2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与三角形综合（一）（word版含答案）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与三角形综合（一）（word版含答案），共40页。
（2）若直线 l:y=−13x+8 与抛物线在第一象限交于点 B，交 y 轴于点 A，求 ∠ABD−∠DBE 的值．
（3）若有两个定点 F1,134，A0,8，请在抛物线上找一点 K，使得 △KFA 的周长最小，请求出周长的最小值．

2. 如图，抛物线 y=ax2+bx+2 经过 A−1,0，B4,0 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图 2，直线 l:y=kx+3 经过点 A，点 P 为直线 l 上的一个动点，且位于 x 轴的上方，点 Q 为抛物线上的一个动点，当 PQ∥y 轴时，作 QM⊥PQ，交抛物线于点 M（点 M 在点 Q 的右侧），以 PQ，QM 为邻边构造矩形 PQMN，求该矩形周长的最小值；
（3）如图 3，设抛物线的顶点为 D，在（2）的条件下，当矩形 PQMN 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 F，使得 ∠CBF=∠DQM?若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A−1,0，B3,0，与 y 轴交于点 C．
（1）b= ，c= ．
（2）若点 D 在该二次函数的图象上，且 S△ABD=2S△ABC，求点 D 的坐标．
（3）若点 P 是该二次函数图象上位于 x 轴上方的一点，且 S△APC=S△APB，直接写出点 P 的坐标．

4. 已知抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B3,0，与 y 轴交于点 C0,3，P 是线段 BC 上一点，过点 P 作 PN∥y 轴交 x 轴于点 N，交抛物线于点 M．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点 P 的横坐标为 2，点 Q 是第一象限抛物线上的一点，且 △QMC 和 △PMC 的面积相等，求点 Q 的坐标；
（3）如果 PM=32PN，求 tan∠CMN 的值．

5. 如图，直线 y=−x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 B，C，点 A 在 x 轴负半轴上，且 OA=12OB，抛物线 y=ax2+bx+4 经过 A，B，C 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 是第一象限内抛物线上的动点，设点 P 的横坐标为 m，过点 P 作 PD⊥BC，垂足为 D，用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值．

6. 如图所示，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象的顶点为 C，与直线 y=x+m 交于 A，B 两点，其中 A 点的坐标为 3,4，B 点在 y 轴上．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）连接 AC，求 ∠BAC 的正切值；
（3）点 P 为直线 AB 上一点，若 △ACP 为直角三角形，求点 P 的坐标．

7. 如图，在直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点 OA=1，OB=3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90∘，得到 △DOC，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A，B，C．
（1）求点 C 和点 D 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t，是否存在一点 P，使 △PCD 的面积最大?若存在，求 △PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．

8. 如图，直线 y=−12x+2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，已知二次函数的图象经过点 B，C 和点 A−1,0．
（1）求 B，C 两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点 D，则在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 △PCD 是等腰三角形?如果存在，请求出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

9. 如图，抛物线的顶点是 B2,−1，过点 A3,0．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在对称轴上找出点 P，使 △PAB 为等腰三角形，求点 P 的坐标．

10. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x−3 分别交 x 轴、 y 轴于 A，B 两点，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A 和点 B，且其顶点为 D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求 ∠BAD 的正切值；
（3）设点 C 为抛物线与 x 轴的另一个交点，点 E 为抛物线的对称轴与直线 y=x−3 的交点，点 P 是直线 y=x−3 上的动点，如果 △PAC 与 △AED 是相似三角形，求点 P 的坐标．

11. 在直角坐标系 xOy 中（如图），抛物线 y=ax2−2ax−3a≠0 与 x 轴交于点 A−1,0 和点 B，与 y 轴交于点 C．
（1）求该抛物线的开口方向、顶点 D 的坐标；
（2）求证：∠CBD=∠ACO；
（3）已知点 M 在 x 轴上，点 N 在该抛物线的对称轴上，如果以点 C，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 N 的坐标．

12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx−4 与 x 轴交于点 A−4,0 和点 B2,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求该抛物线的表达式及点 C 的坐标；
（2）如果点 D 的坐标为 −8,0，连接 AC，DC，求 ∠ACD 的正切值；
（3）在（2）的条件下，点 P 为抛物线上一点，当 ∠OCD=∠CAP 时，求点 P 的坐标．

13. 如图，抛物线 y=−12x2+bx+c 与 x 轴交于 A−1,0，B4,0，与 y 轴交于点 C．连接 AC，BC，点 P 在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，若点 P 在第四象限，点 Q 在 PA 的延长线上，当 ∠CAQ=∠CBA+45∘ 时，求点 P 的坐标；
（3）如图②，若点 P 在第一象限，直线 AP 交 BC 于点 F，过点 P 作 x 轴的垂线交 BC 于点 H，当 △PFH 为等腰三角形时，求线段 PH 的长．

14. 在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A−1,0 和点 B，与 y 轴交于点 C，顶点 D 的坐标为 1,−4．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图 1，若点 P 在抛物线上且满足 ∠PCB=∠CBD，求点 P 的坐标；
（3）如图 2，M 是直线 BC 上一个动点，过点 M 作 MN⊥x 轴交抛物线于点 N，Q 是直线 AC 上一个动点，当 △QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点 M 及其对应点 Q 的坐标．

15. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+6a≠0 与 x 轴交于点 A1,0，B−3,0，与 y 轴相交于点 C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，BC，求 △BCE 面积的最大值，并求出此时点 E 的坐标；
（3）点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90∘ 后，点 A 的对应点 Aʹ 恰好也落在此抛物线上，求点 P 的坐标．

16. 已知直线 l1：y=−2x+10 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B，二次函数的图象过 A，B 两点，交 x 轴于另一点 C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点 P1x1,y1，P2x2,y2，当 x1>x2≥5 时，总有 y1>y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线 l2：y=mx+n（n≠10），求证：当 m=−2 时，l2∥l1；
（3）E 为线段 BC 上不与端点重合的点，直线 l3：y=−2x+q 过点 C 且交直线 AE 于点 F，求 △ABE 与 △CEF 面积之和的最小值．

17. 已知二次函数图象过点 A−2,0，B4,0，C0,4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，当点 P 为 AC 的中点时，在线段 PB 上是否存在点 M，使得 ∠BMC=90∘?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点 K 在抛物线上，点 D 为 AB 的中点，直线 KD 与直线 BC 的夹角为锐角 θ，且 tanθ=53，求点 K 的坐标．

18. 如图，抛物线 y=3+36x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B 两点，点 A，B 分别位于原点的左、右两侧，BO=3AO=3，过点 B 的直线与 y 轴正半轴和抛物线的交点分别为 C，D，BC=3CD．
（1）求 b，c 的值；
（2）求直线 BD 的函数解析式；
（3）点 P 在抛物线的对称轴上且在 x 轴下方，点 Q 在射线 BA 上．当 △ABD 与 △BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标．

19. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A−1,0，B5,0 两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，连接 BC，且 tan∠CBD=43，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设 P 是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点 P 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 E，过点 E 作 EF⊥PE 交抛物线于点 F，连接 FB，FC，求 △BCF 的面积的最大值；
②连接 PB，求 35PC+PB 的最小值．

20. 如图所示，抛物线 y=x2−2x−3 与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 M 为抛物线的顶点．
（1）求点 C 及顶点 M 的坐标．
（2）若点 N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 BN，CN．求 △BCN 面积的最大值及此时点 N 的坐标．
（3）若点 D 是抛物线对称轴上的动点，点 G 是抛物线上的动点，是否存在以点 B，C，D，G 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线 CM 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EM 上的一个动点，是否存在以点 P，E，O 为顶点的三角形与 △ABC 相似．若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1. （1） 由题意抛物线 y=ax−12+3a 过点 D0,4，
∴a+3a=4，解得 a=1，
∴y=x−12+3，即 y2=x2−2x+4．
（2） 如图，连 DE 作 BS⊥y 轴于 S，
由题知 E1,3，A0,8，D0,4，
由 y=x2−2x+4,y=−13x+8, 解得 B3,7，
∴BD=7−42+32=32，DE=12+12=2，BE=3−12+7−32=25，
由 BD2+DE2=BE2 得 ∠BDE=90∘，且 BDDE=3，
又 ∵BDDE=BSAS，∠BDE=∠BSA=90∘，
∴△BSA∽△EBD，
∴∠ABS=∠EBD，
∴∠ABD−∠DBE=∠ABS+∠SBD−∠DBE=∠SBD，
∵SD=7−4=3，
∴△BSD 为等腰直角三角形，
∴∠SBD=45∘，即 ∠ABD−∠DBE=45∘．
（3） 设 kx,y，作 DT⊥x 轴于 T，则
KF=x−12+y−1342=y−32+y−1342=y−1142=y−114=KT−114,
∴C△AFK=AK+KF+FA=AK+KT−114+0−12+8−1342=AK+KT−114+3774,
则当 A，K，T 三点共线时，
C△AFKmin=AO−114+3774=8−114+3774=21+3774,
此时 K 在 D0,4 外．
2. （1） 设抛物线的表达式为 y=ax−x1x−x2 ，
即 y=ax+1x−4=ax2−3x−4=ax2−3ax−4a，
即 −4a=2，解得 a=−12，
故抛物线的表达式为 y=−12x2+32x+2．
（2） 将点 A 的坐标代入直线 l 的表达式得：0=−k+3，解得 k=3，
故直线 l 的表达式为 y=3x+3，
设点 Q 的坐标为 x,−12x2+32x+2，
则点 P 的坐标为 x,3x+3，
由题意得，点 Q，M 关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线 x=32，
故点 M 的横坐标为 3−x，
则 QM=3−x−x=3−2x，
设矩形周长为 C，
则 C=2PQ+QM=23−2x+3x+3−−12x2+32x+2=x2−x+8，
∵1>0，故 C 有最小值，
当 x=12 时，矩形周长最小值为 314．
（3） 当 x=12 时，y=−12x2+32x+2=218，
即点 Q 的坐标为 12,218，
由抛物线的表达式知，点 D 的坐标为 32,258，
过点 D 作 DK⊥QM 于点 K，
则 DK=yD−yQ=258−218=12，
同理可得，QK=1，
则 tan∠DQM=DKQK=12，
∵∠CBF=∠DQM，
故 tan∠CBF=tan∠DQM=12，
在 △BOC 中，tan∠CBO=COOB=24=12，
故 BF 和 BO 重合，
故点 F 和点 A 重合，
即点 F 的坐标为 −1,0，
当点 F 在直线 BC 的上方时，
∵AC=5，BC=25，AB=5，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90∘，
则点 A 关于 BC 的对称点 Aʹ1,4，
∴ 直线 BF 的解析式为 y=−43x+163，
由 y=−43x+163,y=−12x2+32x+2,
解得 x=4,y=0 或 x=53,y=289,
∴F53,289，
综上所述，满足条件的点 F 的坐标为 −1,0 或 53,289．
3. （1） −2；−3
【解析】∵ 点 A 和点 B 在二次函数 y=x2+bx+c 图象上，
则 0=1−b+c,0=9+3b+c, 解得：b=−2,c=−3.
（2） 连接 BC，
由题意可得：A−1,0，B3,0，C0,−3，y=x2−2x−3，
∴S△ABC=12×4×3=6，
∵S△ABD=2S△ABC，设点 Dm,m2−2m−3，
∴12×AB×yD=2×6，即 12×4×m2−2m−3=2×6，
解得：m=1+10或1−10，代入 y=x2−2x−3，
可得：y 值都为 6，
∴D1+10,6或1−10,6．
（3） 4,5
【解析】设 Pn,n2−2n−3，
∵ 点 P 在抛物线位于 x 轴上方的部分，
∴n3，
当点 P 在点 A 左侧时，即 n