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数学9.2 用样本估计总体学案设计
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这是一份数学9.2 用样本估计总体学案设计，共11页。
1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为.
2．总体方差和标准差
(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为eq \x\t(Y)，则称S2＝为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差．
(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，
则总体方差为S2＝.
3．样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \x\t(y)，
则称s2＝为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差．
4．标准差的意义
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
5．分层随机抽样的方差
设样本容量为n，平均数为eq \x\t(x)，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))1，eq \(x,\s\up6(－))2，方差分别为seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，则这个样本的方差为
s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]．
思考1：甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是eq \f(80＋82,2)＝81分吗？方差是eq \f(2＋4,2)＝3吗？为什么？
[提示] 不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．
思考2：数据x1，x2，…，xn的平均数是eq \(x,\s\up6(－))，方差为s2，数据x1，x2，…，xn，eq \(x,\s\up6(－))的方差为seq \\al(2,1)，那么s2与seq \\al(2,1)的大小关系如何？
[提示] 因为数据x1，x2，…，xn，eq \(x,\s\up6(－))比数据x1，x2，…，xn更加相对集中，所以方差变小了，即seq \\al(2,1)＜s2.
1．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有( )
图1 图2 图3
A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3
C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1
D [所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.]
2．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
B [∵样本容量n＝5，∴eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s＝
eq \r(\f(1,5)[1－32＋2－32＋3－32＋4－32＋5－32])＝eq \r(2).]
3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，
则：(1)平均命中环数为 ；
(2)命中环数的标准差为 ．
(1)7 (2)2 [(1)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.
(2)∵s2＝eq \f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]
【例1】 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
[解] (1)eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]
＝eq \f(7,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]
＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq \\al(2,甲)＞seq \\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
标准差、方差的意义
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
1．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))A和eq \(x,\s\up6(－))B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A.eq \(x,\s\up6(－))A>eq \(x,\s\up6(－))B，sA>sB B.eq \(x,\s\up6(－))AsB
C.eq \(x,\s\up6(－))A>eq \(x,\s\up6(－))B，sAB [eq \(x,\s\up6(－))A＝eq \f(1,6)(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，
eq \(x,\s\up6(－))B＝eq \f(1,6)(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝eq \f(35,3)≈11.67.
seq \\al(2,A)＝eq \f(1,6)[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，
seq \\al(2,B)＝eq \f(1,6)eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(15－11.672＋10－11.672＋12.5－11.672))
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(＋10－11.672＋12.5－11.672＋10－11.672))≈3.47.
故eq \(x,\s\up6(－))A＜eq \(x,\s\up6(－))B，sA＞sB.]
【例2】 甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
[解] 由题意可知eq \(x,\s\up6(－))甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为eq \f(1,1＋4)＝eq \f(1,5)，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为eq \f(4,1＋4)＝eq \f(4,5)，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×60＋eq \f(4,5)×70＝68 kg，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝eq \f(1,5)[200＋(60－68)2]＋eq \f(4,5)[300＋(70－68)2]＝296.
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定eq \x\t(x)1，eq \x\t(x)2，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，
(2)确定eq \x\t(x)；
(3)应用公式s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \x\t(x)1－eq \x\t(x))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \x\t(x)2－eq \x\t(x))2]．计算s2.
2．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10, 8，则二线城市的房价的方差为 ．
118．52 [设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20＝eq \f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋eq \f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋eq \f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，
解答s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.]
[探究问题]
1．对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？
[提示] 平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度．
2．对比两组数据时，要从哪几个方面进行？
[提示] 从众数、中位数、平均数和方差等几个方面．
【例3】 在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：
请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
[思路探究] 分别求出这两组数据的众数、中位数、平均数和方差，从这几个方面进行统计分析．
[解] (1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)
＝eq \f(1,50)×4 000＝80，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)
＝eq \f(1,50)×4 000＝80.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，seq \\al(2,甲)(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．
某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：
甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；
乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.
经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？
[解] 甲的平均成绩和方差如下：
eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,8)(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,8)[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.
乙的平均成绩和方差如下：
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,8)(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,8)[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.
显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．
在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m方可获得冠军，应派乙参赛．
数据分析的要点
(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．
(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．
1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．
1．判断正误
(1)计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重．( )
(2)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.( )
(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．( )
[提示] (1)正确．
(2)正确．
(3)错误．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )
A．8 B．15 C．16 D．32
C [已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为eq \r(22×64)＝2×8＝16，故选C.]
3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
其中eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3 B．2 C．2.6 D．2.5
C [由题意可知两个班的数学成绩平均数为eq \x\t(x)＝eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，则两个班数学成绩的方差为
s2＝eq \f(20,20＋30)[2＋(eq \x\t(x)甲－eq \x\t(x))2]＋eq \f(30,20＋30)[3＋(eq \x\t(x)乙－eq \x\t(x))2]＝eq \f(20,20＋30)×2＋eq \f(30,20＋30)×3＝2.6.]
4．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：
74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.
(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；
(2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．
[解] (1)这10个学生体重数据的平均数为eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，∴这10个学生体重数据的中位数为eq \f(71＋72,2)＝71.5.
这10个学生体重数据的方差为s2＝eq \f(1,10)×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，
这10个学生体重数据的标准差为s＝eq \r(s2)＝eq \r(11).
(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为eq \r(11).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．(重点)
2．理解离散程度参数的统计含义．(重点、难点).
1.通过对标准差、方差、极差概念的学习，培养学生数学抽象素养．
2．通过利用标准差、方差、极差估计总体的离散程度，培养学生数据分析素养.
方差和标准差的计算
分层随机抽样的方差
数据的数字特征的综合应用
分数
50
60
70
80
90
100
人
数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
eq \x\t(x)甲
2
乙
30
eq \x\t(x)乙
3
1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为.
2．总体方差和标准差
(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为eq \x\t(Y)，则称S2＝为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差．
(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，
则总体方差为S2＝.
3．样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \x\t(y)，
则称s2＝为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差．
4．标准差的意义
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
5．分层随机抽样的方差
设样本容量为n，平均数为eq \x\t(x)，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))1，eq \(x,\s\up6(－))2，方差分别为seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，则这个样本的方差为
s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]．
思考1：甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是eq \f(80＋82,2)＝81分吗？方差是eq \f(2＋4,2)＝3吗？为什么？
[提示] 不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．
思考2：数据x1，x2，…，xn的平均数是eq \(x,\s\up6(－))，方差为s2，数据x1，x2，…，xn，eq \(x,\s\up6(－))的方差为seq \\al(2,1)，那么s2与seq \\al(2,1)的大小关系如何？
[提示] 因为数据x1，x2，…，xn，eq \(x,\s\up6(－))比数据x1，x2，…，xn更加相对集中，所以方差变小了，即seq \\al(2,1)＜s2.
1．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有( )
图1 图2 图3
A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3
C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1
D [所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.]
2．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
B [∵样本容量n＝5，∴eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s＝
eq \r(\f(1,5)[1－32＋2－32＋3－32＋4－32＋5－32])＝eq \r(2).]
3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，
则：(1)平均命中环数为 ；
(2)命中环数的标准差为 ．
(1)7 (2)2 [(1)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.
(2)∵s2＝eq \f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]
【例1】 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
[解] (1)eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]
＝eq \f(7,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]
＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq \\al(2,甲)＞seq \\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
标准差、方差的意义
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
1．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))A和eq \(x,\s\up6(－))B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A.eq \(x,\s\up6(－))A>eq \(x,\s\up6(－))B，sA>sB B.eq \(x,\s\up6(－))A
C.eq \(x,\s\up6(－))A>eq \(x,\s\up6(－))B，sA
eq \(x,\s\up6(－))B＝eq \f(1,6)(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝eq \f(35,3)≈11.67.
seq \\al(2,A)＝eq \f(1,6)[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，
seq \\al(2,B)＝eq \f(1,6)eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(15－11.672＋10－11.672＋12.5－11.672))
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(＋10－11.672＋12.5－11.672＋10－11.672))≈3.47.
故eq \(x,\s\up6(－))A＜eq \(x,\s\up6(－))B，sA＞sB.]
【例2】 甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
[解] 由题意可知eq \(x,\s\up6(－))甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为eq \f(1,1＋4)＝eq \f(1,5)，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为eq \f(4,1＋4)＝eq \f(4,5)，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×60＋eq \f(4,5)×70＝68 kg，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝eq \f(1,5)[200＋(60－68)2]＋eq \f(4,5)[300＋(70－68)2]＝296.
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定eq \x\t(x)1，eq \x\t(x)2，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，
(2)确定eq \x\t(x)；
(3)应用公式s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \x\t(x)1－eq \x\t(x))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \x\t(x)2－eq \x\t(x))2]．计算s2.
2．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10, 8，则二线城市的房价的方差为 ．
118．52 [设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20＝eq \f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋eq \f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋eq \f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，
解答s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.]
[探究问题]
1．对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？
[提示] 平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度．
2．对比两组数据时，要从哪几个方面进行？
[提示] 从众数、中位数、平均数和方差等几个方面．
【例3】 在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：
请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
[思路探究] 分别求出这两组数据的众数、中位数、平均数和方差，从这几个方面进行统计分析．
[解] (1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)
＝eq \f(1,50)×4 000＝80，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)
＝eq \f(1,50)×4 000＝80.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，seq \\al(2,甲)
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．
某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：
甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；
乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.
经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？
[解] 甲的平均成绩和方差如下：
eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,8)(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,8)[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.
乙的平均成绩和方差如下：
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,8)(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,8)[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.
显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．
在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m方可获得冠军，应派乙参赛．
数据分析的要点
(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．
(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．
1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．
1．判断正误
(1)计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重．( )
(2)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.( )
(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．( )
[提示] (1)正确．
(2)正确．
(3)错误．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )
A．8 B．15 C．16 D．32
C [已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为eq \r(22×64)＝2×8＝16，故选C.]
3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
其中eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3 B．2 C．2.6 D．2.5
C [由题意可知两个班的数学成绩平均数为eq \x\t(x)＝eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，则两个班数学成绩的方差为
s2＝eq \f(20,20＋30)[2＋(eq \x\t(x)甲－eq \x\t(x))2]＋eq \f(30,20＋30)[3＋(eq \x\t(x)乙－eq \x\t(x))2]＝eq \f(20,20＋30)×2＋eq \f(30,20＋30)×3＝2.6.]
4．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：
74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.
(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；
(2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．
[解] (1)这10个学生体重数据的平均数为eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，∴这10个学生体重数据的中位数为eq \f(71＋72,2)＝71.5.
这10个学生体重数据的方差为s2＝eq \f(1,10)×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，
这10个学生体重数据的标准差为s＝eq \r(s2)＝eq \r(11).
(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为eq \r(11).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．(重点)
2．理解离散程度参数的统计含义．(重点、难点).
1.通过对标准差、方差、极差概念的学习，培养学生数学抽象素养．
2．通过利用标准差、方差、极差估计总体的离散程度，培养学生数据分析素养.
方差和标准差的计算
分层随机抽样的方差
数据的数字特征的综合应用
分数
50
60
70
80
90
100
人
数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
eq \x\t(x)甲
2
乙
30
eq \x\t(x)乙
3
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