数学选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线3 抛物线3.2 抛物线的简单几何性质课后作业题

这是一份数学选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线3 抛物线3.2 抛物线的简单几何性质课后作业题，共15页。试卷主要包含了抛物线x2=4y的对称轴是直线，平面内到定点F和定直线l，已知F为抛物线C，斜率为3的直线l过抛物线C等内容，欢迎下载使用。

题组一 由抛物线的方程研究其简单几何性质
1.(2020重庆大足高二上期末)抛物线x2=4y的对称轴是直线( )
A.x=-2 B.y=2 C.y=0 D.x=0
2.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,则下列点中一定在该抛物线上的是( )
A.(-m,-n) B.(m,-n) C.(-m,n) D.(-n,-m)
3.(多选题)平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C.关于曲线C,下列结论正确的有( )
A.曲线C的方程为x2=4y
B.曲线C关于y轴对称
C.若点P(x,y)在曲线C上,则y≥2
D.若点P在曲线C上,则点P到直线l的距离d≥2
4.(2020广东汕尾高二下期末)已知抛物线x2=4y上一点M(x1,y1)到其焦点的距离为3,则点M到原点O的距离为 .
题组二 由抛物线的简单几何性质求其标准方程
5.(2020海南琼山中学高二上第二次月考)已知抛物线的焦点为椭圆x24+y29=1的下焦点,顶点为椭圆中心,则该抛物线的方程为( )
A.x2=-45y B.y2=-45x
C.x2=-413y D.y2=-413x
6.(多选题)(2020江苏盐城响水中学高二上期中)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和22,则p的值可以是( )
A.1 B.2 C.4 D.2
7.(2019山东菏泽郓城第一中学高三下一模)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F作垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点,以MN为直径的圆交y轴于C、D两点,且|CD|=3,则抛物线的方程为( )
A.y2=2x B.y2=23x
C.y2=43x D.y2=6x
8.(2021湖南长沙雅礼中学高三上月考)斜率为3的直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,若l与圆M:(x-2)2+y2=12相切,则p=( )
A.12 B.8 C.10 D.6
9.(2020河北衡水中学高三临考模拟)已知圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,且坐标原点O是线段AC的中点,则p的值为 .
10.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,P为抛物线上的动点,M为其准线上的动点,若△FPM是边长为4的等边三角形,求抛物线的标准方程.
题组三 抛物线方程与性质的综合应用
11.(2019陕西西安高新一中高二上期末)已知抛物线x2=8y的焦点为F,点P在抛物线上,且|PF|=6,Q为抛物线准线与其对称轴的交点,则△PFQ的面积为( )
A.202 B.162
C.122 D.82
12.(多选题)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F.点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为324,则点M的坐标可以为( )
A.(0,-1) B.(0,-2)
C.(0,2) D.(0,1)
13.(2020上海宝山通河中学高二下期中)若抛物线y2=4xm(m>0)的焦点在圆x2+y2=1外,则实数m的取值范围是 .
14.(2020广东汕头高二下期末)抛物线y2=2px(p>0)过圆x2+y2-4x+8y+19=0的圆心,A(3,m)为抛物线上一点,则A到抛物线焦点F的距离为 .
15.(2021湖南永州第一中学高二上第一次月考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l与x轴交于点M,若N为l上一点,当△MNF为等腰三角形,且|NF|=22时,p的值为 .
能力提升练

题组一 抛物线的方程及其几何性质
1.(2021江苏南通平潮高级中学高二上期中,)已知点A(5,t)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点A到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A.2 B.3 C.6 D.12
2.(2021河北邢台高二上期中,)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点为坐标原点O,并且经过点M(3,y0),若点M到该抛物线焦点F的距离为6,则|OM|= ( )
A.5 B.35
C.6 D.62
3.(2021江苏镇江高二上期中,)抛物线y2=4x的准线与双曲线4x2-y2=1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )
A.12 B.2 C.22 D.4
4.()已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF=( )
A.60° B.45° C.30° D.15°
5.(多选题)()设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程可能为( )
A.y2=4x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=32x
6.(多选题)(2020辽宁丹东高二上期末,)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6,则p的值可能为( )
A.1 B.2 C.9 D.18
7.(2020辽宁本溪高二下验收,)已知点A(0,2),抛物线C1:y2=ax(a>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与抛物线的准线相交于点N.若|FM|∶|MN|=1∶5,则a的值为( )
A.14 B.12 C.1 D.4
8.(2021福建福州高三10月调研A卷,)抛物线y2=2px(p>0)的准线被圆x2+y2-2y-1=0所截得的弦长为2,则该抛物线的焦点坐标为 .
9.(2021福建福州八县(市)一中高二上期中联考,)如图所示,抛物线形拱桥的跨度是20米,拱高是4米,在建桥时,每隔4米需要用一个支柱支撑,则其中最长支柱的长度为 米.
10.(2021江苏南京东山外国语学校高二10月月考,)已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物线于点B.过B作l的垂线,垂足为M,若AM⊥MF,则△AFM的面积S= .
11.(2021江苏南京高二上期中调研测试,)在平面直角坐标系xOy中,已知圆F:(x-2)2+y2=1,动圆M与直线l:x=-1相切且与圆F外切.
(1)记圆心M的轨迹为曲线C,求曲线C的方程;
(2)已知A(-2,0),曲线C上一点P满足|PA|=2|PF|,求∠PAF的大小.
题组二 与抛物线有关的最值问题
12.(2021江西南昌第十中学高二上第一次月考,)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上不同时与原点O重合的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为( )
A.45π B.34π
C.(6-25)π D.54π
13.(2020山西运城高中联合体高三第三次模拟,)已知曲线C由抛物线y2=2x及抛物线y2=-2x组成,A(1,2),B(-1,2),M,N是曲线C上关于y轴对称的两点(A,B,M,N四点不共线,且点M在第一象限),则四边形ABNM周长的最小值为( )
A.2+17 B.1+17
C.3 D.4
14.()已知点A(2,0),B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x上运动,则使AP·BP取得最小值的点P的坐标是 .
15.(2021广东珠海第二中学高二上期中,)已知抛物线y2=-4x的焦点为F,点P在抛物线上,点A(-2,1),则使|PF|+|PA|的值最小的点P的坐标为 .
16.(2020陕西榆林高考第四次模拟,)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,定点A(1,2)和动点P都在抛物线C上,点B(2,0),则|PF|-1|PB|2的最大值为 .
答案全解全析
基础过关练
1.D 由抛物线方程x2=4y,可知抛物线关于y轴对称,即对称轴为直线x=0.故选D.
2.B 由抛物线方程可知其关于x轴对称,故点(m,-n)一定在该抛物线上.故选B.
3.AB 由抛物线的定义知,曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为x2=4y,所以A、B正确;由x2=4y知y≥0,点P到直线l的距离d≥1,所以C、D错误.
故选AB.
4.答案 23
解析 根据抛物线方程可求得其焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1,
根据抛物线的定义,可知y1=2,代入抛物线方程,得x1=±22,
所以点M的坐标为(±22,2),
所以点M到原点的距离为|OM|=(±22)2+22=23,
故答案为23.
5.A 由x24+y29=1知a2=9,b2=4,
所以c2=5,
故椭圆的下焦点为(0,-5).
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
则p=25,
所以抛物线的方程为x2=-45y,
故选A.
6.BC 因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和22,
所以|yM|=22,xM+p2=3,即|yM|=22,xM=3-p2,
代入抛物线方程可得8=2p3-p2,
整理得p2-6p+8=0,解得p=2或p=4.故选BC.
7.B 由题意可知|MN|=2p(p>0),所以圆的半径是p,
在△COF中,p22+322=p2,
解得p=3(负值舍去),
所以抛物线的方程为y2=23x.故选B.
8.A 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为p2,0,
则直线l的方程为y=3x-p2,
即3x-y-32p=0.
因为l与圆M:(x-2)2+y2=12相切,
所以圆心(2,0)到l的距离d=23-32p2=23,
解得p=12(负值舍去).故选A.
9.答案 255
解析 易得抛物线的准线方程为x=-p2,所以由对称性得点Ap2,±p,
代入圆的方程,得p22+(±p)2=1,
解得p=255(负值舍去).
10.解析 因为△FPM为等边三角形,所以|PM|=|PF|,由抛物线的定义可得PM垂直于抛物线的准线.
设Pm,m22p,则Mm,-p2,
又F0,p2,
所以有m22p+p2=4,p2+p22+m2=4,
解得m2=12,p=2,
所以抛物线的标准方程为x2=4y.
11.D 由x2=8y,可知抛物线的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,所以Q(0,-2).
设P(m,n),由|PF|=6得n+2=6,所以n=4,所以m=±42,
则S△PFQ=12×|FQ|×|m|=12×4×42=82.
12.BC 设M(0,y0),易知Fp2,0,则Bp4,y02,如图所示.
则|BB1|=p4+p2=324,解得p=2,
∴抛物线方程为y2=22x,且B24,y02,
又点B在抛物线上,
∴14y02=22×24,解得y0=±2.
∴点M的坐标为(0,2)或(0,-2).
故选BC.
13.答案 (0,1)
解析 抛物线y2=4xm(m>0)的焦点坐标为1m,0,
若焦点在圆x2+y2=1外,则1m>1,
解得014.答案 5
解析 圆x2+y2-4x+8y+19=0的圆心为--42,-82,即(2,-4),代入抛物线方程,得(-4)2=2p×2,解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x,其准线方程为x=-2,又A(3,m),A到抛物线焦点F的距离等于A到抛物线准线的距离,所以距离为3+2=5.
15.答案 2
解析 根据抛物线方程得到焦点Fp2,0,准线l的方程为x=-p2,
所以M-p2,0,则|MF|=p.
因为△MNF为等腰三角形,N为l上一点,所以△MNF为等腰直角三角形,
即|MF|=|MN|,又|NF|=22,所以|MF|=2,则p=2.
能力提升练
1.C 由抛物线的定义可知,点A到抛物线准线的距离为5+p2=8,解得p=6,
因此,抛物线的焦点到准线的距离为6.
故选C.
2.B 由题意设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),
因为点M(3,y0)到焦点F的距离为6,所以|MF|=3+p2=6,则p=6,
所以抛物线的方程为y2=12x,
令x=3,可得y02=36,
所以|OM|=32+y02=35.故选B.
3.B 抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,双曲线4x2-y2=1的两条渐近线方程为y=±2x,
易得准线与渐近线的交点为(-1,±2),则所求三角形的面积为12×[2-(-2)]×1=2.故选B.
4.B 依题意,在抛物线y2=2px上有一点M,使得|MF|=p,则点M的坐标为p2,p,又抛物线的准线方程为x=-p2,所以准线与x轴的交点K的坐标为-p2,0,
则|KF|=p,所以在直角△MFK中,|MF|=|KF|=p,所以∠MKF=45°,故选B.
5.AC 由题意可知,抛物线C的焦点为Fp2,0,
设点A(0,2),My022p,y0,
则AF=p2,-2,AM=y022p,y0-2.
因为以MF为直径的圆过点(0,2),
所以AF·AM=0,
即y02-8y0+16=0,所以y0=4,M8p,4.
由|MF|=5,得8p-p22+16=5,
又p>0,所以p=2或p=8,
则抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.
故选AC.
6.BD 设M(x0,y0),所以有y02=2px0,
由点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6,可得x0+p2=10,|y0|=6,
所以有y02=2px0,x0+p2=10,|y0|=6,解得p=2或p=18.
故选BD.
7.D 依题意,点F的坐标为a4,0,设点M在准线上的射影为K,连接MK,如图所示:
由抛物线的定义知|MF|=|KM|,由|FM|∶|MN|=1∶5,
得|KN|∶|KM|=2∶1.
∵kFN=kFA=0-2a4-0=-8a,kFN=-|KN||KM|=-2,∴-8a=-2,解得a=4.
故选D.
8.答案 (1,0)
解析 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,
把圆的方程化成标准方程为x2+(y-1)2=2,故圆心坐标为(0,1),半径r=2,
圆心到准线的距离为p2,
所以p22+222=(2)2,
解得p=2(负值舍去),
所以焦点坐标为(1,0).
9.答案 9625(或3.84)
信息提取 ①抛物线形拱桥;②跨度是20米,拱高是4米;③求最长支柱的长度.
数学建模 抛物线形拱桥,可通过建立开口向下的抛物线模型求解.以抛物线的顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系,设所求抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由题意可得出点A(-10,-4)在该抛物线上,可求得p的值,然后将x=2代入抛物线的方程,即可求得结果.
解析 以抛物线的顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系,如图.
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由题意可知点A(-10,-4)在该抛物线上,
所以100=-2p×(-4),解得p=252,
所以抛物线的方程为x2=-25y,
当x=2时,y=-425,
因此,最长支柱的长度为4-425=9625(米).
10.答案 324
解析 如图所示:
由抛物线的定义可知|BF|=|BM|,Fp2,0.
∵AM⊥MF,∴由直角三角形的性质可知,B为线段AF的中点,∴Bp4,1,
把点Bp4,1代入抛物线方程y2=2px(p>0),得1=2p×p4,解得p=2(负值舍去),∴B24,1,
∴S△AFM=2S△BFM=2×12×1×24+22=324.
11.解析 (1)设M(x,y),圆M的半径为r.
由题意可知点M到点F(2,0)的距离等于点M到定直线x=-2的距离,
根据抛物线的定义知,曲线C是以F(2,0)为焦点的抛物线.
故曲线C的方程为y2=8x.
(2)设P(x0,y0),由|PA|=2|PF|,得
(x0+2)2+y02=2[(x0-2)2+y02],
又y02=8x0,所以x0=2,故P(2,±4),
所以kPA=±1,故∠PAF=π4.
12.A 设直线l:2x+y-4=0,由题意可知,以AB为直径的圆C经过点O,所以|OC|=12|AB|=d,其中d表示点C到直线l的距离,所以圆心C的轨迹是以O为焦点,l为准线的抛物线,设原点O到直线l的距离为d',则d'=45,圆C半径的最小值为12d'=12×45=255,圆C面积的最小值为π×2552=4π5.故选A.
13.B 设抛物线y2=2x的焦点为F,四边形ABNM的周长为l,则l=|AB|+2|AM|+2xM=2+2|AM|+2|MF|-1≥1+2|AF|=1+17,
当A,M,F三点共线且M在线段AF上时取等号,故选B.
14.答案 (0,0)
解析 设动点P的坐标为(x0,y0)(x0≤0),所以有y02=-4x0,
AP=(x0-2,y0),BP=(x0-4,y0),
AP·BP=(x0-2,y0)·(x0-4,y0)=x02-6x0+8+y02,又y02=-4x0,所以AP·BP=x02-10x0+8=(x0-5)2-17,因为x0≤0,所以当x0=0时,AP·BP有最小值,此时点P的坐标是(0,0).
15.答案 -14,1
解析 易得抛物线y2=-4x的焦点为F(-1,0),准线方程为x=1,
设点P在准线上的射影为P',则|PF|=|PP'|,
所以|PF|+|PA|=|PA|+|PP'|≥|AP'|=3(当A,P,P'三点共线时取“=”),
此时点P的纵坐标为1,代入抛物线的方程可得点P的横坐标为-14,
所以点P的坐标为-14,1.
16.答案 14
解析 因为点A(1,2)在抛物线上,
所以4=2p,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0).
设动点P(x,y)(x≥0),则y=±2x,不妨令P(x,2x),
结合抛物线的定义可知,x=|PF|-1,
当x=0时,P(0,0),|PF|-1|PB|2=0;
当x>0时,|PF|-1|PB|2=x(x-2)2+4x=xx2+4=1x+4x≤12x·4x=14,
当且仅当x=2时取“=”.
综上可知,|PF|-1|PB|2的最大值为14.