数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何本章综合与测试学案

这是一份数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何本章综合与测试学案，共7页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．空间直角坐标系中，已知点P(3，－2，－5)，点Q与点P关于Ozx平面对称，则点Q的坐标是( )
A．(－3,2,5) B．(3，－2,5)
C．(3,2，－5) D．(－3，－2，－5)
答案 C
解析 空间直角坐标系中，点P(3，－2，－5)，
因为点Q与点P关于Ozx平面对称，
所以点Q的坐标是(3,2，－5)．
2．在四面体OABC中，空间的一点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(OC,\s\up6(→))，若M，A，B，C共面，则λ等于( )
A.eq \f(7,12) B.eq \f(1,3) C.eq \f(5,12) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 因为M，A，B，C共面，所以eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＋λ＝1，
解得λ＝eq \f(7,12).
3．已知向量a＝(2,1,2)，b＝(－2，x,2)，c＝(4，－2,1)，若b⊥(a＋c)，则x的值为( )
A．－2 B．2 C．－6 D．6
答案 C
解析 因为a＝(2,1,2)，b＝(－2，x，2)，c＝(4，－2,1)，
所以a＋c＝(6，－1,3)，
又b⊥(a＋c)，
所以－12－x＋6＝0，解得x＝－6.
4．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)，则该四面体的体积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(8,3)
答案 A
解析 分别以BC，BA，BD所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a，
则A(0,1,0)，B(0,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，D(0,0，a) ，
eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，－1，a)，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，
cs θ＝eq \f(\r(10),10)
＝eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))|·|\(BE,\s\up6(→))|)
＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)\r(1＋a2))，
解得a＝2，
该四面体的体积为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×2＝eq \f(1,3) .
5．设x，y∈R，向量a＝(x，1,1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4,2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|等于( )
A．2eq \r(2) B.eq \r(10) C．3 D．4
答案 C
解析 ∵b∥c，
∴2y＝－4×1，∴y＝－2，
∴b＝(1，－2,1)，
∵a⊥b，
∴a·b＝x＋1×(－2)＋1＝0，∴x＝1，
∴a＝(1,1,1)，
∴a＋b＝(2，－1,2)，
∴|a＋b|＝eq \r(22＋－12＋22)＝3.
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),6)
C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1，eq \r(3))，D1(0,0，eq \r(3))，
所以eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0，eq \r(3))，eq \(DB1,\s\up6(→))＝(1,1，eq \r(3))，
因为|cs〈eq \(AD1,\s\up6(→))，eq \(DB1,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|\(AD1,\s\up6(→))·\(DB1,\s\up6(→))|,|\(AD1,\s\up6(→))||\(DB1,\s\up6(→))|)＝eq \f(|－1＋3|,2\r(5))＝eq \f(\r(5),5).
所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq \f(\r(5),5).
二、多项选择题
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))
B.eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OD1,\s\up6(→))
C.eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OC1,\s\up6(→))
D.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OA1,\s\up6(→))＋eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))＋eq \(OD1,\s\up6(→))
答案 ACD
解析 如图，
根据图形可看出，选项A，D的两向量互为相反向量；
eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OD1,\s\up6(→))＝eq \(D1A1,\s\up6(—→))，eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(D1A1,\s\up6(—→))，
∴选项B的两向量不是相反向量；
eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \(C1C,\s\up6(—→))，eq \(AA1,\s\up6(→))和eq \(C1C,\s\up6(—→))互为相反向量，
∴选项C的两向量互为相反向量．
8．已知向量a＝(1,1,0)，则与a共线的单位向量e等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，0)) B．(0,1,0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0)) D．(1,1,1)
答案 AC
解析 由于向量a＝(1,1,0)，
所以|a|＝eq \r(12＋12＋02)＝eq \r(2)，
根据单位向量的关系式e＝±eq \f(a,|a|)，
可得e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，0))或e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0)).
三、填空题
9．已知e1 ，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为________．
答案 eq \f(3,2)e1
解析 (e1＋e2)·e1＝|e1|2＋e2·e1＝1＋1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，
向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为eq \f(e1＋e2·e1,|e1|2)e1＝eq \f(3,2)e1.
10．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))}为基底，则eq \(GE,\s\up6(→))＝____________.
答案 －eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
解析 由题意，连接AE(图略)，
则eq \(GE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BD,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)).
11．已知在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为__________________．
答案 eq \r(85)
解析 如图所示，
eq \(AC′,\s\up6(—→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→))，
故|eq \(AC′,\s\up6(—→))|2＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→))|2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \(AA′,\s\up6(—→))2＋2(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA′,\s\up6(—→)))
＝42＋32＋52＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×3×0＋4×5×\f(1,2)＋3×5×\f(1,2)))＝85，故|eq \(AC′,\s\up6(—→))|＝eq \r(85).
12.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是________．
答案 eq \f(\r(30),30)
解析 由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直．以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方形边长为2，则A(0,0,0)，E(1，0,0)，M(0,1,2)，F(2,1,0)，
eq \(EM,\s\up6(→))＝(－1,1,2)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(2,1,0)，
cs 〈eq \(EM,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(EM,\s\up6(→))·\(AF,\s\up6(→)),|\(EM,\s\up6(→))|·|\(AF,\s\up6(→))|)＝eq \f(－1,\r(30))＝－eq \f(\r(30),30)，
又异面直线所成的角为锐角或直角，
所以异面直线EM与AF所成角的余弦值为eq \f(\r(30),30).
四、解答题
13.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，设eq \(CD,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(→))＝c.
(1)试用a，b，c表示eq \(A1C,\s\up6(—→))；
(2)已知O为对角线A1C的中点，求CO的长．
解 (1)eq \(A1C,\s\up6(—→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))
＝－eq \(CC1,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝－c－b－a＝－a－b－c.
(2)由题意知|a|＝2，|b|＝2，|c|＝3，
a·b＝0，a·c＝2×3×eq \f(1,2)＝3，b·c＝2×3×eq \f(1,2)＝3，
∵eq \(CO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)，
∴|eq \(CO,\s\up6(→))|＝eq \r(\f(1,4)a＋b＋c2)
＝eq \r(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)))
＝eq \r(\f(1,4)×22＋22＋32＋0＋2×3＋2×3)＝eq \r(\f(29,4))＝eq \f(\r(29),2).
14．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若点D在直线AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，求点D的坐标；
(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．
解 (1)由题意知，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－3,2)，点D在直线AC上，
设eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＝λ(1，－3,2)＝(λ，－3λ，2λ)，
∴D(λ，2－3λ，2λ＋3)，
eq \(BD,\s\up6(→))＝(λ，2－3λ，3＋2λ)－(－2,1,6)
＝(λ＋2,1－3λ，2λ－3)，
∵eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(1，－3,2)·(λ＋2,1－3λ，2λ－3)
＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0，
∴λ＝eq \f(1,2)，
∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，4)).
(2)∵eq \(BA,\s\up6(→))＝(2,1，－3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)，
∴|eq \(BA,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋12＋－32)＝eq \r(14)，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(32＋－22＋－12)＝eq \r(14)，
∴eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7，
∴cs B＝cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(7,\r(14)×\r(14))＝eq \f(1,2)，
∴sin B＝eq \f(\r(3),2)，
∴S＝eq \r(14)×eq \r(14)×eq \f(\r(3),2)＝7eq \r(3)，
∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7eq \r(3).
15．已知空间三点A(2,1,0)，B(2,2,1)，C(0,1,2)．
(1)求eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值；
(2)若(eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(AC,\s\up6(→)))⊥(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，求k的值．
解 (1)因为A(2,1,0)，B(2,2,1)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,1,1)．
又C(0,1,2)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0×(－2)＋1×0＋1×2＝2.
(2)由(1)可知eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(AC,\s\up6(→))＝(－2k，1,2k＋1)，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,1,3)．
因为(eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(AC,\s\up6(→)))⊥(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
所以4k＋1＋3(2k＋1)＝0，解得k＝－eq \f(2,5).