2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与三角形综合问题（二）（含答案）

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（1）当点 P1 的横坐标逐渐增大时，△P1OA1 的面积将如何变化?
（2）若 △P1OA1 与 △P2A1A2 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及 A2 点的坐标．

2. 如图，已知 A−4,n，B2,−4 是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y=mx 的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求 △AOB 的面积；
（3）直接写出不等式 kx+b−mxk2x 的 x 的取值范围；
（2）求这两个函数的解析式；
（3）点 P 在线段 AB 上，且 S△AOP:S△BOP=1:2，求点 P 的坐标．

5. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两点，与 y 轴正半轴交于点 C，与 x 轴负半轴交于点 D，OB=5，tan∠DOB=12．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当 S△ACO=12S△OCD 时，求点 C 的坐标．

6. 如图，P1 是反比例函数 y=kxk>0 在第一象限图象上的一点，点 A1 的坐标为 2,0．
（1）当点 P1 的横坐标逐渐增大时，△P1OA1 的面积将如何变化?
（2）若 △P1OA1 与 △P2A1A2 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及 A2 点的坐标．

7. 如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB=90∘，OB=2，AB∥x 轴，双曲线 y=kx 经过点 B，将 △AOB 绕点 B 逆时针旋转，使点 O 的对应点 D 落在 x 轴正半轴上，AB 的对应线段 CB 恰好经过点 O．
（1）求证：△OBD 是等边三角形．
（2）求出双曲线的解析式，并判断点 C 是否在双曲线上．
（3）在 y 轴上是否存在一点 P，使 △PBD 的周长最小?若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 如图，已知反比例函数 y=kx 的图象与直线 y=ax+b 相交于点 A−2,3，B1,m．
（1）求出直线 y=ax+b 的表达式；
（2）在 x 轴上有一点 P 使得 △PAB 的面积为 18，求出点 P 的坐标．

9. 如图所示，已知点 D 在反比例函数 y=mx 的图象上，过点 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 B0,3．过点 A5,0 的直线 y=kx+b 与 y 轴交于点 C，且 BD=OC，tan∠OAC=25．
（1）求反比例函数 y=mx 和直线 y=kx+b 的解析式；
（2）连接 CD，试判断线段 AC 与线段 CD 的关系，并说明理由；
（3）点 E 为 x 轴上点 A 右侧的一点，且 AE=OC，连接 BE 交直线 CA 于点 M，求 ∠BMC 的度数．

10. 如图，一条直线与反比例函数 y=kx 的图象交于 A1,4，B4,n 两点，与 x 轴交于 D 点，AC⊥x 轴，垂足为 C．
（1）如图甲．
①求反比例函数的解析式．
②求 n 的值及 D 点坐标．
（2）如图乙，若点 E 在线段 AD 上运动，连接 CE，作 ∠CEF=45∘，EF 交 AC 于 F 点．
①试说明 △CDE∽△EAF．
②当 △ECF 为等腰三角形时，直接写出 F 点坐标 ．
答案
1. （1） 设 P1 点的坐标为 a,b，P1 是反比例函数 y=kxk>0 在第一象限图象上的一个点，
根据反比例函数的图象的性质，知 y 随 x 的增大而减小，即当 a 增大时，b 随之减小，
S△P1OA1=12OA1⋅b=b，
所以当 P1 点的横坐标逐渐增大时，
△P1OA1 的面积逐渐减小．
（2） 作 P1C⊥OA1 于点 C，P2D⊥A1A2 于点 D．
∵△P1OA1 为等边三角形，
∴OC=12×2=1，P1C=3，
∴P11,3，
代入 y=kx，得 k=3，
∴y=3x，
∵△P2A1A2 为等边三角形，设 A1D=c，
则 OD=2+c，P2D=3c，
∴P22+c,3c，
∵ 点 P2 在 y=3x 的图象上，
∴32+c=3c．
∴c2+2c−1=0，
∴c=−1±2，
∵c>0，
∴c=−1+2，
∴A1A2=−2+22，
∴OA2=OA1+A1A2=22，
∴A2 的坐标为 22,0，
∴ 反比例函数的解析式为 y=3x，点 A2 的坐标为 22,0．
2. （1） 把 B2,−4 代人 y=mx 得 m=2×−4=−8，
∴ 反比例函数解析式为 y=−8x，
把 A−4,n 代人 y=−8x 得 −4n=−8，
解得 n=2，
∴A 点坐标为 −4,2，
把 A−4,2，B2,−4 代人 y=kx+b 得
−4k+b=2,2k+b=−4.
解得 k=−1,b=−2.
∴ 一次函数解析式为 y=−x−2．
（2） 把 y=0 代入 y=−x−2 得 −x−2=0，
解得 x=−2，
∴C 点坐标为 −2,0，
∴S△AOB=SAOC+S△BOC=12×2×2+12×2×4=6.
（3） −4