高中数学3.3 抛物线练习题

这是一份高中数学3.3 抛物线练习题，共4页。

1．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝－y B．x2＝－8y
C．y2＝－8x D．y2＝－x
解析：选BD 若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x.若焦点在y轴上，设方程为x2＝by(b≠0)，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.
2．抛物线x＝8y2的通径长为( )
A．8 B．4
C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,4)
解析：选C 抛物线x＝8y2，即y2＝eq \f(1,8)x，可得2p＝eq \f(1,8)，因此通径长为eq \f(1,8).
3．(多选)抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标可以为( )
A．(3，2eq \r(6)) B．(3，－2eq \r(6))
C．(－3，2eq \r(6)) D．(－3，－2eq \r(6))
解析：选AB 设点P的坐标为(x，y)，∵|PF|＝5，
∴x－(－2)＝5，∴x＝3.
把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，
∴y＝±2eq \r(6).∴点P的坐标为(3，±2eq \r(6))．
4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(AF,\s\up6(―→))＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2 eq \r(2)) B．(1，±2)
C．(1，2) D．(2，2eq \r(2))
解析：选B 设A(x，y)，则y2＝4x，①
又eq \(OA,\s\up6(―→))＝(x，y)，eq \(AF,\s\up6(―→))＝(1－x，－y)，
所以eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(AF,\s\up6(―→))＝x－x2－y2＝－4.②
由①②可解得x＝1，y＝±2，故A点坐标为(1，±2)．
5．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq \r(2)，|DE|＝2eq \r(5)，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 如图，不妨设抛物线C：y2＝2px(p＞0)，A(x1，2eq \r(2))，则x1＝eq \f(（2\r(2)）2,2p)＝eq \f(4,p)，由题意知|OA|＝|OD|，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,p)))eq \s\up12(2)＋8＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))eq \s\up12(2)＋5，解得p＝4.
6．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为________．
解析：由圆C的方程知圆心C(－3，－4)，由抛物线的定义知，m＋|PC|最小值为圆心与抛物线焦点(2，0)间的距离，即eq \r(（－3－2）2＋（－4）2)＝eq \r(41).
答案：eq \r(41)
7．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_______，准线方程为________．
解析：圆M的圆心为(1，2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.
答案：(1，0) x＝－1
8．已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．
解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝eq \r(（x－2）2＋y2)＝eq \r(（x－2）2＋x)＝eq \r(x2－3x＋4)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))\s\up12(2)＋\f(7,4)).所以当x＝eq \f(3,2)时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq \f(\r(7),2).
答案：eq \f(\r(7),2)
9．求与抛物线y2＝－16x共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程．
解：∵抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，∴直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点即抛物线的焦点．令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点坐标为(4，0)或(0，－2)．
当焦点为(4，0)时，eq \f(p,2)＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x，准线方程为x＝－4；
当焦点为(0，－2)时，eq \f(p,2)＝2，∴p＝4，此时抛物线的标准方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
10．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq \r(17)，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
设A(x0，y0)，由题意知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))，∵|AF|＝3，
∴y0＋eq \f(p,2)＝3，∵|AM|＝eq \r(17)，∴xeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(p,2)))eq \s\up12(2)＝17，
∴xeq \\al(2,0)＝8，代入方程xeq \\al(2,0)＝2py0得，
8＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
[B级 综合运用]
11．抛物线y2＝8mx(m＞0)，F是焦点，则m表示( )
A．F到准线的距离 B．F到准线距离的eq \f(1,4)
C．F到准线距离的eq \f(1,8) D．F到y轴的距离
解析：选B 由题意知，2p＝8m，即m＝eq \f(1,4)p，故m表示F到准线距离的eq \f(1,4).
12．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq \r(3)，则( )
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
解析：选ACD ∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为eq \f(\r(3),4)|BF|2＝9eq \r(3)，∴|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|·sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.
13．已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．
解析：设点P(x0，y0)是y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝eq \f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq \f(|yeq \\al(2,0)－2y0＋6|,2\r(2))＝eq \f(|（y0－1）2＋5|,2\r(2))，当y0＝1时，dmin＝eq \f(5,2\r(2))＝eq \f(5\r(2),4)，此时x0＝eq \f(1,2)，所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
答案：eq \f(5\r(2),4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
14．两条直线y＝kx和y＝－kx分别与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于不同于原点的A，B两点，k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？
解：∵k与－k互为相反数，由题意知，A，B两点关于x轴对称，且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p,k2)，\f(2p,k)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p,k2)，－\f(2p,k)))，要使直线AB过抛物线焦点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，则有eq \f(2p,k2)＝eq \f(p,2)，解得k2＝4，
∴k＝±2，即当k＝2或k＝－2时，直线AB经过抛物线的焦点．
[C级 拓展探究]
15．设抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M的横坐标为x0，证明M到抛物线焦点的距离为x0＋eq \f(p,2)，并总结出关于抛物线其他形式的标准方程的类似结论．
证明：由抛物线定义知，点M到抛物线焦点的距离等于点M到准线x＝－eq \f(p,2)的距离，而点M(x0，y0)到直线x＝－eq \f(p,2)的距离为d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)))))＝x0＋eq \f(p,2).
所以点M到抛物线焦点的距离为x0＋eq \f(p,2).
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
则|MF|＝－x0＋eq \f(p,2)，
若抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则|MF|＝y0＋eq \f(p,2)，
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
则|MF|＝－y0＋eq \f(p,2).