高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算第2课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算第2课时学案，共14页。学案主要包含了空间向量共线的充要条件，空间向量共面的充要条件等内容，欢迎下载使用。

导语
我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下．
一、空间向量共线的充要条件
问题1 平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
提示 对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量．
知识梳理
1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知eq \(OP,\s\up6(→))＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示．
注意点：
(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定．
(2)向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上．
例1 如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则eq \(CE,\s\up6(→))与eq \(MN,\s\up6(→))是否共线？
解 方法一 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FN,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→)).①
又∵eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))－eq \(AF,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→))，②
①＋②得2eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(CE,\s\up6(→))，
∴eq \(CE,\s\up6(→))∥eq \(MN,\s\up6(→))，即eq \(CE,\s\up6(→))与eq \(MN,\s\up6(→))共线．
方法二 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(CE,\s\up6(→)).
∴eq \(MN,\s\up6(→))∥eq \(CE,\s\up6(→))，即eq \(MN,\s\up6(→))与eq \(CE,\s\up6(→))共线．
反思感悟 向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→)).
跟踪训练1 (1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n＝________.
答案 1
解析 由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，即eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))，所以m＝1－λ，n＝λ，
所以m＋n＝1.
(2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→)).求证：四边形EFGH是梯形．
证明 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
则eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)\(CG,\s\up6(→))－\f(3,2)\(CF,\s\up6(→))))
＝eq \f(3,4)(eq \(CG,\s\up6(→))－eq \(CF,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(FG,\s\up6(→))，
∴eq \(EH,\s\up6(→))∥eq \(FG,\s\up6(→))且|eq \(EH,\s\up6(→))|＝eq \f(3,4)|eq \(FG,\s\up6(→))|≠|eq \(FG,\s\up6(→))|.
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
二、空间向量共面的充要条件
问题2 空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？
提示 不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面．
问题3 对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb?
提示 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
知识梳理
1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.
2．共面向量
问题4 对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
提示 x＋y＋z＝1.
证明如下：(1)充分性
∵eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))
可变形为eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－y－z)eq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝y(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋z(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝yeq \(AB,\s\up6(→))＋zeq \(AC,\s\up6(→))，
∴点P与A，B，C共面．
(2)必要性
∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C，
∴存在有序实数对(m，n)使eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))，
eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝m(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋n(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－m－n)eq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))，
∵eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，
又∵点O在平面ABC外，
∴eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1.
例2 (1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是( )
A.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))
D.eq \(OP,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))
答案 BC
解析 方法一 A选项，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，不能转化成eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))的形式，所以A不正确；
B选项，∵eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，∴3eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))，∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))，∴eq \(PA,\s\up6(→))＝－eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))，∴P，A，B，C共面．故B正确；
C选项，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,8)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up6(→)).
∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,8)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,8)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up6(→))，
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确．
D选项，eq \(OP,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，无法转化成eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))的形式，所以D项不正确．
方法二 点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求．
(2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面．
证明 设eq \(AA1,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，则eq \(A1B,\s\up6(—→))＝b－a，
∵M为线段DD1的中点，∴eq \(A1M,\s\up6(—→))＝c－eq \f(1,2)a，
又∵AN∶NC＝2，∴eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(b＋c)，
∴eq \(A1N,\s\up6(—→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(b＋c)－a
＝eq \f(2,3)(b－a)＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(1,2)a))
＝eq \f(2,3)eq \(A1B,\s\up6(—→))＋eq \f(2,3)eq \(A1M,\s\up6(—→))，
∴eq \(A1N,\s\up6(—→))，eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(A1M,\s\up6(—→))为共面向量．
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面．
反思感悟 解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))或eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→)) (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示．
跟踪训练2 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面．
(2)BD∥平面EFGH.
证明 如图，连接EG，BG.
(1)因为eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))，由向量共面的充要条件知向量eq \(EG,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(EH,\s\up6(→))共面，即E，F，G，H四点共面．
(2)因为eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))，
所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
1．知识清单：
(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量．
(2)空间向量共面的充要条件．
(3)三点共线、四点共面的证明方法．
2．方法归纳 ：转化化归、类比．
3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．
1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
答案 A
解析 由向量共面定理可知，三个向量a，b,2a－b为共面向量．
2．(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝3eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0
D.eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0
答案 AC
解析 A选项中，3－1－1＝1，四点共面，
C选项中，eq \(MA,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，
∴点M，A，B，C共面．
3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，则x的值为( )
A．1 B．0 C．3 D.eq \f(1,3)
答案 D
解析 ∵eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，
且M，A，B，C四点共面，
∴x＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1，
∴x＝eq \f(1,3)，故选D.
4．设a，b是空间中两个不共线的向量，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝9a＋mb，eq \(BC,\s\up6(→))＝－2a－b，eq \(DC,\s\up6(→))＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________.
答案 －3
解析 因为eq \(BC,\s\up6(→))＝－2a－b，eq \(DC,\s\up6(→))＝a－2b.
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))
＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，
因为A，B，D三点共线，
所以存在实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，
即9a＋mb＝λ(－3a＋b)．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9＝－3λ，,m＝λ，))
解得m＝λ＝－3.
课时对点练
1．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))满足eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，则eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
答案 C
解析 A中，若b＝0，则a与c不一定共线；
B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；
C中，∵eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，故eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))正确；
D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb.
2．已知非零向量a，b，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案 A
解析 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2eq \(AB,\s\up6(→))，
∴A，B，D三点共线．
3．若空间中任意四点O，A，B，P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈直线AB
B．P∉直线AB
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．以上都不对
答案 A
解析 因为m＋n＝1，
所以m＝1－n，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－n)·eq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，
即eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝n(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
即eq \(AP,\s\up6(→))＝neq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))共线．
又eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.
4．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：6eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))，则( )
A．四点O，A，B，C必共面
B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面
D．五点O，P，A，B，C必共面
答案 B
解析 由6eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))，
得eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝2(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＋3(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，
即eq \(PA,\s\up6(→))＝2eq \(BP,\s\up6(→))＋3eq \(CP,\s\up6(→)).由共面向量定理，知P，A，B，C四点共面．
5．(多选)在以下命题中，不正确的命题是( )
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0
B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
C．若a与b共线，则a与b所在的直线平行
D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
答案 BCD
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0，A正确；
若a，b同向共线，则|a|－|b|<|a＋b|，故B不正确；
由向量平行知C不正确；
D中只有x＋y＋z＝1时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确．
6．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(DB,\s\up6(→))，则实数x的值为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
答案 A
解析 eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PD,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(PD,\s\up6(→)).
又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
∴eq \f(3,2)－x－eq \f(1,6)＝1，解得x＝eq \f(1,3).
7．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq \(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
答案 －8
解析 由已知得eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵A，B，D三点共线，
∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))共线，即存在λ∈R，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→)).
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，
∵e1，e2不共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2，,k＝－4λ，))∴k＝－8.
8．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则eq \(EF,\s\up6(→))和eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))的关系是________．(填“平行”“相等”或“相反”)
答案 平行
解析 设G是AC的中点，连接EG，FG(图略)，
则eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(GF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))，
所以2eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，
从而eq \(EF,\s\up6(→))∥(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))．
9．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
(1)判断eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
解 (1)∵eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(OM,\s\up6(→))，
∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＋(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，
∴eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \(BM,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，
∴向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面．
(2)由(1)知，向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
10.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE.求证：向量eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))共面．
证明 因为M在BD上，且BM＝eq \f(1,3)BD，
所以eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)).
同理eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→)).
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(DE,\s\up6(→))))
＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→)).
又eq \(CD,\s\up6(→))与eq \(DE,\s\up6(→))不共线，根据向量共面的充要条件可知eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))共面．
11．若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝αeq \(PB,\s\up6(→))＋βeq \(PC,\s\up6(→))，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 若α＋β＝1，则eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＝β(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))，即eq \(BA,\s\up6(→))＝βeq \(BC,\s\up6(→))，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，故eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))＝λ(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))，整理得eq \(PA,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq \(PB,\s\up6(→))－λeq \(PC,\s\up6(→))，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
12．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋xeq \(OC,\s\up6(→))＋yeq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＝2xeq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OD,\s\up6(→))＋yeq \(OE,\s\up6(→))，则x＋3y等于( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(7,6) C.eq \f(5,3) D.eq \f(7,3)
答案 B
解析 由点A，B，C，D共面得x＋y＝eq \f(1,2)，①
又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝eq \f(2,3)，②
联立①②，解得x＝eq \f(1,6)，y＝eq \f(1,3)，
所以x＋3y＝eq \f(7,6).
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(PB1,\s\up6(→))＋7eq \(BA,\s\up6(→))＋6eq \(AA1,\s\up6(→))－4eq \(A1D1,\s\up6(——→))，那么M必( )
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内
答案 C
解析 eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(PB1,\s\up6(→))＋7eq \(BA,\s\up6(→))＋6eq \(AA1,\s\up6(→))－4eq \(A1D1,\s\up6(——→))
＝eq \(PB1,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋6eq \(BA1,\s\up6(→))－4eq \(A1D1,\s\up6(——→))
＝eq \(PB1,\s\up6(→))＋eq \(B1A1,\s\up6(—→))＋6eq \(BA1,\s\up6(→))－4eq \(A1D1,\s\up6(—→))
＝eq \(PA1,\s\up6(→))＋6(eq \(PA1,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))－4(eq \(PD1,\s\up6(→))－eq \(PA1,\s\up6(→)))
＝11eq \(PA1,\s\up6(→))－6eq \(PB,\s\up6(→))－4eq \(PD1,\s\up6(→))，
于是M，B，A1，D1四点共面．
14．有下列命题：
①若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共线；
②若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－eq \f(2,5)e2，b＝－e1＋eq \f(1,10)e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
答案 ②③④
解析 根据共线向量的定义，若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；
因为eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))且eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))有公共点A，所以②正确；
由于a＝4e1－eq \f(2,5)e2＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
15．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不同为0的实数λ，m，n，使λeq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
答案 0
解析 ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数k，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝k(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
化简整理得eq \(OA,\s\up6(→))－(k＋1)eq \(OB,\s\up6(→))＋keq \(OC,\s\up6(→))＝0，
∵λeq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))＝0，
∴①当k＝－1时，比较系数得m＝0且λ＝－n，
∴λ＋m＋n＝0；
②当k≠－1时，可得eq \f(λ,1)＝eq \f(m,－k－1)＝eq \f(n,k)，
得m＝(－k－1)λ，n＝kλ；
由此可得λ＋m＋n＝λ＋(－k－1)λ＋kλ＝0，
综上所述，λ＋m＋n＝0.
16．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且eq \f(PH,HC)＝eq \f(1,2)，点G在AH上，且eq \f(AG,AH)＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值．
解 如图，连接BG.
因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，
所以eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)).
因为eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，
所以eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))
＝－eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)).
因为eq \f(PH,HC)＝eq \f(1,2)，
所以eq \(PH,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(→))，
所以eq \(PH,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(－eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PD,\s\up6(→)).
又因为eq \(AH,\s\up6(→))＝eq \(PH,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))，
所以eq \(AH,\s\up6(→))＝－eq \f(4,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PD,\s\up6(→)).
因为eq \f(AG,AH)＝m，
所以eq \(AG,\s\up6(→))＝meq \(AH,\s\up6(→))＝－eq \f(4m,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(m,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(m,3)eq \(PD,\s\up6(→)).
因为eq \(BG,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))，
所以eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4m,3)))eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,3)－1))eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(m,3)eq \(PD,\s\up6(→)).
又因为G，B，P，D四点共面，
所以1－eq \f(4m,3)＝0，m＝eq \f(3,4)，即m的值是eq \f(3,4).定义
平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件
向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb