2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与四边形综合（三）（word版含答案）

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（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求此抛物线顶点 D 的坐标和四边形 ABCD 的面积．

2. 如图 1，抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A−1,0，B5,0 两点，点 P 为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求 ∠PAB 的正弦值；
（3）如图 2，四边形 MCDN 为矩形，顶点 C，D 在 x 轴上，M，N 在 x 轴上方的抛物线上，若 MC=8，求线段 MN 的长度．

3. 如图，已知二次函数 y=−x2+bx+c 的图象经过 A−2,−1，B0,7 两点．
（1）求该该抛物线的解析式及对称轴．
（2）当 x 为何值时，y>0?
（3）在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 l，与抛物线交于 C，D 两点（点 C 在对称轴的左侧），过点 C，D 作 x 的垂线，垂足分别为 F，E．当矩形 CDEF 为正方形时，求 C 点的坐标．

4. 如图，抛物线 y=−12x2+32x+2 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C．
（1）试求 A，B，C 的坐标；
（2）将 △ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180∘，得到 △BAD．
①求点 D 的坐标；
②判断四边形 ADBC 的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点 P，使 △BMP 与 △BAD 相似?若存在，请直接写出所有满足条件的 P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

5. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx−3 经过 A，B，C 三点，已知点 A−3,0，C1,0．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与 A，B 重合），
①过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，交直线 AB 于点 E，动点 P 在什么位置时，PE 最大，求出此时 P 点的坐标；
②如图 2，连接 AP，以 AP 为边作图示一侧的正方形 APMN，当它恰好有一个顶点落在抛物线对称轴上时，求出对应的 P 点的坐标．

6. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 经过点 A1,0 和点 B3,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点（不点 B，C 重合），过点 P 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 D，设点 P 的横坐标为 m．
①用含 m 的代数式表示线段 PD 的长．
②连接 PB，PC，求 △PBC 的面积最大时点 P 的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与 BC 交于点 E，点 M 是抛物线的对称轴上一点，N 为 y 轴上一点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 C，E，M，N 为顶点的四边形是菱形?如果存在，请直接写出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由．

7. 如图，二次函数 y=−16x2+32x+6 与 x 轴相交 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C．
（1）若点 E 为线段 BC 上一动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 P，垂足为 F，当 PE−2EF 取得最大值时，在抛物线 y 的对称轴上找点 M，在 x 轴上找点 N，使得 PM+MN+22NB 的和最小，若存在，求出该最小值及点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）在（1）的条件下，若点 Pʹ 为点 P 关于 x 轴的对称点，将抛物线 y 沿射线 BPʹ 的方向平移得到新的抛物线 yʹ，当 yʹ 经过点 A 时停止平移，将 △BCN 沿 CN 边翻折，点 B 的对应点为点 Bʹ，BʹC 与 x 轴交于点 K，若抛物线 yʹ 的对称轴上有点 R，在平画内有点 S，是否存在点 R，S 使得以 K，Bʹ，R，S 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点 S 的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2−2x+c 与直线 y=kx+b 都经过 A0,−3，B3,0 两点，该抛物线的顶点为 C．
（1）求此抛物线和直线 AB 的解析式；
（2）设直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB 上是否存在一点 M，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M，N，C，E 是平行四边形的四个顶点?若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点 P 是直线 AB 下方抛物线上的一动点，当 △PAB 面积最大时，求点 P 的坐标，并求 △PAB 面积的最大值．

9. 如图，抛物线 y=ax2+6x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直线 y=x−5 经过点 B，C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点 A 的直线交直线 BC 于点 M．当 AM⊥BC 时，过抛物线上一动点 P（不与点 B，C 重合），作直线 AM 的平行线交直线 BC 于点 Q，若以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标．

10. 如图，直线 y=−23x+4 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax2+103x+c 经过 B，C 两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当 △BEC 面积最大时，请求出点 E 的坐标．
（3）在（2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM，点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P，Q，A，M 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

11. 如图，平面直角坐标系中，点 A，B，C 在 x 轴上，点 D，E 在 y 轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，OB=1，DB⊥DC，直线 AD 与经过 B，E，C 三点的抛物线交于 F，G 两点，与其对称轴交于 M．点 P 为线段 FG 上一个动点（与 F，G 不重合），PQ∥y 轴与抛物线交于点 Q．
（1）求经过 B，E，C 三点的抛物线的解析式．
（2）是否存在点 P，使得以 P，Q，M 为顶点的三角形与 △AOD 相似?若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若抛物线的顶点为 N，连接 QN，探究四边形 PMNQ 的形状能否成为菱形?若能．请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．

12. 已知二次函数 y=ax2+bx+c，其图象与 x 轴的一个交点为 B3,0，与 y 轴交于点 C0,−3，且对称轴为直线 x=1，过点 B，C 作直线 BC．
（1）求二次函数和直线 BC 的表达式；
（2）利用图象求不等式 x2−3x≥0 的解集．
（3）点 P 是函数 y=ax2+bx+c 的图象上位于第四象限内的一动点，连接 PB，PC，
①若 △PBC 面积最大时，求点 P 的坐标及 △PBC 面积的最大值；
②在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以 P，C，Q，B 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

13. 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−18x2+14x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C，过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点 P．连接 AC．
（1）求点 P 的坐标及直线 AC 的解析式；
（2）如图 2，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OF，旋转角为 α0∘0，即 x−12