数学苏教版 (2019)第3章 圆锥曲线与方程3.3 抛物线课时作业

这是一份数学苏教版 (2019)第3章 圆锥曲线与方程3.3 抛物线课时作业，共12页。试卷主要包含了设抛物线C，下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。

题组一 抛物线的几何性质及其应用
1.(2021江苏南通海安高二上期中)下列关于抛物线y=2x2的描述正确的是( )
A.开口向上,焦点为0,18
B.开口向右,焦点为0,18
C.开口向上,焦点为0,12
D.开口向右,焦点为0,12
2.(2021江苏南京秦淮中学高二上第一次段考)已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是( )
A.y2=16x B.x2=-8y
C.y2=16x或x2=-8y D.y2=16x或x2=8y
3.(2020江苏常州前黄高级中学高二上期末)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x24-y23=1的一个焦点,则p=( )
A.2 B.10 C.7 D.27
4.(2020江苏南通高二上第一次教学质量调研)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到抛物线焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为( )
A.±3 B.±1 C.±34 D.±33
5.(2021江苏南通如皋高二上教学质量调研)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则MF+NF=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若AB+FB=6,则抛物线的标准方程为 .
题组二 抛物线几何性质的综合应用
7.(2020江苏南通通州、海安高二上期末)探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分, 光源放在焦点F处.已知灯口直径为60 cm,光源距灯口的深度为40 cm,则光源到反射镜的顶点的距离为( )
A.5 cm B.10 cm
C.15 cm D.20 cm
8.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)表示的曲线大致为( )

A B

C D
9.已知双曲线y24-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为1,则p的值为( )
A.1 B.2 C.22 D.4
10.(多选)(2021江苏南京五校高二上联合调研考试)下列判断正确的是( )
A.抛物线y2=x与直线x+y-2=0仅有一个公共点
B.双曲线x2-y2=1与直线x+y-2=0仅有一个公共点
C.若方程x24-t+y2t-1=1表示焦点在x轴上的椭圆,则52D.若方程x24-t+y2t-1=1表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4
11.(2021江苏泰州中学高二上期中)已知抛物线y2=2px(p>0),过抛物线的焦点作x轴的垂线,与抛物线交于A、B两点,点M的坐标为(-2,0),且△ABM为直角三角形,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=-4x D.y2=4x
12.(2021江苏无锡锡山高级中学高二上期中)已知抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C2:y29-x216=1的渐近线的距离为55,则实数p的值为 .
能力提升练
题组 抛物线的几何性质及综合应用
1.(2020江苏淮安淮阴中学高二上期末考试,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为( )
A.x221-y228=1 B.x228-y221=1
C.x23-y24=1 D.x24-y23=1
2.(2021江苏南京高二上期中,)过抛物线y2=16x的焦点F的直线l与抛物线相交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆与直线x=13相切,则直线l的方程为( )
A.y=22x-82或y=-22x+82
B.y=4x-16或y=-4x+16
C.y=2x-8或y=-2x+8
D.y=x-4或y=-x+4
3.(2021江苏南京六合大厂高级中学高二上学情调研,)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若FA=2FB,则点A到抛物线的准线的距离为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
4.(2021江苏扬州中学高二上期中,)过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点M在直线y=2上,O为坐标原点,则△AOB的面积为( )
A.3102 B.45 C.922 D.9
5.(多选)(2021江苏镇江中学高二上期初测评,)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点,设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的是( )
A.抛物线的方程是x2=2y
B.抛物线的准线方程是y=-1
C.sin∠QMN的最小值是12
D.线段AB的最小值是6
6.(2021江苏徐州沛县歌风中学高二上学情调研,)抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则m等于( )
A.32 B.2 C.52 D.3
7.(2020江苏南通高二上第一次教学质量调研,)在平面直角坐标系xOy中,已知F是抛物线x2=4y的焦点,过点F作两条相互垂直的直线l1,l2,l1,l2分别与抛物线交于点A,B和C,D,记线段AB的中点为M,线段CD的中点为N,则OM·ON的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.(2021江苏镇江高二上期中,)抛物线C:y2=2px的焦点F是圆x2+y2-2x=0的圆心,P为抛物线C在第一象限内的一点,且PF=3,则P点的坐标为 .
9.(2021江苏扬州宝应中学高二上期中,)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:x-2y-1=0与C交于P、Q(P在x轴上方)两点,若PF=λFQ,则实数λ的值为 .
10.(2020江苏南通高二上第一次教学质量调研,)如图,马路l南边有一池塘,池塘岸MN长40米,池塘的最远端O到l的距离为400米,且池塘的边界为抛物线型,现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路AB,BC,CD,且AB,BC,CD均与池塘岸线相切,记∠BAD=θ.
(1)求小路的总长,用θ表示;
(2)若在小路与池塘之间(图中阴影区域)铺上草坪,求所铺草坪面积最小时,tan θ的值.
答案全解全析
基础过关练
1.A 由抛物线y=2x2,即x2=12y,可知抛物线的开口向上,焦点为0,18.
故选A.
2.C 当焦点在x轴上时,y=0,可得焦点坐标为(4,0) ,
此时抛物线的标准方程为y2=16x;
当焦点在y轴上时,x=0,可得焦点坐标为(0,-2),
此时抛物线的标准方程为x2=-8y.
故选C.
3.D 因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点在x轴上,开口向右,故准线在y轴左侧,
双曲线x24-y23=1的左焦点为(-7,0),故抛物线y2=2px的准线方程为x=-7,
∴p2=7,p=27,故选D.
4.A 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,准线方程为x=-p2,设M(xM,yM),
∵点M到焦点F的距离等于M到准线x=-p2的距离,∴xM+p2=2p,
∴xM=32p,代入抛物线方程,解得yM=±3p,∴kMF=yMxM-p2=±3,故选A.
5.C 设M(x1,y1),N(x2,y2),易得直线MN的方程为y=23(x+2),
将直线方程代入抛物线方程得x2-5x+4=0,则x1+x2=5,
所以MF+NF=x1+1+x2+1=7,故选C.
6.答案 y2=4x
解析 从焦点出发的光线经抛物线上一点反射后,反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出,∵AB+FB=6,∴5+p2=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.
7.A 以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,
设Fp2,0(p>0),
则抛物线上一点的坐标为p2+40,30,代入抛物线方程得302=2pp2+40,解得p=10(负值舍去),所以p2=5,
所以光源到反射镜的顶点的距离为5 cm.故选A.
8.D 解法一:将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0分别转化为x21a2+y21b2=1与y2=-abx.因为a>b>0,所以1b2>1a2>0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.
解法二:方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即方程ax+by2=0表示的曲线关于x轴对称,排除B,C;由解法一知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.
9.B 双曲线y24-x2=1的两条渐近线方程是y=±2x,∵抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-p2,∴A,B两点的纵坐标的差的绝对值是2p,又△AOB的面积为1,∴12×p2×2p=1,∴p=2.故选B.
10.BD 对于A,联立y2=x,x+y-2=0,消去x,可得y2+y-2=0,因为Δ=1+42>0,所以抛物线y2=x与直线x+y-2=0有两个公共点,故A错误;
对于B,双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,直线x+y-2=0与渐近线y=-x平行,故双曲线x2-y2=1与直线x+y-2=0仅有一个公共点,故B正确;
对于C,若方程x24-t+y2t-1=1表示焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,解得1对于D,若方程x24-t+y2t-1=1表示焦点在y轴上的双曲线,则4-t<0,t-1>0,解得t>4,故D正确.
故选BD.
11.B 设点A位于第一象限,直线AB的方程为x=p2,联立y2=2px,x=p2,可得x=p2,y=±p,所以点Ap2,p.
由抛物线的对称性可得AM=BM,
所以△ABM为等腰直角三角形,
所以直线AM的斜率为1,即kAM=pp2+2=1,解得p=4.
因此以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=-8x.故选B.
12.答案 52
解析 抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点为0,p2,
双曲线C2:y29-x216=1的一条渐近线为y=34x,即3x-4y=0,
故点0,p2到渐近线3x-4y=0的距离d=|-2p|32+(-4)2=55,即p=52.
能力提升练
1.D 双曲线的渐近线方程是y=±bax,由题意可得3=2ba①,抛物线y2=47x的准线方程是x=-7,因此c=7,即a2+b2=c2=7②,联立①②,解得a=2,b=3,所以双曲线的方程为x24-y23=1.故选D.
2.B 解法一:过A,B分别作准线x=-4的垂线,垂足分别为A',B',则AF=AA',BF=BB',
所以以AB为直径的圆与直线x=-4相切,又以AB为直径的圆与直线x=13相切,
故圆的直径为17,所以AB=17.
设直线l的方程为x=my+4,与抛物线方程联立,得y2-16my-64=0.
记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=16m,
∴x1+x2=16m2+8.
又AB=p+x1+x2=8+x1+x2=16m2+16=17,∴m=±14,∴直线l的方程为y=4x-16或y=-4x+16.
故选B.
解法二: 当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=4,根据抛物线的对称性可得以AB为直径的圆的圆心为(4,0),由y2=16x,x=4,解得y=±8,
此时以AB为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=64,与直线x=13相离,故直线x=4不满足题意.
当直线l的斜率存在时,易知斜率不为0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-4)(k≠0),
联立y=k(x-4),y2=16x,化简得k2x2-(8k2+16)x+16k2=0,则x1+x2=8+16k2,x1x2=16.
圆的半径为AB2=x1+x22+p2=8+8k2,
且圆心到直线x=13的距离为13-x1+x22=9-8k2=8+8k2,解得k=±4,
故直线l的方程为y=4x-16或y=-4x+16.
3.A 设抛物线的准线为l,则l:x=-2,
直线y=k(x+2)恒过定点(-2,0),记为点P,如图,过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,连接OB,则BN∥AM,由FA=2FB,可得AM=2BN,点B为线段AP的中点,因为点O是线段PF的中点,所以OB=12AF,所以OB=BF,所以点B的横坐标为1,所以点B的坐标为(1,22),同理可得点A(4,42),所以点A到抛物线准线的距离为4+2=6,故选A.
4.B 易得F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y12=8x1,y22=8x2,
即(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).
由题意知y1+y2=4,所以y1-y2x1-x2=kAB=2,故直线l:y=2(x-2).
联立y=2(x-2),y2=8x,得y2-4y-16=0,所以y1+y2=4,y1y2=-16.
故|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16-4×(-16)=45.
所以S△AOB=12OF·|y1-y2|=12×2×45=45.故选B.
5.BC 抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F0,p2,准线方程为y=-p2,
由点E(t,2)到焦点F的距离等于3,可得2+p2=3,解得p=2,
则抛物线C的方程为x2=4y,准线方程为y=-1,故A错误,B正确;
由题知直线l的斜率存在,F(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1,
联立y=kx+1,x2=4y,消去y,得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,所以AB的中点Q的坐标为(2k,2k2+1),
∴AB=y1+y2+p=4k2+2+2=4k2+4,故线段AB的最小值是4,故D错误;
所以圆Q的半径r=2k2+2,
在等腰三角形QMN中,sin∠QMN=|yQ|r=2k2+12k2+2=1-12k2+2≥1-12=12,
当且仅当k=0时取等号,所以sin∠QMN的最小值为12,故C正确.
故选BC.
6.A ∵A,B两点关于直线y=x+m对称,
∴可设直线AB的方程为y=-x+b,
联立y=-x+b,y=2x2,消去y,整理得2x2+x-b=0,
∵直线AB与抛物线交于两点,∴Δ=1+8b>0,解得b>-18.
由根与系数的关系得x1+x2=-12,x1x2=-b2=-12,
∴b=1,
设A,B的中点为P(x0,y0),则x0=x1+x22=-14,
∴y0=-x0+1=14+1=54,
又点-14,54在直线y=x+m上,
∴54=-14+m,解得m=32.故选A.
7.C 易知直线l1,l2的斜率均存在且不为0.由F是抛物线x2=4y的焦点,得F(0,1),设l1:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立y=kx+1,x2=4y,消去y,得x2-4kx-4=0,∴x1+x2=--4k1=4k,
∴y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(x1+x2)+2=4k2+2,∴M(2k,2k2+1),
设l2:y=-1kx+1,C(x3,y3),D(x4,y4),
联立y=-1kx+1,x2=4y,消去y,得x2+4kx-4=0,∴x3+x4=-4k,
∴y3+y4=-x3k+1-x4k+1=-x3+x4k+2=4k2+2,∴N-2k,2k2+1,
∴OM·ON=(2k,2k2+1)·-2k,2k2+1=-4+(2k2+1)2k2+1=1+2k2+2k2≥1+22k2·2k2=5,当且仅当2k2=2k2,即k=±1时取等号.故选C.
8.答案 (2,22)
解析 由圆x2+y2-2x=0可得(x-1)2+y2=1,即圆心为(1,0),
所以F(1,0),即p2=1,解得p=2,∴抛物线C的标准方程为y2=4x,
设点P(xP,yP),xP>0,yP>0,由PF=3,得xP+p2=3,解得xP=2,
代入抛物线方程可得yP2=8,解得yP=22(负值舍去).
所以P点的坐标为(2,22).
9.答案 5+26
解析 由题意,联立y2=4x,x-2y-1=0,
解得x=5+26,y=22+23或x=5-26,y=22-23,
因为P在x轴上方,所以P(5+26,22+23),Q(5-26,22-23),
因为抛物线C的方程为y2=4x,所以F(1,0),
所以PF=(-4-26,-22-23),FQ=(4-26,22-23),
因为PF=λFQ,所以(-4-26,-22-23)=λ(4-26,22-23),
解得λ=-22-2322-23=5+26.
10.解析 (1)如图,以O为原点,CB所在直线为x轴,过点O且垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系,所以M(-20,400),N(20,400),
因为池塘的边界为抛物线型,所以可设边界所在的抛物线方程为x2=2py(p>0),
因为M(-20,400)是曲线上一点,所以p=12,即抛物线方程为y=x2.
设AB所在的直线方程为y=kx+t(k=tan θ),
联立y=kx+t,y=x2,得x2-kx-t=0,因为AB与抛物线相切,所以Δ=k2+4t=0,即t=-k24①.
所以x2-kx+k24=0,
记直线AB与抛物线切于点Q,所以Q点的横坐标为k2,易知k2∈(0,20),即k∈(0,40).
易得点B-tk,0,点A400-tk,400,由对称性可知Ctk,0,D-400-tk,400.
所以小路总长为AB+BC+CD=-2tk+2400k2+4002(米),
由①及k=tan θ可知
AB+BC+CD=tanθ2+2400tanθ2+4002=tanθ2+800sinθ(0(2)记草坪面积为S平方米,梯形面积为S1平方米,池塘面积为S2平方米,
所以S=S1-S2,因为池塘面积S2为定值,所以要使得所铺草坪面积最小,只需梯形面积最小,
又S1=12(BC+AD)·400
=12·2-tk+400-tk·400
=200800k+k≥8 0002,当且仅当k=202时取“=”,
所以当tan θ=202时,梯形面积最小,即所铺草坪面积最小.