高中人教A版 (2019)3.2 双曲线第2课时学案

这是一份高中人教A版 (2019)3.2 双曲线第2课时学案，共12页。学案主要包含了双曲线定义的应用，直线与双曲线的位置关系，弦长公式及中点弦问题等内容，欢迎下载使用。

导语
上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题．
一、双曲线定义的应用
问题1 思考双曲线例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？
提示 当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值大于1时，点M的轨迹是双曲线．
知识梳理
双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝eq \f(c,a)(e>1)时，这个点的轨迹是双曲线．
二、直线与双曲线的位置关系
问题2 类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？
提示 有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况．
知识梳理
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注意点：
直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
例1 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围．
解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3k2>0，,1－k2≠0，))得－eq \f(2\r(3),3)此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点．
延伸探究 若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围．
解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3k2＝0，,1－k2≠0，))得k＝±eq \f(2\r(3),3)，
此时方程(*)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，
故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，
有且只有一个公共点．
故当k＝±eq \f(2\r(3),3)或±1时，
直线l与双曲线有且只有一个公共点．
反思感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
跟踪训练1 已知双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
解 (ⅰ)当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意．
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0时，k＝±2，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝eq \f(5,2).
综上，k＝eq \f(5,2)或k＝±2或k不存在．
三、弦长公式及中点弦问题
例2 已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为( )
A．3eq \r(2) B．4eq \r(2) C．6 D．6eq \r(2)
答案 D
解析 双曲线C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，则c2＝4，
∴右焦点为F(2,0)，
根据题意易得过F的直线斜率存在，
设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,x2－y2＝2，))
化简得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，
∴xA＋xB＝eq \f(－4k2,1－k2)，xAxB＝eq \f(－4k2－2,1－k2).
∵线段AB中点的横坐标为4，
∴xA＋xB＝eq \f(－4k2,1－k2)＝8，
解得k2＝2，∴xAxB＝eq \f(－4k2－2,1－k2)＝10，
则(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB＝82－4×10＝24，
则|AB|＝eq \r(1＋k2xA－xB2)＝eq \r(3×24)＝6eq \r(2).
反思感悟 双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围．
跟踪训练2 已知双曲线的方程为x2－eq \f(y2,2)＝1.试问：双曲线上是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
解 方法一 设被点B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－eq \f(y2,2)＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，
解得k设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(2kk－1,k2－2).
∵点B(1,1)是弦的中点，
∴eq \f(kk－1,k2－2)＝1，∴k＝2>eq \f(3,2).
故双曲线上不存在被点B(1,1)所平分的弦．
方法二 设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)－\f(y\\al(2,1),2)＝1，①,x\\al(2,2)－\f(y\\al(2,2),2)＝1，②))
由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－eq \f(1,2)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴kMN＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2，
∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y，得2x2－4x＋3＝0.
又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交，
故双曲线上不存在被点B平分的弦．
1．知识清单：
(1)双曲线的第二定义．
(2)判断直线与双曲线交点个数．
(3)弦长公式．
2．方法归纳：定义法，数形结合．
3．常见误区：
直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的位置关系．代数计算中的运算失误．
1．直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的交点个数是( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
答案 A
解析 由题意，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
可得其渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
因为直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线的一条渐近线y＝eq \f(b,a)x平行，
所以它与双曲线只有1个交点．
2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2,2) B．[－2,2) C．(－2,2] D．[－2,2]
答案 A
解析 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ>0可得－23．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( )
A．(1,2) B．(－2，－1)
C．(－1，－2) D．(2,1)
答案 C
解析 将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，
由此可得弦的中点的横坐标为eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(－2,2)＝－1，纵坐标为－1－1＝－2.
4．过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 4eq \r(3)
解析 由双曲线方程可得右焦点为(2,0)，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2eq \r(3)，故|AB|＝4eq \r(3).
课时对点练
1．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点．
2．若直线x＝a与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1有两个交点，则a的值可以是( )
A．4 B．2 C．1 D．－2
答案 A
解析 因为在双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1中，x≥2或x≤－2，
所以若x＝a与双曲线有两个交点，
则a>2或a<－2，故只有A符合题意．
3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \r(3)x D．y＝±2x
答案 C
解析 设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝eq \f(y,x－a)·eq \f(y,x＋a)＝eq \f(y2,x2－a2)＝eq \f(y2,\f(a2y2,b2))＝eq \f(b2,a2)＝3，
所以其渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，故选C.
4．设点F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2eq \r(6)，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±eq \r(2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x
答案 D
解析 设F1(－c,0)，A(－c，y0)，
则eq \f(c2,a2)－eq \f(y\\al(2,0),2)＝1，∴eq \f(y\\al(2,0),2)＝eq \f(c2,a2)－1＝eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,a2)，
∴yeq \\al(2,0)＝eq \f(4,a2)，
∴|AB|＝2|y0|＝eq \f(4,a).
又＝2eq \r(6)，
∴eq \f(1,2)·2c· |AB|＝eq \f(1,2)·2c·eq \f(4,a)＝eq \f(4c,a)＝2eq \r(6)，∴eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),2)，
∴eq \f(b,a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \f(\r(2),2).
∴该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x.
5．(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,m)＝1过点(3，eq \r(2))，则下列结论正确的是( )
A．C的焦距为4
B．C的离心率为eq \r(3)
C．C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x
D．直线2x－eq \r(3)y－1＝0与C有两个公共点
答案 AC
解析 由双曲线C：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,m)＝1过点(3，eq \r(2))，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.所以a＝eq \r(3)，b＝1，c＝eq \r(a2＋b2)＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；
因为双曲线C的离心率为eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，所以选项B不正确；
因为双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，所以选项C正确；
将直线2x－eq \r(3)y－1＝0与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4))2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－eq \r(3)y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确．
6．已知双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝3eq \r(2)的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 C
解析 双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1，
过F1的直线l垂直于x轴时，|AB|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(6,\r(2))＝3eq \r(2)，
双曲线两个顶点的距离为2eq \r(2)，
∴满足|AB|＝3eq \r(2)的直线l有3条，
一条是通径所在的直线，另两条与右支相交．
7．过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的弦所在的直线方程是________．
答案 3x＋4y－5＝0
解析 易知所求直线的斜率存在，设为k，
则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，
代入eq \f(x2,4)－y2＝1，
消去y得关于x的一元二次方程
(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)，
∴－eq \f(24k2＋8k,1－4k2)＝6，
∴k＝－eq \f(3,4)(满足Δ>0)，
∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.
8．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
答案 2
解析 设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，
∴c＝|OB|＝2eq \r(2).
又∠AOB＝eq \f(π,4)，
∴eq \f(b,a)＝tan eq \f(π,4)＝1，即a＝b.
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
9．设A，B为双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1上的两点，线段AB的中点为M(1,2)．求：
(1)直线AB的方程；
(2)△OAB的面积(O为坐标原点)．
解 (1)显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2－k，,x2－\f(y2,2)＝1，))
消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(k2－k,2－k2)(2－k2≠0)，解得k＝1.
当k＝1时，满足Δ>0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
∴|AB|＝eq \r(2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(2)×eq \r(4＋12)＝4eq \r(2).
又点O到直线AB的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.
10．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
解 双曲线方程可化为x2－eq \f(y2,3)＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2(2,0)，
又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－eq \f(7,2)<0，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－eq \f(7,2)，
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(－22－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2))))＝6.
11．已知双曲线E的中心在原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
答案 B
解析 由已知条件易得直线l的斜率k＝eq \f(－15－0,－12－3)＝1，
设双曲线E的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \f(x\\al(2,1),a2)－eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，①
eq \f(x\\al(2,2),a2)－eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，②
x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，
由①②得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4b2,5a2)，从而eq \f(4b2,5a2)＝1，
又因为a2＋b2＝c2＝9，
故a2＝4，b2＝5，所以E的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
12．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,2)x B．y＝±eq \f(\r(2),2)x
C．y＝±x D．y＝±eq \r(2)x
答案 C
解析 设双曲线的半焦距为c，
则F(c,0)，将x＝c代入双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
得y＝±eq \f(b2,a)，不妨取Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，
又A1(－a,0)，A2(a,0)，
故＝eq \f(－\f(b2,a),c＋a)＝－eq \f(b2,aa＋c)，＝eq \f(\f(b2,a),c－a)＝eq \f(b2,ac－a).
因为A1B⊥A2C，
故－eq \f(b2,aa＋c)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(b2,ac－a)))＝－1，
即eq \f(b4,a2c2－a2)＝1，即eq \f(b4,a2b2)＝1，
所以a＝b，故渐近线方程是y＝±eq \f(b,a)x＝±x.
13．设双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
答案 eq \f(32,15)
解析 双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.不妨设直线FB的方程为y＝eq \f(4,3)(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
解得x＝eq \f(17,5)，y＝－eq \f(32,15)，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)，－\f(32,15))).
∴S△AFB＝eq \f(1,2)|AF||yB|＝eq \f(1,2)(c－a)·|yB|＝eq \f(1,2)×(5－3)×eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
14．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝eq \r(2)x，过其左焦点F(－eq \r(3)，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长|AB|＝____.
答案 10
解析 ∵双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝eq \r(2)x，
∴eq \f(b,a)＝eq \r(2)，即b＝eq \r(2)a，
∵左焦点F(－eq \r(3)，0)，∴c＝eq \r(3)，
∴c2＝a2＋b2＝3a2＝3，
∴a2＝1，b2＝2，
∴双曲线方程为x2－eq \f(y2,2)＝1，直线l的方程为y＝2(x＋eq \r(3))，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋\r(3)，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y可得x2＋4eq \r(3)x＋7＝0，
∴x1＋x2＝－4eq \r(3)，x1x2＝7，
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋4)×eq \r(48－28)＝eq \r(5)·eq \r(20)＝10.
15．已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
答案 D
解析 设△AF1F2的内切圆圆心为I1，
△BF1F2的内切圆圆心为I2，边|AF1|，|AF2|，|F1F2|上的切点分别为M，N，E，
易知I1，E的横坐标相等，
则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，
由|AF1|－|AF2|＝2a，即|AM|＋|MF1|－(|AN|＋|NF2|)＝2a，
得|MF1|－|NF2|＝2a，即|F1E|－|F2E|＝2a，
记I1的横坐标为x0，则E(x0，0)，于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a，
同理圆心I2的横坐标也为a，则有I1I2⊥x轴，
设直线l的倾斜角为θ，
则∠OF2I2＝eq \f(θ,2)，∠I1F2O＝90°－eq \f(θ,2)，
则tan eq \f(θ,2)＝eq \f(r2,|F2E|)，tan∠I1F2O＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－\f(θ,2)))＝eq \f(1,tan \f(θ,2))＝eq \f(r1,|F2E|)，
∵r1＝2r2，∴tan2eq \f(θ,2)＝eq \f(1,2)，
即tan eq \f(θ,2)＝eq \f(\r(2),2).∴tan θ＝eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝2eq \r(2).
16．设A，B分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4eq \r(3)，焦点到渐近线的距离为eq \r(3).
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝eq \f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，求t的值及点D的坐标．
解 (1)由题意知a＝2eq \r(3).
∴一条渐近线为y＝eq \f(b,2\r(3))x，即bx－2eq \r(3)y＝0.
∴eq \f(|bc|,\r(b2＋12))＝eq \r(3).
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，
∴b2＝3.
∴双曲线的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1.
(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得x2－16eq \r(3)x＋84＝0.
则x1＋x2＝16eq \r(3)，y1＋y2＝12.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\\al(2,0),12)－\f(y\\al(2,0),3)＝1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))
由eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，
得(16eq \r(3)，12)＝(4eq \r(3)t,3t)．
∴t＝4，点D的坐标为(4eq \r(3)，3)．