高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.3 抛物线同步测试题

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1．（2022秋·江苏盐城·高二）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点且，则点到准线的距离为（ ）
A．6B．5C．3D．
2．（2022秋·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若，则F到l的距离为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（2022秋·高二单元测试）已知曲线C上任意一点P到定点的距离比点P到直线的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点，若，则线段MN的中点Q到y轴的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型二：抛物线的标准方程
4．（2022秋·江苏连云港·高二期末）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上，则抛物线C的标准方程是（ ）
A．B．或
C．D．
5．（2022秋·江苏连云港·高二校考期末）已知抛物线C的焦点是直线与坐标轴的一个交点，则抛物线C的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：抛物线的几何性质
7．（2023·高二课时练习）对抛物线，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，2)B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0)D．开口向上，焦点为
8．（2022·江苏·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（ ）
A．2B．3C．4D．6
9．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．8
题型四：抛物线的对称性问题
10．（2023秋·高二课前预习）垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程（ ）
A．B．C．D．
11．（2020秋·江苏南通·高二如皋市第一中学校考阶段练习）已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于、两点，且，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·江苏·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为 .
题型五：直线和抛物线的位置关系
13．（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知为坐标原点，点坐标为，是抛物线在第一象限内图象上一点，是线段的中点，则斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2022秋·江苏连云港·高二校考期中）过抛物线上定点作圆的两条切线，分别交抛物线于另外两点、，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．B．C．D．
题型六：抛物线的弦长问题
16．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）直线被抛物线截得的弦长为( )
A．B．C．D．
17．（2023·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，若直线l过点F，且与抛物线C交于A、B两点，过点A作直线的垂线，垂足为点M，点N在y轴上，线段AF、MN互相垂直平分，则（ ）
A．B．C．16D．32
18．（2023·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．2
题型七：抛物线的焦点弦问题
19．（2023·高二课时练习）已知直线为抛物线的准线，直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．8
20．（2022秋·江苏常州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，直线PF交x轴于Q点，且，则点P到准线l的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．7
21．（2022·江苏·高二专题练习）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型七：抛物线的最值物体
22．（2019秋·江苏南通·高二江苏省如东高级中学校考期中）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
23．（2021春·江苏泰州·高二姜堰中学校考期末）过抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是（ ）
A．7B．6C．5D．4
24．（2020秋·江苏南通·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知是抛物线的焦点，过点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线交于点和，记的中点为，的中点为，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型九：抛物线的定点定值问题
25．（2022秋·江苏南京·高二校考阶段练习）已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
26．（2020秋·江苏南通·高二江苏省包场高级中学校考阶段练习）如图，抛物线的焦点为F，直线与C相切．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设过F的直线交C于M，N两点（M在x轴上方），若，求直线的方程．
27．（2020秋·高二单元测试）已知点A(2,8)在抛物线上,直线l和抛物线交于B,C两点，焦点F是三角形ABC的重心，M是BC的中点（不在x轴上）
（1）求M点的坐标；
（2）求直线l的方程.
题型十：抛物线的定直线问题
28．（2021·高二单元测试）已知F为抛物线焦点，A为抛物线C上的一动点，抛物线C在A处的切线交y轴于点B，以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB．
（1）证明：点M在一条定直线上；
（2）记点M所在定直线为l，与y轴交于点N，MF与抛物线C交于P，Q两点，求的面积的取值范围.
29．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)已知及曲线上的两点和，直线经过定点，直线的斜率分别为，求证：为定值．
30．（2023秋·高二课时练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．
【专题训练】
一、单选题
31．（2023秋·江苏南通·高二统考阶段练习）已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
32．（2023秋·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
33．（2023秋·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考阶段练习）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）

A．B．C．D．
34．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设抛物线的焦点为，准线为是与轴的交点，.过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点与相交于点，若，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
35．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．B．C．4D．
36．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）设抛物线的准线为，定点，过准线上任意一点作抛物线的切线，为切点，过原点O作，垂足为H．则线段MH长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
37．（2022秋·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，直线不过点且与交于，两点（点在轴上方），与轴负半轴交于点，若，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
38．（2022·江苏·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，也为抛物线的焦点．点为双曲线和抛物线在第一象限内的交点，满足所在直线的斜率为且．则下列命题正确的有（ ）个．
①； ②双曲线的离心率为；
③； ④
A．B．C．D．
二、多选题
39．（2023秋·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（ ）
A．抛物线的方程是B．
C．当时，D．
40．（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习）直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．抛物线E的准线方程是
C．以MN为直径的圆与定直线相切D．的大小为定值
41．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）设抛物线的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是（ ）
A．若，则O为线段MN的中点B．若，则
C．若，则D．存在点M，使得
42．（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，抛物线E的方程为，E的焦点为F，直线l与E交于A，B两点，且AB的中点到x轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）
A．E的准线方程为
B．的最大值为6
C．若，则直线AB的方程为
D．若，则面积的最小值为16
43．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）点是抛物线上第一象限内的点，过点A作圆C：的两条切线，切点为、，分别交轴于P，Q两点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则直线MN的方程为
C．若，则的面积为92
D．的面积最小值为72
三、填空题
44．（2023秋·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）已知直线过定点且该点在抛物线上，则的值为 .
45．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ．
46．（2023秋·江苏南通·高二统考阶段练习）过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为 .
47．（2023·江苏·高二假期作业）抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，且（ 为坐标原点），，垂足为，则的面积是 .
48．（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则 .
四、解答题
49．（2023秋·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）设抛物线：的焦点为，，在准线上，的纵坐标为，到点距离为4.
(1)求抛物线的方程；
(2)过且斜率为2的直线与交于、两点，求的面积.
50．（2023秋·江苏徐州·高二统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点．
(1)若线段中点的横坐标为2，求线段的长；
(2)若直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．
51．（2023秋·江苏南京·高二金陵中学校考阶段练习）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求的值；
(2)设为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，求面积的最小值．
52．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知直线l与抛物线C：交于A，B两点．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；
(2)若直线l经过点，求的值．
53．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．
(1)求动圆的圆心所在轨迹的方程；
(2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．