关联函数”,则实数a的取值范围为( )
A.73,3B.2,73
C.[2,3]D.[2,4]
二、填空题
6.(2020安徽屯溪一中高一上期中,)若函数y=12|1-x|+m有零点,则m的取值范围是 .
7.(2020四川成都新津为明学校高一期中,)函数f(x)=3x-7+ln x的零点个数为 ;若零点在区间(n,n+1)(n∈N*),则n= .
8.(2020浙江温州十五校联合体高一上期中联考,)设函数f(x)=|x+1|,x≤0,|lgx|,x>0,若x1三、解答题
9.()已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x.
(1)求f(x)的解析式,并画出f(x)的图象;
(2)设g(x)=f(x)-k,利用图象讨论:当实数k为何值时,函数g(x)有①一个零点;②两个零点;③三个零点?
10.(2020北京人大附中高一上期中,)已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R).
(1)若f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1},求实数b,c的值;
(2)若c=b2+2b+3,x1,x2是关于x的方程f(x)=0的两个实数根,且(x1+1)(x2+1)=8,求实数b的值;
(3)若f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,求实数b的取值范围.
答案全解全析
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
基础过关练
1.B 方程2x2-3x+1=0的两根分别为x1=1,x2=12,所以函数f(x)=2x2-3x+1的零点是12,1.
2.B 由f(x)=4x-2x-2=(2x-2)(2x+1)=0,得2x=2,解得x=1.
3.D 当x≤1时,令2x-1=0,得x=0;当x>1时,令1+lg2x=0,得x=12,与x>1相矛盾,舍去.
综上所述,函数f(x)的零点为0.故选D.
4.A 依题意得g(x)=lg2(x+1)-2,令g(x)=0,可得lg2(x+1)=2,所以x+1=4,解得x=3.故选A.
5.C 因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)在(0,+∞)上的零点有1 009个,所以f(x)在(-∞,0)上的零点也有1 009个.因此f(x)的零点共有1 009+1 009+1=2 019个.
6.A 由题可知f(-2)=-5,f(-1)=1,f(0)=1,f(1)=1,f(2)=7.
所以f(-2)·f(-1)<0,f(-1)·f(0)>0,f(0)·f(1)>0,f(1)·f(2)>0,所以函数f(x)=x3-x+1的零点所在的区间是(-2,-1),故选A.
7.B 由题表可知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又函数f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点.
8.C 易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
f(2)=ln 2+2-3=ln 2-1<0,
f(3)=ln 3+3-3=ln 3>0,
且f(x)的图象连续不断,
∴f(x)在(2,3)内有零点,故选C.
9.B 易知函数f(x)=x3-12x-2在R上单调递增,f(1)=13-121-2=1-2=-1<0,f(2)=23-122-2=8-1=7>0,且f(x)的图象连续不断,所以零点所在的区间为(1,2).
10.B 易得f(x)=x-6x在(0,+∞)上单调递增,且f(x0)=0,当00,故选B.
11.C 由函数的解析式可知a>2,且函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间(2,a]内无零点,所以若函数f(x)存在零点,则lga(x-2)=0有解,解得x=3,
故3>a,又a>2,所以实数a的取值范围是(2,3).故选C.
方法点睛
已知方程有根(函数有零点)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数的值域问题;
(3)数形结合法:先对解析式变形,构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
12.答案 -4
解析 因为二次函数y=x2+ax+b的两个零点分别是2和3,
所以一元二次方程x2+ax+b=0的两个根分别是2和3,
由一元二次方程根与系数的关系,
得3+2=-a,3×2=b,解得a=-5,b=6,
因此,2a+b=2×(-5)+6=-4.
13.解析 (1)易知f(x)的定义域为R,
因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
即a-220+1=0,解得a=1.
(2)由(1)得f(x)=1-22x+1=2x-12x+1,所以g(x)=|(2x+1)f(x)|-k=|2x-1|-k.由g(x)有两个零点,可得方程|2x-1|-k=0有两个不同的实数根,即k=|2x-1|有两个实数根,即直线y=k和函数y=|2x-1|的图象有两个交点,由图象可得k∈(0,1).
能力提升练
一、选择题
1.B 经验证f(0)=-2+e0=-1<0,f(1)=-1+e1=e-1>0,∴f(0)·f(1)<0,
∴f(x)在(0,1)内存在零点.故选B.
2.C 易知抛物线y=x2-5x+1-m的对称轴为直线x=52,因为52>2,所以一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2需满足Δ=25-4×(1-m)≥0,22-5×2+1-m>0,
解得-214≤m<-5,故选C.
3.D f(x)[f(x)-b]=0⇔f(x)=0或f(x)=b.
作出f(x)的图象如图.
由图象知f(x)=0有2个根,f(x)=b(04.C 由题图可得-2≤g(x)≤2,-2≤f(x)≤2,
①由题图可知满足方程f(g(x))=0的g(x)有3个不同的值,并且每个g(x)的值对应2个x值,故满足f(g(x))=0的x值共有6个,即方程f(g(x))=0有且仅有6个根,故①正确;
②由题图可知满足方程f(f(x))=0的f(x)有3个不同的值,且一个f(x)的值为0,一个f(x)的值在(-2,-1)内,一个f(x)的值在(1,2)内,而当f(x)=0时,对应3个不同的x值;当f(x)的值在(-2,-1)内时,只对应1个x值;当f(x)的值在(1,2)内时,也只对应1个x值.故满足方程f(f(x))=0的x值共有5个,即方程f(f(x))=0有且仅有5个根,故②正确;
③由题图可知满足方程g(g(x))=0的g(x)的值有2个,而结合图象可得,每个g(x)值对应2个不同的x值,故满足方程g(g(x))=0的x值有4个,即方程g(g(x))=0有且仅有4个根,故③不正确;
④由题图可知满足方程g(f(x))=0的f(x)有2个不同的值,其中一个f(x)的值在(-2,-1)内,令一个f(x)的值在(0,1)内,当f(x)的值在(-2,-1)内时,原方程有一个解,当f(x)的值在(0,1)内时,原方程有3个解,故满足方程g(f(x))=0的x值有4个,故④正确.故选C.
方法点睛
由于函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,所以在研究方程的有关问题(如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等)时,都可以将方程问题转化为函数问题解决,此类问题的切入点是借助函数的零点,结合函数图象,采用数形结合思想加以解决.
5.答案 C
信息提取 ①存在α,β,使得|α-β|≤1,则称f(x)与g(x)互为“零点关联函数”;②函数f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点关联函数”.
数学建模 理解“零点关联函数”的定义,根据定义构建函数零点模型,由根的分布列出不等式,求参数的取值范围.
解析 易知函数f(x)=ex-1+x-2单调递增,且f(1)=0,
所以函数f(x)的零点为x=1,
设g(x)=x2-ax-a+3的一个零点为β,则|1-β|≤1,则0≤β≤2,
由于g(x)=x2-ax-a+3必过点A(-1,4),
故要使其至少有一个零点在区间[0,2]上,则g(0)·g(2)≤0或g(0)>0,g(2)>0,Δ≥0,0即(-a+3)(7-3a)≤0或-a+3>0,-3a+7>0,a2-4(-a+3)≥0,0二、填空题
6.答案 [-1,0)
解析 设g(x)=(12) x-1,x≥1,2x-1,x<1,作出函数g(x)的图象如图所示,
由图象可知07.答案 1;2
解析 易知函数y=3x-7和y=ln x都是增函数,所以函数f(x)=3x-7+ln x是增函数,并且f(1)=-4,f(2)=-1+ln 2<0,f(3)=2+ln 3>0,所以f(2)·f(3)<0,根据零点存在定理及f(x)单调递增可知函数的零点个数为1,且单调区间为(2,3),故n=2.
8.答案 [-20,-2)
解析 作出函数y=f(x)的图象,如图所示.
由图象知,x1<-1且x1+x2=-2,
由|lg x3|=|lg x4|,得-lg x3=lg x4,
∴lg(x3x4)=0,∴x3x4=1.
因此,x1x3x42+x2x3x42=x1x4+x2x4=x4(x1+x2)=-2x4.
∵1故x1x3x42+x2x3x42的取值范围是[-20,-2).
三、解答题
9.解析 (1)当x≥0时,f(x)=x2-2x.
设x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
∵函数f(x)为奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=-x2-2x,
∴f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0.画出函数f(x)的图象如图所示.
(2)由g(x)=f(x)-k=0可得f(x)=k,
结合(1)中函数f(x)的图象可知:
①当k<-1或k>1时,直线y=k与y=f(x)的图象有一个交点,即函数g(x)=f(x)-k有一个零点;
②当k=-1或k=1时,直线y=k与y=f(x)的图象有两个交点,即函数g(x)=f(x)-k有两个零点;
③当-110.解析 (1)解法一:由题意可得,-1,1为方程x2+2bx+c=0的两个根,
所以1-2b+c=0,1+2b+c=0,解得b=0,c=-1.
解法二:由题可得,-1,1为方程x2+2bx+c=0的两个根,
由根与系数的关系,得-1+1=-2b,-1×1=c,
所以b=0,c=-1.
(2)因为c=b2+2b+3,
所以f(x)=x2+2bx+c=x2+2bx+b2+2b+3,
因为x1,x2是关于x的方程x2+2bx+b2+2b+3=0的两个实数根,
所以Δ=4b2-4b2-8b-12≥0,即b≤-32,且x1+x2=-2b,x1x2=b2+2b+3,
因为(x1+1)(x2+1)=8,所以x1x2+x1+x2=7,所以b2+2b+3-2b=7,
所以b2=4,所以b=2或b=-2,
因为b≤-32,所以b=-2.
(3)因为f(1)=0,所以c=-1-2b,
设g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x-b-1,
则g(x)=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,
所以g(-3)>0,g(-2)<0,g(0)<0,g(1)>0,解得15所以b的取值范围为15,57.
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
15
10
-7
6
-4
-5
1.B
2.B
3.D
4.A
5.C
6.A
7.B
8.C
9.B
10.B
11.C
1.B
2.C
3.D
4.C
5.C