2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与三角形综合（四）（word版含答案）

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（1）求抛物线的解析式；
（2）求点 P 在运动的过程中线段 PD 长度的最大值；
（3）△APD 能否构成直角三角形?若能，请直接写出所有符合条件的点 P 坐标；若不能，请说明理由．

2. 关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点为 P，图象与 x 轴交于 A−1,0，B3,0 两点（如图），且 △PAB 为直角三角形．求这个二次函数的解析式．

3. 如图，直线 AB 过 x 轴上的点 A2,0，且与抛物线 y=ax2 相交于 B，C 两点，点 B 的坐标为 1,1．
（1）求直线和抛物线的函数解析式；
（2）如果抛物线上有一点 D，使得 S△OBC=S△OAD，求点 D 的坐标．

4. 如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c 与一直线相交于 A1,0，C−2,3 两点，与 y 轴相交于点 N，其顶点为 D．
（1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式．
（2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求 △APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标．
（3）在对称轴上是否存在一点 M，使 △ANM 的周长最小．若存在，请求出 M 点的坐标和 △ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．

5. 如图，抛物线 y=−x2+4x 交 x 轴于 O，B 两点，A 为抛物线上一点，且横纵坐标相等（原点除外），P 为抛物线上一动点，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Da,0a>0，并与直线 OA 交于点 C．
（1）求 A，B 两点的坐标．
（2）当点 P 在线段 OA 上方时，过 P 作 x 轴的平行线与直线 OA 相交于点 E，求 △PCE 周长的最大值及此时 P 点的坐标．

6. 如图 1，抛物线 y=12x2+mx+4m 与 x 轴交于点 Ax1,0 和点 Bx2,0，与 y 轴交于点 C，且 x1，x2 满足 x12+x22=20，若对称轴在 y 轴的右侧．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图 2，若点 P 为线段 AB 上的一动点（不与 A，B 重合），分别以 AP，BP 为斜边，在直线 AB 的同侧作等腰直角三角形 △APM 和 △BPN，试确定 △MPN 面积最大时 P 点的坐标．
（3）若 Px1,y1，Qx2,y2 是抛物线上的两点，当 a≤x1≤a+2，x2≥92 时，均有 y1≤y2，求 a 的取值范围．

7. 已知抛物线 y=x2−2x−3．
（1）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画岀该抛物线的图象．
x⋯⋯y⋯⋯
（2）当 时，y 随 x 的增大而增大．
（3）当 时，y90∘，连接 AC，若 ∠BAC=12∠BPC．求证：PB=PC；
（3）在（2）条件下，过点 A 作 AE∥PC 交抛物线的对称轴于点 E，当 CE:AE=13:5 时，求 P 点坐标．

16. 如图，抛物线 y=ax2+bx+4（a≠0）与 x 轴交于点 B−3,0 和 C4,0 与 y 轴交于点 A．
（1）a= ，b= ．
（2）点 M 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 向 B 运动，同时，点 N 从点 B 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 BC 向 C 运动，当点 M 到达 B 点时，两点停止运动．t 为何值时，以 B，M，N 为顶点的三角形是等腰三角形?
（3）点 P 是第一象限抛物线上的一点，若 BP 恰好平分 ∠ABC，请直接写出此时点 P 的坐标．

17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2−mx+1 与 x 轴从左到右的交点为 A，B，与 y 轴的交点为 C，过点 C 作 x 轴的平行线 l，l 与抛物线的另一交点为 D 点．
（1）若点 B 的坐标为 2,0，求抛物线的函数表达式及顶点坐标．
（2）设抛物线顶点的纵坐标为 n，求 n 的取值范围．
（3）若抛物线顶点记为 P，连接 CP，DP，当 ∠CPD=60∘ 时，求 m 的值．

18. 如图①抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 与 x 轴，y 轴分别交于点 A−1,0，B3,0，点 C 三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点 D2,m 在第一象限的抛物线上，连接 BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点 P，满足 ∠PBC=∠DBC?如果存在，请求出点 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点 N 在抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，当以 M，N，B，C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 M 的坐标．

19. 如图 1，抛物线 y=−x2+bx+c 过点 A−1,0，点 B3,0 与 y 轴交于点 C．在 x 轴上有一动点 Em,00