高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第1课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第1课时学案设计，共12页。学案主要包含了抛物线的几何性质，抛物线的几何性质的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握抛物线的几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
导语
在上一节中，我们已经学习了抛物线的定义及其标准方程，这一节我们利用方程研究抛物线的几何性质．
一、抛物线的几何性质
问题1 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，
你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？
提示 1.范围
当x>0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
2．对称性
观察图象，不难发现，抛物线 y2 ＝ 2px (p＞0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴.
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0,0)．
4．离心率
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e表示，e＝1.
知识梳理
注意点：
只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
解 椭圆的方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1 边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),3)x
C．y2＝±eq \f(\r(3),6)x D．y2＝±eq \f(\r(3),3)x
答案 C
解析 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，
则有eq \f(1,4)＝±eq \f(\r(3),2)a，
解得a＝±eq \f(\r(3),6)，
所以抛物线方程为y2＝±eq \f(\r(3),6)x.
二、抛物线的几何性质的应用
例2 (1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．
解 如图所示，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2.
又|OA|＝|OB|，
所以xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)，
即xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称，
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝eq \f(\r(3),3)x1，与yeq \\al(2,1)＝2px1联立，
解得y1＝2eq \r(3)p.
所以|AB|＝2y1＝4eq \r(3)p，
即这个三角形的边长为4eq \r(3)p.
(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
解 如图，设点A(x0，y0)，
由题意可知点B(x0，－y0)，
∵Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))是△AOB的垂心，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即eq \f(y0,x0－\f(p,2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y0,x0)))＝－1.
∴yeq \\al(2,0)＝x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(p,2)))，
又∵yeq \\al(2,0)＝2px0，
∴x0＝2p＋eq \f(p,2)＝eq \f(5p,2).
∴直线AB的方程为x＝eq \f(5p,2).
反思感悟 利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
(4)焦点弦：解决焦点弦问题．
跟踪训练2 (1)(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0,2)，使得eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝0，则p的值可以为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 AD
解析 由题意可得，以MF为直径的圆过点(0,2)，
设点M(x，y)，由抛物线定义知|MF|＝x＋eq \f(p,2)＝5，可得x＝5－eq \f(p,2).
因为圆心是MF的中点，
所以根据中点坐标公式可得，
圆心横坐标为eq \f(5－\f(p,2)＋\f(p,2),2)＝eq \f(5,2)，
由已知可知圆半径也为eq \f(5,2)，
据此可知该圆与y轴相切于点A(0,2)，
故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)，4))，
代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，
所以p＝2或p＝8.
(2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．
答案 4eq \r(3)
解析 由抛物线方程可知F(1,0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，
在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，
由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝eq \r(3)(x0－1)，
所以点A的坐标为(x0，eq \r(3)(x0－1))，将此代入抛物线方程可得3xeq \\al(2,0)－10x0＋3＝0，
解得x0＝3或x0＝eq \f(1,3)(舍)，
所以点A的坐标为(3,2eq \r(3))，
故S△AKF＝eq \f(1,2)×(3＋1)×2eq \r(3)＝4eq \r(3).
1．知识清单：
(1)抛物线的几何性质．
(2)抛物线的几何性质的应用．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误．
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0,1)
B．开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0))
答案 B
解析 由抛物线y＝4x2，
得抛物线标准式为eq \f(y,4)＝x2，2p＝eq \f(1,4)，
故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16))).
2. (多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
答案 CD
解析 设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))
答案 B
解析 设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，所以x0＝eq \f(1,8)，所以yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,8)，所以y0＝±eq \f(\r(2),4).
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝________.
答案 0
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，
即y1＋y2＝0.
课时对点练
1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
答案 A
解析 由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，
抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，
则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
2．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )
A．y＝3x2或y＝－3x2 B．y＝3x2
C．y2＝－9x或y＝3x2 D．y＝－3x2或y2＝9x
答案 D
解析 圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，
所以p＝eq \f(9,2)或p＝eq \f(1,6)，所以y2＝9x或x2＝－eq \f(1,3)y.
3．若双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．4eq \r(2)
答案 C
解析 双曲线的方程可化为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,\f(p2,16))＝1，∴双曲线的左焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3＋\f(p2,16))，0)).
又∵抛物线的准线为x＝－eq \f(p,2)，由题意得－eq \r(3＋\f(p2,16))＝－eq \f(p,2)，解得p＝4.
4．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2eq \r(3)，则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 A
解析 由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2eq \r(3)，
则P(3，±2eq \r(3))，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 A
解析 曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9，
其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，
又抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，
∴由抛物线的准线与圆相切得2＋eq \f(p,2)＝3，解得p＝2.
6．(多选)点M(1,1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，则a的值可以为( )
A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,12) C.eq \f(1,12) D．－eq \f(1,4)
答案 AB
解析 抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－eq \f(1,4a)，
因为点M(1,1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4a)))＝2，解得a＝eq \f(1,4)或a＝－eq \f(1,12).
7．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为________．
答案 －eq \f(3,4)
解析 ∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，
∴eq \f(p,2)＝2，∴p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)．
又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝eq \f(0－3,2＋2)＝－eq \f(3,4).
8．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝________.
答案 6
解析 如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，
∵M为FN的中点，|MM′|＝1，
∴M到准线距离d＝|MM′|＋eq \f(p,2)＝3，
∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq \r(17)，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
设A(x0，y0)，由题意知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2))).
因为|AF|＝3，所以y0＋eq \f(p,2)＝3，
因为|AM|＝eq \r(17)，所以xeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(p,2)))2＝17，
所以xeq \\al(2,0)＝8，代入方程xeq \\al(2,0)＝2py0得，
8＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．
解 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
则其准线方程为x＝－eq \f(p,2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|＋|BF|＝8，
∴x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝8，即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，
∴|QA|＝|QB|，
即eq \r(6－x12＋－y12)＝eq \r(6－x22＋－y22)，
又yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
11．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2eq \r(2)) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2eq \r(2))
答案 B
解析 由题意知F(1,0)，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，则eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y\\al(2,0),4)，－y0))，由eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)．
12．已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|＝2，∠PFO＝eq \f(π,3)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝2x
C．y2＝x D．y2＝4x
答案 A
解析 过P向x轴作垂线，设垂足为Q，
∵∠PFO＝eq \f(π,3)，|PF|＝2，
∴|PQ|＝eq \r(3)，|QF|＝1，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－1，±\r(3)))，
将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程为y2＝6x.
13．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为4eq \r(3)，则抛物线方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝eq \f(15,2)x
答案 B
解析 设M(x1，y1)，
则由|MF|＝4|OF|得x1＋eq \f(p,2)＝4×eq \f(p,2)，
即x1＝eq \f(3,2)p，则yeq \\al(2,1)＝3p2，
则|y1|＝eq \r(3)p，则S△OMF＝eq \f(1,2)×eq \f(p,2)×eq \r(3)p＝4eq \r(3)，解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.
14．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.
答案 6
解析 抛物线的焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，准线方程为y＝－eq \f(p,2).
将y＝－eq \f(p,2)代入eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1得|x|＝eq \r(3＋\f(p2,4)).要使△ABF为等边三角形，则tan eq \f(π,6)＝eq \f(|x|,p)＝eq \f(\r(3＋\f(p2,4)),p)＝eq \f(\r(3),3)，解得p2＝36，p＝6.
15．如图，已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
答案 eq \f(5,2)eq \r(2)－1
解析 抛物线的准线方程是x＝－1，
又根据抛物线的几何性质知，
抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，
所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是点F到直线x－y＋4＝0的距离，
又点F到直线的距离d＝eq \f(|1－0＋4|,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2)，
所以|PA|＋|PB|的最小值是eq \f(5,2)eq \r(2)－1.
16．已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
解 (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，
则|OF|＝eq \f(2,3)|OM|.
因为F(2,0)，
所以|OM|＝eq \f(3,2)|OF|＝3，
所以M(3,0)．
故设A(3，m)，
代入y2＝8x得m2＝24，
所以m＝2eq \r(6)或m＝－2eq \r(6)，
所以A(3,2eq \r(6))，B(3，－2eq \r(6))，
所以|OA|＝|OB|＝eq \r(33)，
所以△OAB的周长为2eq \r(33)＋4eq \r(6).图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1