2020-2021学年27.2.3 相似三角形应用举例复习练习题

初中数学·人教版·九年级下册——第二十七章　相似

27.2.3　相似三角形应用举例

测试时间:15分钟

一、选择题

1.(2020山西中考)泰勒斯是古希腊时期的思想家,科学家,哲学家,他最早提出了命题的证明.泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度,金字塔的影长,推算出金字塔的高度,这种测量原理,就是我们所学的              (　　)

A.图形的平移　　　B.图形的旋转

C.图形的轴对称　　　D.图形的相似

2.(2020浙江绍兴中考)如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为2∶5,且三角板的一边长为8 cm,则投影的对应边长为              (　　)

A.20 cm　　　B.10 cm　　　C.8 cm　　　D.3.2 cm

3.如图,AB是斜靠在墙壁上的固定爬梯,爬梯的底端B到墙角C的距离为1.6 m,爬梯上一点D到墙壁的距离DE为1.4 m,BD的长为0.5 m,则爬梯的长为              (　　)

A.3.5 m　　　B.4 m　　　C.4.5 m　　　D.5 m

4.有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=12 cm,BC边上的高为9 cm,现要把它分割成若干个相邻两边长分别为4 cm和2 cm的小长方形零件,分割方式如图所示(分割线的耗料不计),使最底层的小长方形的长为4 cm的边在BC上,则按如图所示的方式分割成的小长方形零件最多有              (　　)

A.3个　　　B.4个　　　C.5个　　　D.6个

二、填空题

5.如图,某一时刻,一根2 m高的竹竿EF的影长GE为1.2 m,此时,小红测得一棵被风吹斜的树与地面成30°角,树顶端B在地面上的影子D与点C的距离是3.6 m,BC⊥AC,则树高AB为　　　　m. 

6.(2021福建莆田模拟)莆田湄洲岛是亿万妈祖信徒敬仰的圣地,这里的妈祖庙更是名扬四海.在湄洲妈祖庙的正殿前方建造了一尊巨型石雕妈祖像,面向台湾海峡,为海峡两岸同胞共同瞻仰.小颖想测量雕像的高,她先测得雕像的影长为4.1 m,并在同一时刻测得一根长为1.4 m的竹竿的影长是0.4 m.请你帮她算一下,石雕妈祖像的高是　　　　m. 

三、解答题

7.(2021陕西西安雁塔二模)如图,建筑物BC上有一根旗杆AB,小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度,测量方法如下:在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD,地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上,同时地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B也恰好在一条直线上,已知旗杆AB=3米,FD=4米,DE=5米,EG=1.5米,点A、B、C在一条直线上,点C、D、E、G在一条直线上,AC、FD均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC.

8.如图所示,在一矩形空地ABCD内建一个小的矩形花坛AMPN,要求P在BD上,M、N分别在AB、AD上.已知AB=160 m,AD=100 m,设AN=x m,AM=y m.

(1)求y与x之间的函数表达式;

(2)当AM,AN的长度分别是多少时,花坛AMPN的面积最大?求出最大面积.

答案全解全析

一、选择题

1.答案　D　测量原理是我们所学的图形的相似.故选D.

2.答案　A　设投影的对应边长为x cm,∵三角板与投影相似,∴8∶x=2∶5,解得x=20.故选A.

3.答案　B　易知DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=,设爬梯的长为x m,则=,解得x=4.∴爬梯的长为4 m.故选B.

4.答案　B　如图,由题意设最上层的小长方形的一边恰好与AB、AC相交,交点分别为E、F.延长MT,交AC于N.作AD⊥BC,交BC于D,交EF于点G,由题意知,AD是△ABC的高,AG是△AEF的高,∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴=,∵BC=12 cm,AD=9 cm,EF=4 cm,∴=,∴AG=3 cm,∴GD=6 cm.∵小长方形的宽为2 cm,∴能分割三层.设从下面数第一层小长方形的另一条长边在MN上,易得=,解得MN=9,∴最底层能分割出两个小长方形.同理可得从下面数第二层能分割出1个小长方形,从下面数第三层能分割出1个小长方形,共能分割出4个小长方形.故选B.

二、填空题

5.答案　12

解析　由题意知CD=3.6 m,△BDC∽△FGE,∴=,即=,∴BC=6 m.在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴AB=2BC=12 m,即树高AB为12 m.

6.答案　14.35

解析　根据题意,作出如下图形.石雕妈祖像为AB,影子为BE,同一时刻竹竿为CD,竹竿的影子为FD.设石雕妈祖像的高为x m,由题意知△ABE∽△CDF,∴=,即=,∴x=14.35,∴石雕妈祖像的高为14.35 m.

三、解答题

7.解析　由题意可得,∠ACE=∠EDF=90°,∠AEC=∠FED,

∴△ACE∽△FDE,

∴=,

即=,

∴CD=.

由题意可得,∠BCG=∠FDG=90°,∠BGC=∠FGD,

∴△BCG∽△FDG,

∴=,

即=,

∴6.5BC=4(CD+6.5),

∴6.5BC=4×+4×6.5,

∴BC=14米,

∴这座建筑物的高BC为14米.

8.解析　(1)∵四边形AMPN是矩形,

∴PN∥AB,PN=AM,

∴△DNP∽△DAB.

∴=.

∵AB=160 m,AD=100 m,AN=x m,AM=y m,

∴=.

∴y=-x+160(0<x<100).

(2)设花坛AMPN的面积为S m2,

则S=xy=x=-(x-50)2+4 000(0<x<100).

∵-<0,

∴当x=50时,S有最大值,S最大值=4 000.当x=50时,y=80,

∴当AM=80 m,AN=50 m时,花坛AMPN的面积最大,最大面积为4 000 m2.