高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.3 抛物线课时训练

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.3 抛物线课时训练，共12页。试卷主要包含了在平面内,已知一动点M到直线l，已知抛物线C，已知直线l等内容，欢迎下载使用。
基础过关练
题组一 抛物线的定义及其应用
1.(2021江苏无锡第一中学高二上期中)在平面内,已知一动点M到直线l:x=-2与其到定点P(2,0)的距离相等,则点M的轨迹是( )
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线
2.(2021江苏徐州铜山大许中学高二上调研测试)在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点,交抛物线于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为( )
A.6 B.7 C.8 D.10
3.(2021江苏南京人民中学高二上月考)设抛物线y2=12x的焦点为F,点P在此抛物线上且横坐标为5,则PF等于( )
A.4 B.6 C.8 D.10
4.(2020江苏泰州中学高二下期初检测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,且l过点(-2,3),M在抛物线C上,若点N(1,2),则MN+MF的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
题组二 抛物线的标准方程和准线方程
5.(2020江苏淮安高二上期末)准线方程为y=1的抛物线的标准方程为( )
A.x2=-4y B.y2=-4x
C.x2=-2y D.x2=4y
6.(2021江苏泰州中学高二上质量检测)若抛物线x2=ay的准线与椭圆x24+y2=1相切,则a=( )
A.-4或4 B.4 C.-8或8 D.8
7.(2020江苏南通启东中学高二下期初检测)中国古代的桥梁建筑有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.若水面下降1 m,则水面宽度为( )
A.26 m B.46 m C.42 m D.12 m
8.(2020江苏常州溧阳高二上期末)以椭圆x24+y23=1的对称中心为顶点,椭圆的焦点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A.y2=4x B.y2=4x或y2=-4x
C.x2=4y D.y2=-4x或x2=4y
9.(2021江苏镇江中学高二上期初检测)若双曲线的方程为x23-y22=1,则以双曲线右准线为准线的抛物线的标准方程是( )
A.y2=1255x B.y2=-1255x
C.x2=1255y D.x2=-1255y
题组三 直线与抛物线的位置关系
10.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则AB=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
11.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
12.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为( )
A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0
C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0
13.(2021江苏南京江浦高级中学高二上检测)过点(0,-3)的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点,则直线l的方程为 .
14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点.
(1)求弦AB的长;
(2)求△FAB的面积.
能力提升练
题组一 抛物线的定义及其应用
1.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线与y轴交于点A,点M(1,y0)在抛物线C上,MF=5y04,则tan∠FAM=( )
A.25 B.52 C.54 D.45
2.(2020天津耀华中学高二上期末,)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,过A,B作l的垂线,垂足分别为C,D.若AF=3BF,且三角形CDF的面积为3,则p的值为( )
A.233 B.33
C.62 D.263
3.(2021江苏扬州大学附属中学高二上第一次月考,)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点,则FN= .
4.(2021江苏南京人民中学高二上月考,)已知点A(-2,1),y2=-4x的焦点为F,P是y2=-4x上的点,则使PA+PF取得最小值的点P的坐标是 .
5.(2021江苏南京江宁东山外国语学校高二月考,)已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物线于点B,过B作l的垂线,垂足为M.若AM⊥MF,则三角形AFM的面积S= .
题组二 抛物线的标准方程及其应用
6.(多选)(2021江苏南通海安高二上期中,)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为324,则点M的坐标可能为( )
A.(0,-1) B.(0,-2)
C.(0,2) D.(0,1)
7.()设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,MF=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的标准方程为( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
8.(2021江苏南通海安高二上期中,)已知点F(1,0),直线l:x=-1,动点P到点F的距离等于它到直线l的距离.
(1)试判断点P的轨迹C的形状,并写出其方程;
(2)若曲线C与直线m:y=x-1相交于A、B两点,求△OAB的面积.
题组三 抛物线的综合应用
9.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中,)已知y2=x,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,O为坐标原点,若OA·OB=12,则△AOB面积的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
10.(2020江苏南通高二上第一次教学质量调研,)如图,已知△OAP和△ABQ均为等边三角形,它们的边长分别为m,n,抛物线y2=2px(p>0)恰好经过点P,Q,则mn= .
11.()设抛物线y2=2x上两点A,B位于x轴的同侧,且A,B两点的横坐标之积为4,则直线AB经过的定点坐标是 .
12.(2021江苏泰州中学高二上质量检测,)已知双曲线C的离心率为233,点(23,1)在双曲线上,且抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线的一个焦点重合.
(1)求双曲线和抛物线的标准方程;
(2)过焦点F作一条直线l交抛物线于A,B两点,当直线l的斜率为3时,求线段AB的长度.
答案全解全析
基础过关练
1.A 动点M到定点P(2,0)的距离与其到定直线l:x=-2的距离相等,
所以点M的轨迹是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,故选A.
2.C 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,由题意知,p=2,则AB=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=6+2=8.故选C.
3.C 因为抛物线方程为y2=12x,所以p=6,由抛物线的定义可得PF=xP+p2=5+62=8.故选C.
4.B 由题可得l:x=-2.由抛物线的定义可知MF=xM+2,
所以MN+MF=MN+xM+2≥xN+2=1+2=3.故选B.
5.A 因为准线方程为y=1,
所以设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
所以p2=1,所以p=2,
所以抛物线的标准方程为x2=-4y.故选A.
6.A 易知抛物线x2=ay的准线方程为y=-a4,
因为抛物线x2=ay的准线与椭圆x24+y2=1相切,所以-a4=±1,所以a=±4,故选A.
7.答案 B
信息提取 (1)抛物线型拱桥;(2)水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.
数学建模 本题以中国古代的桥梁建筑为背景构建抛物线模型,以拱桥顶点为原点建立平面直角坐标系,设出抛物线的标准方程,进而求解.
解析 由题意,以拱桥顶点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),
由题意知,抛物线经过点A(-4,-2)和点B(4,-2),
代入抛物线方程,解得p=4,
所以抛物线的标准方程为x2=-8y,
水面下降1 m,即y=-3,代入方程,解得x1=26,x2=-26,所以此时水面宽度d=2x1=46 m.
故选B.
8.B 椭圆x24+y23=1的对称中心为(0,0),焦点为(±1,0),
故满足条件的抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x,故选B.
9.B 由双曲线方程得a2=3,b2=2,
则c=a2+b2=5,∴双曲线的右准线方程为x=a2c=35=355,
可知抛物线的准线方程为x=355,
设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则p2=355,2p=1255,
则抛物线的标准方程是y2=-1255x,故选B.
10.D 由条件知,直线y=x-1过抛物线的焦点,
将y=x-1代入抛物线方程y2=4x,整理得x2-6x+1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,
∴AB=x1+x2+2=8.
11.C 因为直线方程为y=kx-k=k(x-1),
所以直线恒过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部,
所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;
当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
故选C.
12.D 因为抛物线的切线与直线2x-y+4=0平行,所以可设切线方程为2x-y+m=0(m≠4),
联立2x-y+m=0,y=x2,得x2-2x-m=0,
由Δ=4+4m=0,解得m=-1,
所以切线方程为2x-y-1=0,故选D.
13.答案 x=0或y=-3或x+3y+9=0
解析 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,满足题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-3,与y2=4x联立,
可得k2x2-(6k+4)x+9=0,
当k=0时,直线l的方程为y=-3,
满足题意;
当k≠0时,由Δ=[-(6k+4)]2-36k2=0,解得k=-13,
此时直线l的方程为x+3y+9=0.
综上,直线l的方程为x=0或y=-3或x+3y+9=0.
14.解析 (1)联立y=x-2,y2=4x,消去y并整理得x2-8x+4=0,其中Δ=64-4×4=48>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8,x1x2=4,
所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=43,
所以AB=1+12·|x1-x2|=2×43=46.
(2)由题意得点F(1,0),
点F到直线l的距离d=|1-2|2=22,
所以S△FAB =12×AB×d=12×46×22=23.
能力提升练
1.D 如图,过M向抛物线的准线引垂线,垂足为N,则MN=y0+p2=5y04,故y0=2p.
又M(1,y0)在抛物线上,故y0=12p,于是2p=12p,解得p=12(负值舍去),∴MN=5y04=54,
∴tan∠FAM=tan∠AMN=ANMN=45.
故选D.
2.C 如图所示,过点B作BM⊥AC于点M,设BD=x,则AC=3x,从而p=32x,
∴AM=2x,AB=4x,
因此,BM=23x,
∴S△CDF=12CD·p=12BM·p
=12×23x×p=12×23×23p2=3,
∴p2=32,
解得p=62(负值舍去),故选C.
3.答案 6
解析 如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线为l,l与x轴交于点F',
作MB⊥l于点B,NA⊥l于点A,由抛物线的方程可得准线l的方程为x=-2,
则AN=2,FF'=4,在直角梯形ANFF'中,中位线BM=AN+FF'2=3,
由抛物线的定义得MF=MB=3,
所以FN=2FM=6.
4.答案 -14,1
解析 如图,过P作 PK⊥l(l为抛物线的准线)于K,则PF=PK,∴PA+PF=PA+PK.所以当点P的纵坐标与点A的纵坐标相同时,
PA+PK最小,此时点P的纵坐标为 1,把y=1代入 y2=-4x,得 x=-14,
即当点P的坐标为-14,1时,PA+PF取得最小值.
5.答案 324
解析 如图所示.
由抛物线的定义可知BF=BM,Fp2,0,又∵AM⊥MF,
∴点B为线段AF的中点,∴Bp4,1,
把点Bp4,1代入抛物线方程得1=2p×p4,解得p=2(负值舍去),
∴B24,1,∴S△AFM=2S△BFM=2×12×1×24+22=324.
6.BC 设M(0,y0),易知Fp2,0,则Bp4,y02,如图所示.
则BB1=p4+p2=324,解得p=2,∴抛物线的标准方程为y2=22x,且B24,y02,
又B在抛物线上,∴14y02=22×24,因此y02=4,解得y0=±2.
所以点M的坐标为(0,2)或(0,-2).故选BC.
7.C 因为抛物线C的方程为y2=2px(p>0),所以焦点Fp2,0,设M(x,y),由抛物线的定义,知MF=x+p2=5,解得x=5-p2.因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式,可得圆心的横坐标为52,圆的半径也为52,故该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心的纵坐标为2,则点M的纵坐标为4,即M5-p2,4,代入抛物线方程,得p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,所以抛物线C的标准方程为y2=4x或y2=16x.故选C.
8.解析 (1)∵点P到点F的距离等于它到直线l的距离,∴点P的轨迹C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立y2=4x,y=x-1,得 x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,
∵直线m经过抛物线C的焦点F(1,0),
∴AB=x1+x2+p=6+2=8,
∵点O到直线m的距离d=|-1|2=22,
∴S△OAB=12AB·d=12×8×22=22.
9.B 设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),将x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,
根据根与系数的关系得y1y2=-m,y1+y2=t.
∵OA·OB=12,∴x1x2+y1y2=12,又x1x2=y12y22,∴(y1y2)2+y1y2-12=0,则m2-m-12=0,解得m=4或m=-3,∵点A,B位于x轴的两侧,∴m=4.
故直线AB所过的定点坐标是(4,0),
故△AOB的面积S=12×4×|y1-y2|=2×(y1+y2)2-4y1y2=2t2+16≥8,
当t=0时,直线AB垂直于x轴,△AOB的面积取得最小值,为8,故选B.
10.答案 12
解析 由已知得A(m,0),B(m+n,0),则Pm2,-3m2,Qm+n2,3n2,
因为抛物线y2=2px(p>0)恰好经过点P,Q,
所以-3m22=2p·m2,3n22=2p·m+n2,
两式相除可得m2n2=m2m+n,
设mn=t(t>0),则t2=t2t+1,解得t=12(负值舍去),即mn=12.
11.答案 (-2,0)
解析 可设A,B同在第一象限,设直线AB的方程为y=kx+b(k>0,b>0),
代入抛物线y2=2x,可得k2x2+(2kb-2)x+b2=0,
设A,B的横坐标分别为x1,x2,可得x1x2=b2k2=4,即b=2k或b=-2k.
若b=2k,则y=kx+2k=k(x+2),则直线AB过定点(-2,0);
若b=-2k,则y=kx-2k=k(x-2),则直线AB过定点(2,0),此时直线与抛物线的两个交点在x轴的异侧,故舍去.
综上,直线AB经过的定点坐标是(-2,0).
12.解析 (1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题设知ca=233,
所以ba=33,①
又点(23,1)在双曲线上,
所以12a2-1b2=1.②
由①②解得a2=9,b2=3,
故双曲线的标准方程为x29-y23=1.
因为c2=a2+b2=12,所以c=23,
所以抛物线的焦点为F(23,0),
即p2=23⇒p=43,所以抛物线的标准方程为y2=83x.
(2)设直线l:y=3(x-23)交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),
联立y=3(x-23),y2=83x,得3x2-203x+36=0,故x1+x2=2033,
由抛物线定义知AF=x1+p2,BF=x2+p2,
所以AB=x1+x2+p=2033+43=3233.