必修13.4.2 函数模型及其应用教案设计

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函数模型及其应用一、选择题1.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如下表所示:型号小包装大包装重量100克 300克 包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法中正确的是(    )①买小包装实惠②买大包装实惠③卖3小包比卖1大包盈利多④卖1大包比卖3小包盈利多A.①③            B.①④           C.②③                D.②④解析:买小包装时每克费用为元，买大包装每克费用为元，而＞，所以买大包装实惠.卖3小包的利润为3×(3-1.8-0.5)＝2.1（元），卖1大包的利润是8.4-1.8×3-0.7＝2.3(元）.而2.3＞2.1,卖1大包盈利多,故选D.答案:D2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1＝5.06x-0.15x2和L2＝2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为(    )A.45.606           B.45.6               C.45.56             D.45.51解析:依题意,可设甲销售x辆,则乙销售(15-x)辆,∴总利润S＝5.06x-0.15x2+2(15-x)＝-0.15x2+3.06x+30(x≥0).∴当x＝10.2时,Smax＝45.6(万元).答案:B3.某商店出售A、B两种价格不同的商品,由于商品A连续两次提价20%,同时商品B连续两次降价20%,结果都以每件23元售出,若商店同时售出这两种商品各一件,则与价格不升不降时的情况比较,商店盈利情况是(    )A.多赚约6元                           B.少赚约6元C.多赚约2元                           D.盈利相同解析:设A、B两种商品的原价为a、b,则a(1+20%)2＝b(1-20%)2＝23a＝,,a+b-46≈6元.答案:B4.某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定:①一次购物不超过200元,不予以折扣;②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;③如一次购物超过500元的,其中500元给予九折优惠,超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去购物,分别付款176元和432元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款…(    )A.608元            B.574.1元          C.582.6元          D.456.8元解析:购物付款432元,实际标价为(元).如一次购买标价为176+480＝656(元)的商品,应付款500×0.9+156×0.85＝582.6(元),故选C.答案:C5.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y＝2x+475.各种类型家庭情况见下表:家庭类型贫困温饱小康富裕nn≥59%50%≤n＜59%40%≤n＜50%30%≤n＜40%李先生的居住地2002年比1998年食品价格下降了7.5%，李先生一家在2002年购买食品和1998年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2002年属于(    )A.贫困         B.温饱           C.小康            D.富裕解析:设1998年人均食品消费x元，则2002年人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,2002年人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500.此时，≈0.3304＝33.04%,故选D.答案:D二、填空题6.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2003年产生的垃圾量为at.由此预测，该区下一年的垃圾量为_____t，2008年的垃圾量为_____t.解析:由于2003年的垃圾量为at,年增长率为b,故下一年的垃圾量为a+ab＝a(1+b)t,同理可知,2005年的垃圾量为a(1-b)2t,…,2008年的垃圾量为a(1+b)5t.答案:a(1+b)a(1+b)57.某大楼共有20层,有19人在第一层上了电梯,他们分别要去第二至第二十层,每层1人,而电梯只允许停一次,只可使1人满意,其余18人都要步行上楼或下楼,假定乘客每向下走1层的不满意度为1,每向上走1层的不满意度为2,所有人的不满意度之和为S,为使S最小,则电梯应当停在第_________层.解析:设电梯停在第n层,则在第n层的上面还有(20-n)层,第n层及其下面有(n-1)层.故若电梯停到第n+1层,则要去第n层之上各层的人都可比原来(停在第n层时)少上一层楼,而要到第n层及下面各层的人都要比原来多下一层楼,根据题设,有S(n+1)-S(n)＝1×(n-1)-2×(20-n)＝3n-41.当n≤13时,S(n+1)＜S(n);当n≥14时,S(n+1)＞S(n).故n＝14时,S取最小值.答案:14三、解答题8.用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如下图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解:设容器高为xcm,容器的容积为V(x)cm3,则V(x)＝x(90-2x)(48-2x)＝4x3-276x2+4320x(0＜x＜24).求V(x)的导数,得V′(x)＝12x2-552x+4320＝12(x2-46x+360)＝12(x-10)(x-36).令V′(x)＝0,得x1＝10,x2＝36(舍去).当0＜x＜10时,V′(x)＞0,那么V(x)为增函数;当10＜x＜24时,V′(x)＜0,那么V(x)为减函数.因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x＝10时取得最大值,其最大值为V(10)＝10×(90-20)×(48-20)＝19600(cm3).答:当容器的高为10cm时,容器的容积最大,最大容积为19600cm3.9.(2008广东高考，文17)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用＝)解:设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元,则f(x)＝(560+48x)+＝560+48x+(x≥10,x∈N*),∴,令f′(x)＝0得x＝15.当x＞15时,f′(x)＞0;当0＜x＜15时,f′(x)＜0.因此,当x＝15时,f(x)取最小值f(15)＝2000.答:为了楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.10.(2008湖北高考，文19)如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?解法一:设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,则ab＝9000.①广告的高为a+20,宽为2b+25,其中a＞0,b＞0.广告的面积S＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b≥＝＝24500.当且仅当25a＝40b时等号成立,此时,代入①式,得a＝120,从而b＝75,即当a＝120,b＝75时,S取得最小值24500.故广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小.解法二:设广告的高和宽分别为xcm,ycm,则每栏的高和宽分别为x-20cm,cm,其中x＞20,y＞25.两栏面积之和为2(x-20)()＝18000,由此得,广告的面积,整理得.因为x-20＞0,所以S≥.当且仅当时等号成立,此时有(x-20)2＝14400(x＞20),解得x＝140,代入,得y＝175.即当x＝140,y＝175时,S取得最小值24500,故当广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小.11.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,该租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解:(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为,所以这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为,整理,得,所以,当x＝4050时,f(x)最大,其最大值为f(4050)＝307050,即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050元.