高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理课时作业，共8页。试卷主要包含了线线垂直，线面垂直，面面垂直等内容，欢迎下载使用。
空间向量中的垂直问题空间垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l⊥m__a⊥b____a·b＝0__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0l⊥α__a∥u____a＝λu，λ∈R__a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3α⊥β__u⊥v__u·v＝0u1v1＋u2v2＋u3v3＝0 类型一 线线垂直 用向量方法证明直线l1与l2垂直，取l1，l2的方向向量e1，e2，则e1·e2＝0或cos〈e1，e2〉＝0． 例1　已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点.求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C．[思路分析]　正方体是特殊几何体，从一顶点出发的三条棱相互垂直，故方便建系，求出点的坐标，然后只要验证·＝0，·＝0即可．[证明]　设正方体棱长为1，以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则M，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A′(0，0，1)，N，B′(1，0，1)，＝，＝(1，1，－1)，＝(0，0，1)．∵·＝·(1，1，－1)＝0，·＝·(0，0，1)＝0，∴MN⊥A′C；MN⊥BB′．类型二 线面垂直证明直线l⊥平面α，(1)取直线的方向向量e和平面的法向量n，验证e∥n；(2)取直线的方向向量e和与平面α平行的两不共线向量a，b，验证e·a＝0且e·b＝0.可以选取基向量表示方便建系时一般用坐标法证明．例2 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1．[解析]　分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E，M(1，1，m)．∴＝(－1，1，0)，又E，F分别为AB，BC的中点，∴＝＝．又∵＝，＝(1，1，m－1)，∵D1M⊥平面FEB1，∴D1M⊥EF且D1M⊥B1E．即·＝0，且·＝0．∴，∴m＝．故取B1B的中点M就能满足D1M⊥平面EFB1．类型三 面面垂直证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．例3 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1． [证明]　证法一：如右图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)．∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1，1，0)．∴＝(1，1，0)，＝(0，0，)，＝(－2，2，0)．∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0．∴⊥，⊥.∴BC⊥AD，BC⊥AA1．又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD．又BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1．证法二：同证法一建系后，得＝(0，0，)，＝(1，1，0)，＝(－2，2，0)，＝(0，－1，)．设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由，得．令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1，0)．由，得，令y2＝1，则x2＝1，z2＝，∴n2＝(1，1，)．∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2．∴平面A1AD⊥平面BCC1B1．练习：1．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(　C　)A．α∥β  B．α⊥βC．α，β相交但不垂直  D．以上均不正确[解析]　n1与n2不是平行向量，且n1·n2≠0，∴α，β相交且不垂直．2．已知直线l1的方向向量为a＝(2，－2，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y，2)，且|a|＝3，l1⊥l2，则y－x的值为(　A　)A．2  B．－4或－1C．4  D．0[解析]　|a|＝3，则x＝±1，x＝1时，a＝(2，－2，1)，∴4－2y＋2＝0，∴y＝3，∴y－x＝3－1＝2，x＝－1时，a＝(2，－2，－1)，∴4－2y－2＝0，∴y＝1，∴y－x＝2．故选A．3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．[解析]　用向量法证明线面垂直有两种方法：①基向量法；②坐标向量法．证法一：设＝a，＝c，＝b，则＝＋＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，∵＝＋＝a＋b，∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0，∴⊥，即EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC．证法二：设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)．∴＝(a，a，2a)－(2a，2a，a)＝(－a，－a，a)，＝(2a，2a，2a)－(2a，0，0)＝(0，2a，2a)，＝(0，2a，0)－(2a，0，0)＝(－2a，2a，0)．∵·＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝0－2a2＋2a2＝0，·＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC．又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC．4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点，求证：PC⊥平面BEF.[解析]　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形，∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，，0)，F(1，，1)．∴＝(2，2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1，0，1)，∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0，∴⊥，⊥，∴PC⊥BF，PC⊥EF．又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF．5．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(2)证明：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．[解析]　解法一：(1)解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．∵△PBC中，E，F分别为BC，PB的中点．∴EF∥PC又EF⊄平面PAC而PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC．(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴EB⊥PA．又EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，∴EB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE，又PA＝AB＝1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，又∵PB∩BE＝B，PB，BE⊂平面PBE，∴AF⊥平面PBE．∵PE⊂平面PBE，∴AF⊥PE．所以无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．解法二：以A为原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，设D(a，0，0)，则C(a，1，0)．(1)∵E为BC的中点，F为BP的中点，∴E(，1，0)，F(0，，)，∴＝(－，－，)，＝(0，0，1)，＝(a，1，0)．设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，则，∴．取x＝1，则n＝(1，－a，0)，∵·n＝0，∴⊥n，又EF⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC．(2)∵E在BC上，∴设E(m，1，0)，∴＝(m，1，－1)，＝(0，，)，∵·＝0，∴PE⊥AF．∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF．6．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D．[证明]　如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2，0，2)，B(0，2，2)，C(0，0，2)，A1(2，0，0)，B1(0，2，0)，C1(0，0，0)，D(1，1，2)．(1)∵＝(0，－2，－2)，＝(－2，2，－2)，∴·＝0－4＋4＝0，∴⊥，∴BC1⊥AB1．(2)取A1C的中点E，∵E(1，0，1)，∴＝(0，1，1)，又＝(0，－2，－2)，∴＝－，且ED和BC1不共线，则ED∥BC1.又ED⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D．7．如图， 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1. [证明]　以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0，0，0)，B1(2，2，4)，E(2，，0)，F(，2，0)，＝(0，－，－4)，＝(－，，0)．设平面B1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)．则n·＝－y－4z＝0，n·＝－x＋y＝0．解得x＝y，z＝－y，令y＝1得n＝(1，1，－)，又平面BDD1B1的一个法向量为＝(－2，2，0)，而n·＝1×(－2)＋1×2＋(－)×0＝0，即n⊥.∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．