人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率课堂检测

10.1.4　概率的基本性质

基础过关练

题组一　概率的基本性质及应用

1.(2020河南郑州一中高一期末)下列结论正确的是(　　)

A.事件A发生的概率P(A)=1.1

B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1

C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件

D.如果A⊆B,那么P(A)<P(B)　　　　　　 　　　　　 　　　　　

2.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

3.(2020辽宁省实验中学高一期末)下列说法正确的是(　　)

A.当A,B 不互斥时,可由公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)计算A∪B的概率

B.A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小

C.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件

D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大

4.(多选)在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法错误的是(　　)

A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件

B.(A1∪A2)∪A3是必然事件

C.P(A2∪A3)=0.8

D.P(A1∪A2)≤0.5

5. 给出下列命题:

①若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);

②若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;

③若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1.

其中错误命题的个数是　　　　. 

题组二　利用概率的基本性质求概率

6.如果事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率是(　　)

A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.0.2

7.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为 (　　)

A. B. C. D.

8.掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点,2点,3点,4点,5点,6点的概率均为,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)=(　　)

A. B. C. D.

9.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+(表示事件B的对立事件)发生的概率为(　　)

A. B. C. D.

10.(2020四川成都外国语学校高一月考)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　. 

11.射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:

求该选手射击一次,下列事件的概率.

(1)命中9环或10环;

(2)至少命中8环;

(3)命中的环数小于8.

12.(2020山东济南历城第二中学高一下检测)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动,规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球,若取出的两个小球的编号之和等于7,则中一等奖,等于6或5,则中二等奖,等于4,则中三等奖,其余结果不中奖.

(1)求中二等奖的概率;

(2)求不中奖的概率.

能力提升练

题组　利用概率的基本性质求概率

1.(2020湖北武汉华中师大一附中五校期末联考,)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.3,则P()=(　　)

A.0.5 B.0.2 C.0.7 D.0.8

2.(2020吉林省实验中学高二期末,)已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=(　　)

A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.9

3.()甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙两人下成和棋的概率是(　　)

A.60% B.30% C.10% D.50%

4.(2020四川成都七中高一期末,)在5件产品中,有3件一级品和2件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为的是(　　)

A.都是一级品

B.都是二级品

C.一级品和二级品各1件

D.至少有1件二级品

5.(2019吉林长春外国语学校高二上期末,)某人忘记了电话号码的最后一个数字,随意拨号,则拨号不超过三次能接通电话的概率为(　　)

A. B. C. D.

6.()一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,则摸出红球的概率为(　　)

A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4

7.(多选)()黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:

已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是　(　　)

A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64

B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29

C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1

D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1

8.()如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为　　　　,不命中靶的概率是　　　　　. 

9.()袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个,它们除颜色外完全相同,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是　　　　,　　　　,　　　　. 

10.()现有7名数理化成绩优秀者,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛.

(1)求C1被选中的概率;

(2)求A1和B1不全被选中的概率.

11.()甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.

(1)若事件A表示“和为6”,求P(A);

(2)现连玩三次,若事件B表示“甲至少赢一次”,事件C表示“乙至少赢两次”,试问B与C是不是互斥事件?为什么?

(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

答案全解全析

基础过关练

1.B　因为事件A发生的概率0≤P(A)≤1,所以A错误;不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,所以B正确;小概率事件是指这个事件发生的可能性很小,但并不是不发生,大概率事件是指这个事件发生的可能性较大,但并不是一定发生,所以C错误;由概率的性质5可知,如果A⊆B,那么P(A)≤P(B),所以D错误.

2.D　由题意得,

即

解得即<a≤,所以实数a的取值范围是.

3.A　根据概率的性质6,可知选项A正确.对于两个不可能事件来说,同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等,均为零,故B错误.当A,B是对立事件时,P(A)+P(B)=1,但由P(A)+P(B)=1不能得到事件A与B是对立事件,故C错误.事件A,B中至少有一个发生包括事件A发生且事件B不发生,事件A不发生且事件B发生,事件A,B同时发生;A,B中恰有一个发生包括事件A发生且事件B不发生,事件A不发生且事件B发生.当事件A,B互斥时,事件A,B同时发生的概率为0,所以事件A,B中至少有一个发生的概率等于事件A,B中恰有一个发生的概率,故D错误.

4.ABC　事件A1,A2,A3不一定两两互斥,所以P(A1∪A2)=P(A1)+ P(A2)- P(A1A2)≤0.5,P(A2∪A3)= P(A2)+P(A3)- P(A2A3)≤0.8,P[(A1∪A2)∪A3]≤1,所以(A1∪A2)+A3不一定是必然事件,无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件,所以A、B、C中说法错误.故选ABC.

5.答案　2

解析　只有当事件A,B为两个互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),故①不正确;只有事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω时,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,故②不正确;当A,B为互斥事件时,P(A)+P(B)=P(A∪B) ≤1,故③正确.

6.B　 因为事件A与B是互斥事件,

所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.

又因为P(A)=3P(B),所以P(A)=0.6.

7.C　记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E,则A,B,C,D,E两两互斥,取到理科书的概率为事件B,D,E概率的和.

∴P(B∪D∪E)=P(B)+P(D)+P(E)=++=.

8.C　记事件Ai=“出现i点(i=1,2,3,4,5,6)”,则A= A1∪A3∪A5,B= A1∪A2∪A3,A∩B= A1∪A3,

所以P(A)==, P(B)==, P(A∩B)==,

所以P(A∪B)=P(A)+ P(B)- P(AB)=.

9.C　由题意,知表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件互斥,由概率的加法计算公式可得P(A+)=P(A)+P()=+=.

10.答案　

解析　由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+=.

11.解析　记“射击一次,命中k环”为事件Ak(k=1,2,3,…,10).

(1)因为A9与A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.

(2)记“至少命中8环”为事件B,则B=A8∪A9∪A10,又A8,A9,A10两两互斥,所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.

(3)记“命中的环数小于8”为事件C,则事件C与事件B是对立事件,

所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.

12.解析　从五个小球中一次任意摸出两个小球,不同的结果有(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共10种.记两个小球的编号之和为x.

(1)记“中二等奖”为事件A.由题意可知,事件A包括两个互斥事件:x=5,x=6.

事件x=5的取法有2种,即(1,4),(2,3),故P(x=5)==;

事件x=6的取法有1种,即(2,4),故P(x=6)=,所以P(A)=P(x=5)+P(x=6)=+=.

(2)记“不中奖”为事件B,则“中奖”为事件,由题意可知,事件包括三个互斥事件:中一等奖(x=7),中二等奖(事件A),中三等奖(x=4).事件x=7的取法有1种,即(3,4),故P(x=7)=;

事件x=4的取法有(0,4),(1,3),共2种,故P(x=4)==.

由(1)可知,P(A)=.

所以P()=P(x=7)+P(x=4)+P(A)=++=.

所以不中奖的概率P(B)=1-=.

能力提升练

1.D　∵随机事件A和B互斥,∴P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.5-0.3=0.2,∴P()=1-P(A)=0.8.

2.C　因为P(C)=0.6,事件B与C对立,

所以P(B)=0.4,

又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.故选C.

3.D　“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件,“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”,故P(甲不输)=P(甲获胜)+P(甲、乙下成和棋),

所以P(甲、乙下成和棋)=P(甲不输)-P(甲获胜)=90%-40%=50%.

4.D　设A1,A2,A3分别表示3件一级品,B1,B2分别表示2件二级品.任取2件,则样本空间Ω={A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2},共10个样本点,每个样本点出现的可能性相等.

记事件A表示“2件都是一级品”,包含3个样本点,则P(A)=.

记事件B表示“2件都是二级品”,包含1个样本点,则P(B)=.

记事件C表示“2件中1件一级品、1件二级品”,包含6个样本点,则P(C)==.

事件A,B,C两两互斥,所以P(B)+P(C)=P(B∪C)=,而B∪C表示“至少有1件二级品”.故选D.

5.B　解法一:设“第i次能接通电话”为事件Ai(i=1,2,3),

借助树状图求出相应事件的样本点数:

因此,P(A1)=,

P(A2)==,P(A3)==,

所以拨号不超过三次能接通电话的概率为++=.故选B.

解法二:设“前三次都未接通”为事件A,

则P(A)==,

所以拨号不超过三次能接通电话的概率为1-P(A)=1-=.故选B.

6.B　设事件A=“摸出红球或白球”,事件B=“摸出黑球”,则事件A与事件B是对立事件,又∵P(A)=0.58,∴P(B)=1-P(A)=0.42.

设事件C=“摸出红球或黑球”,事件D=“摸出白球”,则事件C与事件D为对立事件,又∵P(C)=0.62,

∴P(D)=0.38.

设事件E=“摸出红球”,则P(E)=1-P(B∪D)=1-P(B)-P(D)=1-0.42-0.38=0.2.

7.AD　任找一个人,其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A'、B'、C'、D',它们两两互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“可以输给B型血的人”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64,故A正确;B型血的人能为B型、AB型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B错误;由O型血只能接受O型血的人输血知,C错误;由任何人的血都可以输给AB型血的人知,D正确.故选AD.

8.答案　0.55;0.10

解析　设射手命中圆面Ⅰ为事件A,命中圆环Ⅱ为事件B,命中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则P(A)=0.35,P(B)=0.30,P(C)=0.25,且A,B,C两两互斥,故射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.30+0.25=0.55,射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.

因为中靶和不中靶是对立事件,所以不命中靶的概率P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.

9.答案　;;

解析　设事件A,B,C,D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”,则事件A,B,C,D两两互斥,根据题意,得

解得P(B)=,P(C)=,P(D)=.

10.解析　 用(x,y,z)表示从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,则对应的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)},共12个样本点.

(1)记事件M=“C1被选中”,则M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1)},共6个样本点.因而C1被选中的概率P(M)==.

(2)记事件N=“A1,B1不全被选中”,则其对立事件=“A1,B1全被选中”.={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},共2个样本点,所以P()==.

由对立事件的概率公式得P(N)=1-P()=1-=.

11.解析　(1)易知样本点总数n=25,且每个样本点出现的可能性相等.

事件A包含的样本点共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),

所以P(A)==.

(2)B与C不是互斥事件.理由:因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次.

(3)这种游戏规则不公平.理由如下:

和为偶数的样本点有:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13个,所以甲赢的概率为,乙赢的概率为1-=,所以这种游戏规则不公平.