数学人教版27.2.1 相似三角形的判定第4课时同步训练题

这是一份数学人教版27.2.1 相似三角形的判定第4课时同步训练题，共6页。
第4课时 相似三角形的判定——“两角定理”
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2021广西玉林玉州模拟)如图所示,AB、CD相交于点O,连接AC,BD,添加下列一个条件后,仍不能判定△AOC∽△DOB的是( )
A.∠A=∠D B.AOOD=OCOB C.∠B=∠C D.ACBD=AOOD
2.(2021江苏扬州高邮期末)已知等腰△ABC的底角为75°,则下列三角形一定与△ABC相似的是( )
A.顶角为30°的等腰三角形
B.顶角为40°的等腰三角形
C.等边三角形
D.顶角为75°的等腰三角形
3.(2021山东济宁一模)在△ABC和△A'B'C'中,有下列条件:①ABA'B'=BCB'C',②BCB'C'=ACA'C',③∠A=∠A',④∠C=∠C',如果从中任取两个条件组成一组,能判定△ABC∽△A'B'C'的共有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
4.(2020浙江宁波江北期末)已知在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,下列阴影部分的三角形与△ABC不一定相似的是( )
5.(2020江苏盐城建湖期末)如图,在△ABC中,高BD,CE相交于点F,图中与△BEF相似的三角形共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
6.(2021北京丰台期末)如图,☉O是△ABC的外接圆,D是AC的中点,连接AD,BD,BD与AC交于点E,请写出图中所有与△ADE相似的三角形: .
7.如图,△ABC中,AB=3 cm,BC=4 cm,AC=6 cm.动点P从点A出发,以每秒1 cm的速度沿AB向点B运动,同时动点Q从点B出发,以每秒1 cm的速度沿BC向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t(秒),则t= 时,△PBQ与△ABC相似.
三、解答题
8.(2020上海闵行一模)如图,△ABC中,∠ACB=90°,D在斜边AB上,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F.
(1)当∠ACD=∠BCD时,求证:四边形DECF是正方形;
(2)当∠BCD=∠A时,求证:CDCA=CFAD.
9.(2019湖南湘西州中考)如图,△ABC内接于☉O,AC=BC,CD是☉O的直径,与AB相交于点G,过点D作EF∥AB,分别交CA、CB的延长线于点E、F,连接BD.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)求证:BD2=AC·BF.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 D 由题图可得,∠AOC=∠BOD,所以要使△AOC∽△DOB,只需再添加夹该等角的两边成比例或另一角相等即可,所以题中选项A、B、C均符合题意,而D选项中AC与AO的夹角并不是∠AOC,BD与OD的夹角也不是∠BOD,所以其不能判定两个三角形相似.故选D.
2.答案 A ∵等腰△ABC的底角为75°,∴等腰△ABC的三个角的度数分别为30°,75°,75°,∴一定与△ABC相似的是顶角为30°的等腰三角形.故选A.
3.答案 C 能判定△ABC∽△A'B'C'的有①②,②④,③④,∴能判定△ABC∽△A'B'C'的共有3组.故选C.
4.答案 C A项,阴影部分的三角形与△ABC有两个角相等,故两三角形相似,故A不符合题意;B项,阴影部分的三角形与△ABC有两个角相等,故两三角形相似,故B不符合题意;C项,BEAB=BFAC=12,但∠EBF不一定等于∠BAC,故两三角形不一定相似,故C符合题意;D项,AE=AC-4=2,AF=AB-1=3,因∠A=∠A,AEAB=AFAC=12,故两三角形相似,故D不符合题意.故选C.
5.答案 C ∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BDA=∠BDC=∠CEA=∠CEB=90°.∵∠FBE=∠ABD,∴△FBE∽△ABD.∵∠BFE=∠CFD,∴△BFE∽△CFD.∵∠FCD=∠ACE,∴△CFD∽△CAE,∴△BFE∽△CAE.综上,图中与△BEF相似的三角形有△BAD、△CFD、△CAE这3个.故选C.
二、填空题
6.答案 △CBE,△BDA
解析 ∵AD=CD,∴∠ABD=∠DBC,∵∠DAE=∠DBC,∴∠DAE=∠ABD,∵∠ADE=∠ADB,∴△ADE∽△BDA,∵∠DAE=∠EBC,∠AED=∠BEC,∴△AED∽△BEC.
7.答案 97或127
解析 根据题意得AP=t cm,PB=(3-t)cm,BQ=t cm(0≤t≤3),当PQ∥AC时,△BPQ∽△BAC,∴BPBA=BQBC,即3-t3=t4,解得t=127;当∠BPQ=∠C时,△BPQ∽△BCA,∴BPBC=BQAB,即3-t4=t3,解得t=97,∴当t=97或127时,△PBQ与△ABC相似.
三、解答题
8.证明 (1)∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠DEC=∠DFC=90°,
又∵∠ECF=90°,
∴四边形DECF为矩形.
∵∠ACD=∠BCD,
∴CD平分∠ACB,
∴DE=DF,
∴四边形DECF是正方形.
(2)∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°,∠BCD=∠A,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠ADC=180°-90°=90°.
∵∠DCF=∠A,∠DFC=∠ADC=90°,
∴△CDF∽△ACD,
∴CDCA=CFAD.
9.证明 (1)∵AC=BC,
∴AC=BC,
∵CD是☉O的直径,
∴∠ACD=∠BCD,且CD⊥AB,
∵AB∥EF,
∴CD⊥EF,
∵CD是☉O的直径,
∴EF是☉O的切线.
(2)∵∠BDF+∠CDB=∠CDB+∠BCD=90°,
∴∠BDF=∠BCD,又∠DBC=∠DBF=90°,
∴△BCD∽△BDF,
∴BDBF=BCBD,
∴BD2=BC·BF,
∵BC=AC,
∴BD2=AC·BF.