2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与三角形综合（五）（word版含解析）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与三角形综合（五）（word版含解析），共30页。
（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标．
（2）判断 △ABC 的形状，证明你的结论．

2. 在平面直角坐标系 xOy 中，对称轴为直线 x=1 的抛物线 y=ax2+bx+8 过点 −2,0．
（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）现将此抛物线沿 y 轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为 D，与 y 轴的交点为 B，与 x 轴负半轴交于点 A．过 B 作 x 轴的平行线交所得抛物线于点 C，若 AC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式．

3. 已知二次函数 y=12x2−x+m 的图象经过点 A−3,6，顶点为点 P，并与 x 轴交于 B，C 两点（点 B 在点 C 的左边）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求点 P，B，C 的坐标并判断 △PBC 的形状，并说明理由；
（3）设点 D 在线段 OC 上，且满足 ∠DPC=∠BAC，求点 D 的坐标．

4. 如图，平面直角坐标系内，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A−2,0，B4,0，与 y 轴交于点 C0,6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点 D 为 x 轴下方二次函数图象上一点，连接 AC，BC，AD，BD，若 △ABD 的面积是 △ABC 面积的一半，求 D 点坐标．

5. 已知一个三角形 ABC，面积为 25，BC 的长为 10，∠B，∠C 都为锐角，M 为 AB 边上的一动点（M 与 A，B 不重合），过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，设 MN=x．
（1）当 x=4 时，△AMN 的面积 = ；
（2）设点 A 关于直线 MN 的对称点为 Aʹ，令 △AʹMN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y．求 y 与 x 的函数关系式；并求当 x 为何值时，重叠部分的面积 y 最大，最大为多少?

6. 如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A1,1，且与直线 y=x−2 交于 B，C 两点．
（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；
（2）求 △ABC 的面积；
（3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MN⊥x 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与 △ABC 相似?若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．

7. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+6x+5 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其顶点为 P，连接 PA，AC，CP，过点 C 作 y 轴的垂线 l．
（1）求点 P，C 的坐标；
（2）直线 l 上是否存在点 D，使 △PBD 的面积等于 △PAC 的面积的 3 倍?若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 经过点 A−1,0，B32,0，且与 y 轴相交于点 C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求 ∠ACB 的度数；
（3）设点 D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点 E 在线段 AC 上，且 DE⊥AC，当 △DCE 与 △AOC 相似时，求点 D 的坐标．

9. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，OA=1，OB=OC=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 D 为第一象限抛物线上一动点，连接 DC，DB，BC，设点 D 的横坐标为 m，△BCD 的面积为 S，求 S 的最大值；
（3）如图 2，点 P0,n 是线段 OC 上一点（不与点 O，C 重合），连接 PB，将线段 PB 以点 P 为中心旋转 90∘ 得到线段 PQ，是否存在 n 的值，使点 Q 落在抛物线上?若存在，请求出满足条件的 n 的值，若不存在，请说明理由．

10. 如图，已知二次函数 y=−x2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点 A3,1，点 C0,4，顶点为点 M，过点 A 作 AB∥x 轴，交 y 轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连接 BC．
（1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移 mm>0 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点与 △ABC 的外心重合，求 m 的取值；
（3）点 P 是坐标平面内的一点，使得 △ACB 与 △MCP 相似，且 CM 的对应边为 AC，请写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

11. 如图，O 是坐标原点，过点 A−1,0 的抛物线 y=x2−bx−3 与 x 轴的另一个交点为 B，与 y 轴交于点 C，其顶点为 D 点．
（1）求 b 的值以及点 D 的坐标；
（2）连接 BC，BD，CD，在 x 轴上是否存在点 P，使得以 A，C，P 为顶点的三角形与 △BCD 相似．若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）动点 Q 的坐标为 m,1．
①当 △BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求 m 的值；
②连接 OQ，CQ，求 △CQO 的外接圆半径的最小值，并求出此时点 Q 的坐标．

12. 如图，已知抛物线的顶点为 A1,4，抛物线与 y 轴交于点 B0,3，与 x 轴交于 C，D 两点．点 P 是 x 轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求 C，D 两点坐标及 △BCD 的面积．
（3）若点 P 在 x 轴上方的抛物线上，满足 S△PCD=12S△BCD，求点 P 的坐标．

13. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与直线 y=x+1 相交于 A−1,0，B4,m 两点，且抛物线经过点 C5,0．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点 P 是抛物线上的一个动点（不与点 A，点 B 重合），过点 P 作直线 PD⊥x 轴于点 D，交直线 AB 于点 E．
①当 PE=2ED 时，求 P 点坐标．
②是否存在点 P 使 △BEC 为等腰三角形?若存在请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

14. 如图，在平面直角坐标系中，点 C 是 y 轴正半轴上的一个动点，抛物线 y=ax2−5ax+4a（a 是常数，且 a>0）过点 C，与 x 轴交于点 A，B，点 A 在点 B 的左边．连接 AC，以 AC 为边作等边三角形 ACD，点 D 与点 O 在直线 AC 两侧．
（1）求点 A，B 的坐标．
（2）当 CD∥x 轴时，求抛物线的函数表达式．
（3）连接 BD，当 BD 最短时，请直接写出抛物线的函数表达式．

15. 如图，抛物线 y=x−12+n 与轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C0,−3，点 D 与 C 关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；
（2）点 P 是抛物线上的一点，当 △ABP 的面积是 8，求出点 P 的坐标；
（3）过直线 AD 下方的抛物线上一点 M 作 y 轴的平行线，与直线 AD 交于点 N，已知 M 点的横坐标是 m，试用含 m 的式子表示 MN 的长及 △ADM 的面积 S，并求当 MN 的长最大时 S 的值．

16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A−4,0，B2,0 交 y 轴于点 C0,6，在 y 轴上有一点 E0,−2，连接 AE．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求 △ADE 面积的最大值．
（3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使 △AEP 为等腰三角形?若存在，请直接写出所有 P 点的坐标，若不存在请说明理由．

17. 如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c 与 y 轴相交于点 A0,3，与 x 正半轴相交于点 B，对称轴是直线 x=1．
（1）求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标．
（2）动点 M 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，同时动点 N 从点 O 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达 A 点时，M，N 同时停止运动．过动点 M 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 Q，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒．
①当 t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形．
②当 t>0 时，△BOQ 能否为等腰三角形?若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由．

18. 如图①，已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A0,3，B1,0，其对称轴为直线 l:x=2，过点 A 作 AC∥x 轴交抛物线于点 C，∠AOB 的平分线交线段 AC 于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为 m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连接 PE，PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE 面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使 △POF 成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

19. 如图，抛物线 y=ax2+bx−2 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A−1,0，B4,0．
（1）求抛物线的解析式．
（2）判断 △ABC 的形状，并证明你的结论．
（3）在抛物线上能否找到一点 P，使 ∠POC=∠PCO?若能，请求岀点 P 的坐标；若不能，请说明理由．

20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A4,0，B 两点，与 y 轴交于点 C0,2，对称轴 x=32 与 x 轴交于点 H．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线 y=kx+1k≠0 与 y 轴交于点 E，与抛物线交于点 P，Q（点 P 在 y 轴左侧，点 Q 在 y 轴右侧），连接 CP，CQ，若 △CPQ 的面积为 172，求点 P，Q 的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接 AC 交 PQ 于 G，在对称轴上是否存在一点 K，连接 GK，将线段 GK 绕点 G 逆时针旋转 90∘，使点 K 恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点 K 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1. （1） 将点 A 坐标 −1,0 代入抛物线 y=12x2+bx−2，
得 0=12×−12−b−2，解得 b=−32，
∴ 原抛物线解析式为：y=12x2−32x−2，
对称轴为 x=−b2a=32，
顶点为 x=32 时，代入得 y=−258，
∴D 点坐标为 32,−258．
（2） ∵ 抛物线的解析式为 y=12x2−32x−2，
∴ 当 y=0 时，解得 x1=4，x2=−1，
∴A−1,0，B4,0，
当 x=0 时，y=−2，
∴AO=1，CO=2，
∴AC=AO2+CO2=5，BO=4，
∴BC=BO2+CO2=25，
AB=AO+BO=5，
∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 是直角三角形．
2. （1） 由题意得 4a−2b+8=0,−b2a=1, 解得 a=−1,b=2,
所以抛物线的表达式为 y=−x2+2x+8，其顶点为 1,9．
（2） 令平移后抛物线为 y=−x−12+k，易得 D1,k，B0,k−1，且 k−1>0．
由 BC 平行于 x 轴，知点 C 与点 B 关于对称轴 x=1 对称，得 C2,k−1．
由 0=−x−12+k，解得 x=1±k，舍正，即 A1−k,0．
作 DH⊥BC 于 H，CT⊥x 轴于 T，则在 △DBH 中，HB=HD=1，∠DHB=90∘．
又因为 AC∥BD 且 BC∥AT，
所以 ∠DBC=∠BCA=∠CAT，
则有 △CTA∽△DHB，
所以 CT=AT，即 k−1=2−1−k，解得 k=4，
所以平移后抛物线表达式为 y=−x−12+4=−x2+2x+3．
3. （1） y=12x2−x−32．
（2） P1,−2，B−1,0，C3,0；等腰直角三角形．
（3） D53,0．
4. （1） 设抛物线解析式为 y=ax+2x−4，
把 0,6 代入得 6=a×0+20−4，解得 a=−34，
∴ 抛物线解析式为 y=−34x+2x−4，即 y=−34x2+32x+6．
（2） 设 Dt,−34t2+32t+6，
∵△ABD 的面积是 △ABC 面积的一半，
∴12×2+4×−−34t2+32t+6=12×12×2+4×6，
整理得 t2−2t−12=0，解得 t1=1+13，t2=1−13，
∴D 点坐标为 1+13,−3 或 1−13,−3．
5. （1） 4
【解析】∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴S△AMNS△ABC=MN2BC2，
∴S△AMN25=42102，
∴S△AMN=4．
（2） ①当点 A′ 落在四边形 BCMN 内或 BC 边上时，0