2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与圆综合（一）（word版含答案）

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（1）求该抛物线的解析式．
（2）若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 M，求切点 M 的坐标．
（3）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求点 P 的坐标．若不存在，请说明理由．

2. 如图，抛物线 y=ax2+94x+c 经过点 A−1,0 和点 C0,3 与 x 轴的另一交点为点 B，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 MP∥y 轴，交抛物线于点 P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点 Q，使得 △QCO 是等边三角形?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以 M 为圆心，MP 为半径作 ⊙M，当 ⊙M 与坐标轴相切时，求出 ⊙M 的半径．

3. 已知：直线 y=−x−4 和抛物线 y=12x2+2x．
（1）判断抛物线的顶点 B 是否在直线 AC 上；
（2）以点 B 关于 x 轴的对称点 D 为圆心，以 OD 为半径作 ⊙D，试判断直线 AC 与 ⊙D 的位置关系，并说明理由；
（3）若 E 为 ⊙D 的优弧 AO 上一动点（不与 A，O 重合），连接 AE，OE，问在抛物线上是否存在点 P，使 ∠POA:∠AEO=2:3?若存在，请求出所有满足条件的点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．

4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2−5ax+c 交 x 轴于点 A，点 A 的坐标为 4,0．
（1）用含 a 的代数式表示 c．
（2）当 a=12 时，求 x 为何值时 y 取得最小值，并求出 y 的最小值．
（3）当 a=−12 时，求 0≤x≤6 时 y 的取值范围．
（4）已知点 B 的坐标为 0,3，当抛物线的顶点落在 △AOB 外接圆内部时，直接写出 a 的取值范围．

5. 如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为 4,−1 的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B，C 两点（点 B 在点 C 的左侧），已知 A 点坐标为 0,3．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线的对称轴与 ⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明．

6. 如图，O 是坐标原点，过点 A−1,0 的抛物线 y=x2−bx−3 与 x 轴的另一个交点为 B，与 y 轴交于点 C，其顶点为 D 点．
（1）求 b 的值以及点 D 的坐标；
（2）连接 BC，BD，CD，在 x 轴上是否存在点 P，使得以 A，C，P 为顶点的三角形与 △BCD 相似．若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）动点 Q 的坐标为 m,1．
①当 △BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求 m 的值；
②连接 OQ，CQ，求 △CQO 的外接圆半径的最小值，并求出此时点 Q 的坐标．

7. 如图，C 是线段 AB 上一动点，以 AB 为直径作半圆，过点 C 作 CD⊥AB 交半 圆于点 D，连接 AD．已知 AB=8 cm，设 A，C 两点间的距离为 x cm，△ACD 的面积为 y cm2．（当点 C 与点 A 或点 B 重合时，y 的值为 0）请根据学习函数的经验，对函数 y 随 自变量 x 的变化而变化的规律进行探究．（注：本题所有数值均保留一位小数）
（1）通过画图、测量、计算，得到了 x 与 y 的几组值，如表：
x
补全表格中的数值：a= ；b= ；c= ．
（2）根据表中数值，继续描出（1）中剩余的三个点 x,y，画出该函数的图象并写出这个函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当 △ACD 的面积等于 5 cm2 时，AC 的长度约为 cm．

8. 如图，已知点 A−1,0，B3,0，C0,1 在抛物线 y=ax2+bx+c 上．
（1）求抛物线解析式．
（2）在直线 BC 上方的抛物线上求一点 P，使 △PBC 面积为 1．
（3）在 x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 Q，使 ∠BQC=∠BAC?若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，说明理由．

9. 抛物线 y=−3x2+bx+c 经过点 O0,0，A4,43，与 x 轴的另一交点为点 B，且抛物线的对称轴与线段 OA 交于点 P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 AB，求 AB 的长和点 P 的坐标；
（3）过点 P 作 x 轴的平行线 l，若点 Q 是直线 l 上的动点，连接 QB．
（i）若点 O 关于直线 QB 的对称点为点 C，当点 C 恰好在直线 l 上时，求点 Q 的坐标；
（ii）若点 O 关于直线 OB 的对称点为点 D，当线段 AD 的长最短时，求点 Q 的坐标．（直接写答案即可）

10. 如图，二次函数 y=14x2+bx+c 的图象过点 A4,−4，B−2,m，交 y 轴于点 C0,−4．直线 BO 与抛物线相交于另一点 D，连接 AB，AD，点 E 是线段 AB 上的一动点，过点 E 作 EF∥BD 交 AD 于点 F．
（1）求二次函数 y=14x2+bx+c 的表达式；
（2）判断 △ABD 的形状，并说明理由；
（3）在点 E 的运动过程中，直线 BD 上存在一点 G，使得四边形 AFGE 为矩形，请判断此时 AG 与 BD 的数量关系，并求出点 E 的坐标；
（4）点 H 是抛物物的项点，在（3）的条件下，点 P 是平面内使得 ∠EPF=90∘ 的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点 Q，使得 △HPQ 是以 ∠PQH 为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1. （1） 把 A3,0，B−1,0，C0,−3 代入抛物线解析式得：9a+3b+c=0,a−b+c=0,c=−3,
解得：a=1,b=−2,c=−3,
则该抛物线解析式为 y=x2−2x−3．
（2） 设直线 BC 解析式为 y=kx−3，
把 B−1,0 代入得：−k−3=0，即 k=−3，
∴ 直线 BC 解析式为 y=−3x−3，
∴ 直线 AM 解析式为 y=13x+m，
把 A3,0 代入得：1+m=0，即 m=−1，
∴ 直线 AM 解析式为 y=13x−1，
联立得：y=−3x−3,y=13x−1,
解得：x=−35,y=−65,
则 M−35,−65．
（3） 存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况考虑：
设 Qx,0，Pm,m2−2m−3，
当四边形 BCQP 为平行四边形时，由 B−1,0，C0,−3，
根据平移规律得：−1+x=0+m，0+0=−3+m2−2m−3，
解得：m=1±7，x=2±7，
当 m=1+7 时，m2−2m−3=8+27−2−27−3=3，即 P1+7,2．
当 m=1−7 时，m2−2m−3=8−27−2+27−3=3，即 P1−7,2．
2. （1） 把点 A−1,0 和点 C0,3 代入 y=ax2+94x+c 得 0=a−94+c,3=c,
解得 a=−34,c=3,
∴ 抛物线的解析式为 y=−34x2+94x+3；
（2） 不存在．理由如下：
①当点 Q 在 y 轴右边时，如图 1 所示：
假设 △QCO 为等边三角形，
过点 Q 作 QH⊥OC 于 H，
∵ 点 C0,3，
∴OC=3，
则 OH=12OC=32，tan60∘=QHOH，
∴QH=OH⋅tan60∘=32×3=332，
∴Q332,32，
把 x=332 代入 y=−34x2+94x+3，
得 y=2738−3316≠32，
∴ 假设不成立，
∴ 当点 Q 在 y 轴右边时，不存在 △QCO 为等边三角形；
②当点 Q 在 y 轴的左边时，如图 2．
假设 △QCO 为等边三角形，
过点 Q 作 QT⊥OC 于 T，
∵ 点 C0,3，
∴OC=3，
则 OT=12OC=32，tan60∘=QTOT，
∴QT=OT⋅tan60∘=32×3=332，
∴Q−332,32，
把 x=−332 代入 y=−34x2+94x+3，
得 y=−2738−3316≠32，
∴ 假设不成立，
∴ 当点 Q 在 y 轴左边时，不存在 △QCO 为等边三角形；
综上所述，在抛物线上不存在一点 Q，使得 △QCO 是等边三角形；
（3） 令 −34x2+94x+3=0，
解得 x1=−1，x2=4，
∴B4,0，
设 BC 直线的解析式为：y=kx+b，
把 B，C 的坐标代入则 0=4k+b,3=b,
解得 k=−34,b=3,
∴BC 直线的解析式为 y=−34x+3，
当 M 在线段 BC 上，⊙M 与 x 轴相切时，如图 3．
延长 PM 交 AB 于点 D，
则点 D 为 ⊙M 与 x 轴的切点，即 PM=MD，
设 Px,−34x2+94x+3，
Mx,−34x+3，
则 PD=−34x2+94x+3，
MD=−34x+3，
∴−34x2+94x+3−−34x+3=−34x+3，
解得：x1=1，x2=4（不合题意舍去），
∴⊙M 的半径为：MD=−34+3=94；
当 M 在线段 BC 上，⊙M 与 y 轴相切时，如图 4．
延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于 E，
则点 E 为 ⊙M 与 y 轴的切点，即 PM=ME，PD−MD=EM=x，
设 Px,−34x2+94x+3，
Mx,−34x+3，
则 PD=−34x2+94x+3，
MD=−34x+3，
∴−34x2+94x+3−−34x+3=x，
解得：x1=83，x2=0（不合题意舍去），
∴⊙M 的半径为：EM=83；
当 M 在 BC 延长线，⊙M 与 x 轴相切时，如图 5．
点 P 与 A 重合，
∴M 的横坐标为 −1，
∴⊙M 的半径为：M 的纵坐标的值，
即：−34×−1+3=154；
当 M 在 CB 延长线，⊙M 与 y 轴相切时，如图 6．
延长 PM 交 x 轴于 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于 E，
则点 E 为 ⊙M 与 y 轴的切点，即 PM=ME，PD−MD=EM=x，
设 Px,−34x2+94x+3，
Mx,−34x+3，
则 PD=34x2−94x−3，MD=34x−3，
∴34x2−94x−3−34x−3=x，
解得：x1=163，x2=0（不合题意舍去），
∴⊙M 的半径为：EM=163；
综上所述，⊙M 的半径为 94 或 83 或 154 或 163．
3. （1） 由 y=12x2+2x=12x+22−2 得顶点 B−2,−2，
当 x=−2 时，y=−x−4=−2，
∴ 点 B 在直线 y=−x−4 上；
（2） 直线 AC 与 ⊙D 相切．
理由：连接 DA，如图 1．
∵A−4,0，C0,−4，
∴OA=OC=4．
∵∠AOC=90∘，
∴∠OAC=∠OCA=45∘，
∵ 点 B 在直线 AC 上，
∴∠BAO=45∘，
∵ 点 B 与点 D 关于 x 轴对称，
∴∠DAO=∠BAO=45∘．
∴∠DAB=90∘．
∵ 抛物线 y=12x2+2x 经过点 A，O 两点，顶点是 B，点 B 与点 D 关于 x 轴对称，OD 为半径，
∴AD=OD，即点 A 在圆 D 上，
∴ 直线 AC 与 ⊙D 相切；
（3） 过点 P 作 PH⊥x 轴于 H，如图 2①，图 2②，
∵DA=DO，
∴∠DOA=∠DAO=45∘，
∴∠ADO=90∘，
∵E 为 ⊙D 优弧 AO 上一动点（不与 A，O 重合），
∴∠AEO=12∠ADO=45∘．
∵∠POA:∠AEO=2:3，
∴∠POA=23∠AEO=23×45∘=30∘．
∴ 直线 OP 的解析式为 y=33x，或 y=−33x．
①当直线 OP 的解析式为 y=−33x 时，如图 2①．
解方程组 y=−33x,y=12x2+2x,
得 x=0,y=0, 或 x=−233−4,y=23+433,
∴ 点 P 的坐标为 −233−4,23+443．
②当直线 OP 的解析式为 y=33x 时，如图 2②．
解方程组 y=33x,y=12x2+2x,
得 x=0,y=0, 或 x=233−4,y=23−433,
∴ 点 P 的坐标为 233−4,23−433，
综上所述，点 P 的坐标为 −233−4,23+433 或 233−4,23−433．
4. （1） 将 A4,0 代入 y=ax2−5ax+c，
得：16a−20a+c=0，
解得：c=4a．
（2） 当 a=12 时，c=2，
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−52x+2=12x−522−98．
∵a=12>0，
∴ 当 x=52 时，y 取得最小值，最小值为 −98．
（3） 当 a=−12 时，c=−2，
∴ 抛物线的解析式为 y=−12x2+52x−2=−12x−522+98．
∵a=−12