2021学年第二十八章 锐角三角函数综合与测试同步测试题

这是一份2021学年第二十八章 锐角三角函数综合与测试同步测试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学·人教版·九年级下册——本章检测
本章检测
满分:100分,限时:60分钟
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2021独家原创试题)在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,且a∶b∶c=1∶2∶3,下列结论不正确的是 (　　)
A.sin A=33　　　　B.cos A=63
C.tan A=22　　　　D.∠B=60°
2.(2019山东威海中考)如图28-3-1,一个人从山脚下的A点出发,沿山坡小路AB走到山顶B点处.已知坡角为20°,山高BC=2千米.用科学计算器计算小路AB的长度,下列按键顺序正确的是 (　　)

图28-3-1
A.2 ÷ sin 2 0 =　　　　B.2 × sin 2 0 =
C.2 ÷ cos 2 0 =　　　　D.2 × tan 2 0 =
3.(2021独家原创试题)如图28-3-2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形,其面积分别为S1,S2,S3,且S3=4S1,则tan∠BAC的值为 (　　)

图28-3-2
A.33　　　　B.13
C.12　　　　D.1
4.(2021河南焦作沁阳模拟)若规定sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β,则sin 15°= (　　)
A.2-12　　　　B.2-64
C.3-12　　　　D.6-24
5.(2020北京朝阳一模)如图28-3-3,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,CD=4,tan C=12,则AB的长为 (　　)

图28-3-3
A.2.5　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.10
6.(2021陕西西安碑林模拟)如图28-3-4,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,过点A、C分别作相距为3的平行线段AE、CF,分别交CD、AB于点E、F,则tan∠DAE的值是　 (　　)

图28-3-4
A.247　　　　B.725　　　　C.724　　　　D.78
7.(2021山东济南长清二模)如图28-3-5,某通信公司在一个坡度为2∶1的山腰上建了一座垂直于水平面的5 G信号通信塔AB,在距山脚C处一定距离的点D处测得通信塔塔底B处的仰角是30°,通信塔塔顶A处的仰角是45°.已知C与B的水平距离CE为10 m,则通信塔的高度AB为(结果保留整数,参考数据:2≈1.4,3≈1.7) (　　)

图28-3-5
A.17 m　　　　B.16 m　　　　C.12 m　　　　D.14 m
8.(2021山东泰安新泰模拟)已知B港口位于A观测点北偏东45°方向上,且其到A观测点正北方向的距离BM为102 km,一艘货轮从B港口出发沿如图28-3-6所示的BC方向航行47 km到达C处,测得C处位于A观测点北偏东75°方向,则此时货轮与A观测点之间的距离AC为　　　　km. (　　) 

图28-3-6
A.83　　　　B.93
C.63　　　　D.73
9.(2020广西贵港港南期末)在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,则cos A的值等于 (　　)
A.45　　　　B.74
C.45或74　　　　D.45或277
10.(2020浙江宁波模拟)如图28-3-7,在一块矩形区域ABCD内,正好划出5个全等的矩形停车位,其中EF=a m,FG=b m,∠AEF=30°,则AD等于 (　　)

图28-3-7
A.12a+1936bm　　　　B.12a+833bm
C.a+1936bm　　　　D.a+833bm
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2021山东德州齐河期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=17,BC=8,则sin B=　　　　. 
12.(2021独家原创试题)在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,且锐角A,B满足tan A=cosB-12+12-cosB+33,则a∶b∶c=　　　　. 
13.(2021独家原创试题)如图28-3-8,在四边形ABCD中,∠A为锐角,BD是一条对角线,且BD⊥CD,AB=4,CD=8,sin A=32,cos C=255,则四边形ABCD的面积为　　　　. 

图28-3-8

14.(2020江苏常州中考)如图28-3-9,点C在线段AB上,且AC=2BC,分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG,连接EC,EG,则tan∠CEG=　　　　. 

图28-3-9

15.(2021湖北荆州中考)图28-3-10是一台手机支架的侧面示意图,AB,BC可分别绕点A,B转动,测量知BC=8 cm,AB=16 cm.当AB,BC转动到∠BAE=60°,∠ABC=50°时,点C到AE的距离为　　　　cm.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 70°≈0.94,3≈1.73) 

图28-3-10

16.(2021浙江杭州萧山二模)如图28-3-11,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得古塔的塔顶B的仰角为45°,然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP攀行了26 m,在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为71.6°,且AC平行于地面OP,则古塔BC的高度为　　　　m(精确到1 m).(参考数据:sin 71.6°≈0.95,cos 71.6°≈0.32,tan 71.6°≈3.0) 

图28-3-11

17.(2018山东泰安中考)如图28-3-12,在△ABC中,AC=6,BC=10,tan C=34,点D是AC边上的动点(不与点C重合),过D作DE⊥BC,垂足为E,点F是BD的中点,连接EF,设CD=x,△DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为　　　　　　. 

图28-3-12
18.(2020湖北襄阳中考)如图28-3-13,矩形ABCD中,E为边AB上一点,将△ADE沿DE折叠,使点A的对应点F恰好落在边BC上,连接AF交DE于点N,连接BN.若BF·AD=15,tan∠BNF=52,则矩形ABCD的面积为　　　　. 

图28-3-13

三、解答题(共46分)
19.(6分)计算:
(1)(2020广东深圳福田模拟)4sin 30°-2cos 45°-3tan 30°+2sin 60°;
(2)(2021湖南株洲攸县期末)cos 60°-2sin245°+32tan230°-sin 30°.






20.(6分)如图28-3-14,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三个三角函数值.

图28-3-14




21.(2021浙江杭州西湖二模)(8分)如图28-3-15,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,sin∠ABC=13,D是边AB上一点,且CD=CA,BE⊥CD,交CD的延长线于点E.
(1)求∠EBD的正弦值;
(2)求AD的长.

图28-3-15




22.(2021山东济南莱芜三模)(8分)如图28-3-16,在数学综合实践活动课上,两名同学要测量小河对岸大树BC的高度,甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°,乙同学从A点出发沿斜坡走65 m到达斜坡上点D,在此处测得大树顶端B的仰角为26.7°,且斜坡AF的坡度为1∶2.
(1)求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度;
(2)依据他们测量的数据求出大树BC的高度.
(参考数据:sin 26.7°≈0.45,cos 26.7°≈0.89,tan 26.7°≈0.50)

图28-3-16








23.(2021江苏南京玄武二模)(8分)如图28-3-17,某海域有两个海岛A,B,海岛B位于海岛A的正南方向,这两个海岛之间有暗礁,灯塔C位于海岛A的南偏东47.5°方向,海岛B的北偏东70°方向,一艘海轮从海岛B出发,沿正南方向航行32海里到达D处,测得灯塔C在北偏东37°方向上.求海岛A,B之间的距离.
(参考数据:tan 37°≈0.75,tan 47.5°≈1.09,tan 70°≈2.75)

图28-3-17




24.(2020贵州贵阳中考)(10分)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.图28-3-18①是政府给贫困户新建的房屋,图28-3-18②是房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高AB所在的直线,为了测量房屋的高度,在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°,此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线,继续向房屋方向走8 m到达点D,又测得屋檐E点的仰角为60°,房屋的顶层横梁EF=12 m,EF∥CB,AB交EF于点G(点C,D,B在同一水平线上).(参考数据:sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,3≈1.7)
(1)求屋顶到横梁的距离AG;
(2)求房屋的高AB(结果精确到1 m).

图28-3-18






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一、选择题　
1.答案　D　∵a∶b∶c=1∶2∶3,∴a2∶b2∶c2=1∶2∶3,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°.∵sin A=ac=13=33,∴A正确;∵cos A=bc=23=63,∴B正确;∵tan A=ab=12=22,∴C正确;∵sin 30°=12≠33,∴∠A≠30°,∴∠B≠60°.故选D.
2.答案　A　∵在Rt△ABC中,sin A=sin 20°=BCAB,
∴AB=BCsin20°=2sin20°(千米),
∴按键顺序为2 ÷ sin 2 0 = .
故选A.
3.答案　A　∵∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,∴S1+S2=S3.∵S3=4S1,∴S2=3S1,∴BC2AC2=13,∴tan∠BAC=BCAC=13=33.故选A.
4.答案　D　由题意得sin 15°=sin(45°-30°)
=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=22×32-22×12=6-24.故选D.
5.答案　C　∵AB⊥CD,CD=4,∴CE=DE=2,
∵∠B=∠C,tan C=AECE=12,∴tan B=12,AE=CE·tan C=2×12=1,∴BE=DEtanB=2×2=4,
∴AB=AE+BE=1+4=5.故选C.
6.答案　C　如图,作FH⊥AE于H,则FH=3=AD.∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAH=∠AED,∵∠ADE=∠AHF=90°,∴△ADE≌△FHA(AAS),∴AF=AE.∵AE∥CF,AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形,∴四边形AECF是菱形.设DE=x,则CE=AE=4-x,在Rt△ADE中,(4-x)2=x2+32,∴x=78,∴DE=78,∴tan∠DAE=DEAD=783=724.故选C.

7.答案　D　由题意知AE⊥CE,∠BDC=30°,∠ADE=45°,∵BC的坡度为2∶1,CE=10 m,∴BE=20 m.在Rt△BDE中,tan∠BDE=tan 30°=BEDE=33,∴DE=3BE=203(m).在Rt△ADE中,∵∠ADE=45°,∴AE=DE=203≈20×1.7=34(m),则AB=AE-BE=34-20=14(m).故选D.
8.答案　A　如图,作BD⊥AC,交AC的延长线于D.∵∠MAB=45°,BM=102 km,∴AB=BMsin45°=20(km).在Rt△ADB中,∠BAD=∠MAC-∠MAB=75°-45°=30°,∴BD=12AB=10 km,AD=103 km.在Rt△BCD中,BD2+CD2=BC2,BC=47 km,∴CD=23(km),∴AC=AD-CD=103-23=83(km),即货轮与A观测点之间的距离AC为83 km.故选A.

9.答案　C　存在两种情况:①当AB为斜边时,∠C=90°,∵AC=8,BC=6,∴AB=AC2+BC2=82+62=10.∴cos A=ACAB=810=45.②当AC为斜边时,∠B=90°,∵AC=8,BC=6,∴AB=AC2-BC2=82-62=27,∴cos A=ABAC=278=74.综上所述,cos A的值等于45或74.故选C.
10.答案　A　如图,∵EF=a m,∠A=90°,∠AEF=30°,
∴AF=12EF=12a(m),∠AFE=60°.
∵∠EFG=90°,∴∠MFG=30°,易知PQ=NP=MN=FM=FGcos30°=b32=233b(m),DQ=QK·cos 30°=32b(m),
∴AD=AF+4FM+DQ=12a+4×233b+32b=12a+1936bm.故选A.

二、填空题　
11.答案　1517
解析　在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=17,BC=8,∴AC=AB2-BC2=172-82=15,∴sin B=ACAB=1517.
12.答案　1∶3∶2
解析　∵cos B-12≥0,且12-cos B≥0,∴cos B=12,∴∠B=60°.∴tan A=33,∴∠A=30°,∴△ABC是直角三角形.∵∠A=30°,∴sin A=ac=12,即c=2a;tan A=ab=33,即b=3a,∴a∶b∶c=a∶3a∶2a=1∶3∶2.
13.答案　43+16
解析　如图,作BE⊥AD于E.在Rt△BCD中,∵CD=8,cos C=255,∴BC=CDcosC=8255=45,由勾股定理得BD=BC2-CD2=(45)2-82=4.∵sin A=32,∴∠A=60°,又∵AB=4=BD,∴△ABD是等边三角形,∴AD=AB=4.在Rt△ABE中,BE=AB·sin A=4×32=23.∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=12×23×4+12×4×8=43+16.

14.答案　12
解析　如图,连接CG,由正方形的性质易得,△ACE和△BCG都是等腰直角三角形,∴△ACE∽△BCG,∴CGCE=BCAC.∵AC=2BC,∴CGCE=12.∵∠DCE=∠FCG=45°,∴∠ECG=90°.∴在Rt△CEG中,tan∠CEG=CGCE=12.

15.答案　6.3
解析　如图,作BM⊥AE于点M,CN⊥AE于点N,作CD⊥BM于点D.在Rt△ABM中,∵∠BAM=60°,AB=16 cm,∴BM=sin 60°·AB=32×16=83(cm),∠ABM=90°-60°=30°.∵∠DBC=∠ABC-∠ABM=50°-30°=20°,∴在Rt△BCD中,∠BCD=90°-20°=70°.又∵BC=8 cm,∴BD=sin 70°×8≈0.94×8=7.52(cm),∴CN=DM=BM-BD=83-7.52≈6.3(cm),即点C到AE的距离约为6.3 cm.

16.答案　21
解析　过点A作AH⊥PO,垂足为点H,延长BC交PO于点D,∵斜坡AP的坡度为1∶2.4,∴AHPH=512,设AH=5k米,则PH=12k米,由勾股定理,得AP=13k米,∴13k=26,解得k=2,∴AH=10米,PH=24米.∵BC⊥AC,AC∥PO,∴BD⊥PO,∴四边形AHDC是矩形,CD=AH=10米,AC=DH.∵∠BPD=45°,∴PD=BD,设BC=x米,则x+10=24+DH,∴AC=DH=(x-14)米,在Rt△ABC中,tan 71.6°=BCAC,即xx-14=tan 71.6°,解得x≈21,即古塔BC的高度约为21米.

17.答案　S=-325x2+32x
解析　在Rt△CDE中,tan C=DECE=34,
设DE=3a,EC=4a(a>0),
则DC=5a=x,∴a=x5,
∴DE=35x,EC=45x,∴BE=10-45x.
∵点F是BD的中点,
∴△DEF的面积为△DEB的面积的一半,
因此S=12BE·DE·12=1210-45x·35x·12=-325x2+32x,
故S=-325x2+32x.
18.答案　155
解析　由折叠的性质可得AE=EF,AD=DF,AN=NF,∠EAN=∠EFN,∴∠BEF=2∠EAN.在Rt△ABF中,∵AN=NF,∴BN=AN=NF,∴∠EAN=∠EBN,∠BNF=2∠EAN,∴∠BEF=∠BNF.∵tan∠BNF=52,∴tan∠BEF=52,∴BFBE=52,设BF=5k(k>0),则BE=2k,∴AE=EF=BF2+BE2=3k,∴AB=CD=5k.由折叠的性质可得∠EFD=∠EAD=90°,∴∠BFE+∠CFD=90°,又∵∠BEF+∠BFE=90°,∴∠CFD=∠BEF.∴在Rt△CFD中,tan∠CFD=CDCF=52,∴CF=25k,∴AD=BC=35k.∵BF·AD=15,∴5k·35k=15,解得k=1(舍去负值),∴AB=5,BC=35,∴矩形ABCD的面积=AB·BC=5×35=155.

三、解答题　
19.解析　(1)原式=4×12-2×22-3×33+2×32
=2-1-1+3
=3.
(2)原式=12-2×222+32×332-12
=12-2×12+32×13-12
=12-1+12-12
=-12.
20.解析　在Rt△BCD中,
∵CD=3,BD=5,∴BC=BD2-CD2=52-32=4,
又AC=AD+CD=8,
∴AB=AC2+BC2=82+42=45,
则sin A=BCAB=445=55,cos A=ACAB=845=255,tan A=BCAC=48=12.
21.解析　(1)∵AC=CD,
∴∠CAD=∠ADC=∠EDB.
又∵∠EDB+∠EBD=90°,∠CAD+∠ABC=90°,
∴∠EBD=∠ABC.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,sin∠ABC=13,
∴AB=ACsin∠ABC=313=9,BC=AB2-AC2=92-32=62,
∴tan∠EBD=tan∠ABC=ACBC=362=24.
(2)如图,作CF⊥AB于点F,
在Rt△ACB中,cos∠CAB=ACAB=39=13,
∴在Rt△AFC中,cos∠CAF=13=AFAC=AF3,
∴AF=1.
又∵CD=CA,CF⊥AD,
∴AD=2AF=2.

22.解析　(1)如图,作DH⊥AE于H.
∵斜坡AF的坡度为1∶2,
∴在Rt△ADH中,DHAH=12,
∴AH=2DH.
∵AH2+DH2=AD2,
∴(2DH)2+DH2=(65)2,
∴DH=6 m.
答:乙同学从点A到点D的过程中,他上升的高度为6 m.
(2)如图,过点D作DG⊥BC于点G,设BC=x(m),
在Rt△ABC中,∠BAC=45°,
∴AC=BC=x,
由(1)得AH=2DH=12,
在矩形DGCH中,DH=CG=6,DG=CH=AH+AC=x+12,
在Rt△BDG中,BG=BC-CG=BC-DH=x-6,
∵tan∠BDG=BGDG,
∴x-6x+12≈0.5,解得x≈24,
即BC=24 m.
答:大树的高度约为24米.

23.解析　如图,作CE⊥AD于E,
在Rt△DEC中,∠CDE=37°,
∵tan∠CDE=tan 37°=CEDE,
∴DE=CEtan37°≈CE0.75.
在Rt△BCE中,∠CBE=70°,
∵tan∠CBE=tan 70°=CEBE,
∴BE=CEtan70°≈CE2.75.
∵BD=DE-BE,
∴CE0.75-CE2.75=32,
解得CE=33,
∴BE=332.75=12.
在Rt△ACE中,∠CAE=47.5°,
∵tan∠CAE=tan 47.5°=CEAE,
∴AE=CEtan47.5°≈331.09≈30,
∴AB=AE+BE=30+12=42(海里).
答:海岛A,B之间的距离约为42海里.

24.解析　(1)∵房屋的侧面示意图是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高AB所在的直线,EF∥BC,
∴AG⊥EF,EG=12EF,∠AEG=∠ACB=35°.
在Rt△AGE中,∠AGE=90°,∠AEG=35°,
tan∠AEG=AGEG,EG=6,∴tan 35°=AG6,
∴AG≈6×0.7=4.2(m).
答:屋顶到横梁的距离AG为4.2 m.
(2)如图,过E作EH⊥CB于H,
设EH=x(m),
在Rt△EDH中,∠EHD=90°,∠EDH=60°,
tan∠EDH=EHDH,
∴DH=xtan60°.
在Rt△ECH中,∠EHC=90°,∠ECH=35°,
tan∠ECH=EHCH,
∴CH=xtan35°.
∵CH-DH=CD=8,
∴xtan35°-xtan60°=8,
解得x≈9.52,∴BG=EH=9.52,
∴AB=AG+BG=13.72≈14(m).
答:房屋的高AB为14 m.