1．过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．直线 D．抛物线
解析：选D 如图，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离|PA|等于点P到y轴的距离|PB|，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．
2．(多选)对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线y2＝10x的有( )
A．焦点在y轴上
B．焦点在x轴上
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)
解析：选BD 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足．设M(1，y0)是抛物线y2＝10x上一点，F为焦点，则|MF|＝1＋eq \f(p,2)＝1＋eq \f(5,2)＝eq \f(7,2)≠6，所以C不满足．由于抛物线y2＝10x的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)，则该直线的斜率存在，设过该焦点的直线方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))，则k＝－2，此时存在，所以D满足．所以满足抛物线y2＝10x的有B、D.
3．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：选D 依题意知抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，椭圆的焦点坐标为(±eq \r(2p)，0)，所以eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，解得p＝8.
4．已知抛物线的焦点为F(a，0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是( )
A．y2＝2ax B．y2＝4ax
C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax
解析：选B 因为抛物线的焦点为F(a，0)(a＜0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4ax，故选B.
5．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝8，则MN的中点到准线的距离为( )
A．5 B．4
C．3 D.eq \f(5,2)
解析：选B ∵F是抛物线y2＝4x的焦点，∴F(1，0)，准线方程为x＝－1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，
∴线段MN中点的横坐标为3，
∴线段MN的中点到准线的距离为3＋1＝4.
6．抛物线y＝－4x2的焦点坐标是________，准线方程是________．
解析：抛物线的标准方程为x2＝－eq \f(1,4)y，故焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,16)))，准线方程为y＝eq \f(1,16).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,16))) y＝eq \f(1,16)
7．若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________．
解析：把抛物线方程y＝ax2化为标准形式得x2＝eq \f(1,a)y，
所以－eq \f(1,4a)＝2，a＝－eq \f(1,8).
答案：－eq \f(1,8)
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－eq \f(y2,a)＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
解析：根据抛物线的定义得1＋eq \f(p,2)＝5，p＝8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－eq \r(a)×2＝－1，故a＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))，准线l：y＝eq \f(p,2)，作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，又|MN|＝3＋eq \f(p,2)，所以3＋eq \f(p,2)＝5，
即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2eq \r(6).
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2))).因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＝6p，, \r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3＋\f(p,2)))\s\up12(2))＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝4，,m＝±2\r(6).))
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2eq \r(6)，准线方程为y＝2.
10．已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程．
解：如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|.
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝eq \r(x2＋42).
又|O1A|＝eq \r(（x－4）2＋y2)，∴eq \r(（x－4）2＋y2)＝eq \r(x2＋42)，
化简得，y2＝8x(x≠0)．
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
[B级综合运用]
11．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3
C．6 D．9
解析：选C 法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以yeq \\al(2,A)＝18p.又点A到焦点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离为12，所以 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－\f(p,2)))\s\up12(2)＋yeq \\al(2,A))＝12，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－\f(p,2)))eq \s\up12(2)＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C.
法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－eq \f(p,2)的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以eq \f(p,2)＝12－9，解得p＝6.故选C.
12．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若∠PFx＝60°，则( )
A．△PQF为等边三角形 B．|PQ|＝4
C．S△PQF＝4eq \r(3) D．xP＝4
解析：选ABC 如图，因PQ∥x轴，
∴∠QPF＝∠PFx＝60°，
由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，
∴△PQF为等边三角形．
因F(1，0)，过F作FM⊥PQ，垂足为M.∴xM＝1，∴|MQ|＝2.
∴|PQ|＝4，∴S△PQF＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×4＝4eq \r(3)，xP＝3.
故选A、B、C.
13．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M与焦点间的距离是aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>\f(p,2)))，则点M到准线的距离是________，点M的横坐标是________．
解析：由抛物线的定义知点M到准线的距离等于M到焦点间的距离，故点M到准线的距离为a，
设M(x0，y0)，则x0＋eq \f(p,2)＝a，
即x0＝a－eq \f(p,2).
答案：a a－eq \f(p,2)
14．设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小．显然，连接AF与抛物线的交点即为所求点P，故最小值为eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，|P1Q|＝|P1F|，那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即最小值为4.
[C级拓展探究]
15．动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．
解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，
作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA.
设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1.
∵圆P与圆A外切，∴|PA|＝R＋r＝R＋1.
又∵圆P与直线l：x＝1相切，
∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1.
∴|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′的距离相等，
∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线．
设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，可知p＝4，
∴所求动圆圆心P的轨迹方程为y2＝－8x.