高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试学案设计

再练一课(范围：§3.2)

1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝   B．y＝|x|－1

C．y＝   D．y＝－x2

答案　B

解析　A中函数y＝不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故D错误．

2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)

A.  B．－  C．－2  D．2

答案　A

解析　易知f(x)在上单调递减，

∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝.

3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f(x)＝x＋1，则下列大小关系正确的是(　　)

A．f(1)>f(2)   B．f(1)>f(－2)

C．f(－1)>f(－2)   D．f(－1)<f(2)

答案　D

解析　∵当x≥0时，f(x)＝x＋1单调递增，

∴f(1)<f(2)，

又∵f(x)为偶函数，

∴f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，∴D对．

4．(多选)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上(　　)

A．有最大值4   B．有最小值－4

C．有最大值3   D．有最小值－3

答案　BC

解析　方法一　根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选BC.

方法二　当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，

由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，

所以－4≤f(x)≤3，

即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3.

5．设f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上单调递增，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)

A．[－3,3]   B．[－2,4]

C．[－1,5]   D．[0,6]

答案　B

解析　因为f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，

所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，

由函数f(x)在[－6,0]上单调递增，

得f(x)在[0,6]上单调递减．

故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，

故－2≤x≤4.

6．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是__________________．

答案　(－2,0)∪(2,5]

解析　∵f(x)为奇函数，

∴画出f(x)在x轴左侧的图象如图所示，

当－2<x<0或2<x≤5时，f(x)<0.

7．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为________．

答案　－3或

解析　f(x)的对称轴为直线x＝－1.

当a>0时，f(x)max＝f(2)＝4，解得a＝；

当a<0时，f(x)max＝f(－1)＝4，解得a＝－3.

综上，a＝或a＝－3.

8．已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．

答案　2－6

解析　当x≤1时，f(x)min＝0，

当x>1时，f(x)min＝2－6，

当且仅当x＝时取到最小值，

又2－6<0，所以f(x)min＝2－6.

9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．

(1)证明　设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，

∵f(x2)－f(x1)＝－

＝－＝>0，

∴f(x2)>f(x1)，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

(2)解　∵f(x)在上的值域是，

又由(1)得f(x)在上单调递增，

∴f ＝，f(2)＝2，易得a＝.

10．已知函数f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

(1)证明　设x1<x2<－2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．

(2)解　设1<x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为a>0，x2－x1>0，

所以要使f(x1)－f(x2)>0，

只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，

所以a≤1.综上所述，a的取值范围为0<a≤1.

11．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)

B．(2，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

答案　D

解析　当a>0时，a2＋a－[－3(－a)]>0⇒a2－2a>0⇒a>2；当a<0时，－3a－[(－a)2＋(－a)]<0⇒a2＋2a>0⇒a<－2.综上，实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

12．奇函数f(x)满足f(1)＝0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则<0的解集为(　　)

A．(－1,1)   B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)   D．(1，＋∞)∪(－1,0)

答案　D

解析　由于函数f(x)是奇函数，因此原不等式可化为x2f(x)<0，即f(x)<0，因为f(1)＝0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以x>1或－1<x<0.

13．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为________．

答案　[3，＋∞)

解析　设t＝x2－2x－3，

由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.

所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，

所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．

所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．

14．已知函数f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　(－∞，－2)

解析　二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，

所以该函数在(－∞，0]上单调递减，

所以x2－4x＋3≥3，

同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，

所以－x2－2x＋3<3，

所以f(x)在R上单调递减，

所以由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，

即2x<a在[a，a＋1]上恒成立，

所以2(a＋1)<a，a<－2，

所以实数a的取值范围是(－∞，－2)．

15．函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数，设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：

①f(0)＝0；②f ＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)．则f ＋f ＝________.

答案　

解析　由①③，令x＝0，可得f(1)＝1.

由②，令x＝1，可得f ＝f(1)＝.

令x＝，可得f ＝f ＝.

由③结合f ＝，可知f ＝，

令x＝，可得f ＝f ＝，

因为<<且函数f(x)在[0,1]上为非减函数，

所以f ＝，所以f ＋f ＝.

16．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．

解　f(x)＝42－2a＋2，

①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上单调递增．

∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.

由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.∵a≤0，∴a＝1－.

②当0<<2，即0<a<4时，

f(x)min＝f ＝－2a＋2.

由－2a＋2＝3，得a＝－∉(0,4)，舍去．

③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上单调递减，

f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.

由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.

∵a≥4，∴a＝5＋.

综上所述，a＝1－或a＝5＋.