高中人教A版 (2019)10.3 频率与概率同步达标检测题

10.3　频率与概率

10.3.1　频率的稳定性

10.3.2　随机模拟

基础过关练　　　　　 　　　　　 　　　　　

题组一　频率与概率的意义

1.下列说法中正确的是(　　)

A.任何事件发生的概率总是在区间(0,1)内

B.频率是客观存在的,与试验次数无关

C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率

D.概率是随机的,在试验前不能确定

2.某人将一枚均匀的正方体骰子连续抛掷了100次,出现6点的次数为19,则(　　)

A.出现6点的概率为0.19

B.出现6点的频率为0.19

C.出现6点的频率为19

D.出现6点的概率接近0.19

3.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是(　　)

A. B. C. D.

4.(2019江苏无锡高一期末)某种彩票中奖的概率为,则下列说法正确的是(　　)

A.买10 000张彩票一定能中奖

B.买10 000张彩票只能中奖1次

C.若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张必中奖

D.买一张彩票中奖的可能性是

题组二　用频率估计概率

5.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:

则取到的号码为奇数的概率估计值是(　　)

A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37

6.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋,测得各袋的质量如下(单位:g):

492　496　494　495　498　497　501　502　504　496　497　503　506　508　507　492　496　500　501　499

用频率估计概率,该自动包装机包装的白糖质量在497.5~501.5 g之间的概率约为(　　)

A.0.16 B.0.25 C.0.26 D.0.24

7.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图所示:

(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;

(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.

题组三　用随机模拟方法估计概率

8.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于(　　)

A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数

C.随机数对应的结果 D.产生随机数的方法

9.掷两枚均匀的骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时,产生的整数随机数中,每　　　　个数字为一组(　　) 

A.1 B.2 C.9 D.12

10.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数a到整数b之间(包括a,b,且a<b)的每个整数出现的可能性是　　　　.  

11.一个盒中装有10支圆珠笔,其中7支一级品,3支二级品,任取一支,用随机模拟的方法求取到一级品的概率.

12.一个袋中有7个大小、形状相同的小球,其中6个白球,1个红球,现任取1个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取,试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.

能力提升练　　　

题组一　用频率估计概率

1.(2019广东深圳中学高二下期中,)港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米,桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100 km/h. 现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查,画出频率分布直方图(如图).根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的概率分别为(　　)

A.85,0.25 B.90,0.35

C.87.5,0.25 D.87.5,0.35

2.()在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的电话号码的尾数是奇数吗?”敏感的问题是:“你是否服用过兴奋剂?”然后要求被调查的运动员掷一枚均匀的硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“否”,由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.用这种方法调查了300名运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为(　　)

A.4.33% B.3.33%

C.3.44% D.4.44%

3.()某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;

(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

题组二　随机模拟方法的应用

4.(2020山东济南历城二中高一下月考,)为了配合新冠疫情防控,某市组织了以“停课不停学,成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动,为了了解一周内学生的线上学习情况,从该市抽取了1 000名学生进行调查,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图.

(1)为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300)的概率P,特设计如下随机模拟试验:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,依次用0,1,2,3,…,9的前若干个数字表示线上学习时间在[200,300)内,剩余的数字表示线上学习时间不在[200,300)内;再以每三个随机数为一组,代表线上学习的情况.

假设用上述随机模拟方法产生了如下30组随机数,请根据这批随机数估计概率P;

907　966　191　925　271　569　812　458　932　683　431　257　393　027　556　438　873　730　113　669　206　232　433　474　537　679　138　598　602　231

(2)为了进一步进行调查,用比例分配的分层随机抽样方法从这1 000名学生中抽取20名学生,在抽取的20人中,再从线上学习时间在[350,450)的同学中任意选择2名,求这2名同学来自同一组的概率.

答案全解全析

基础过关练

1.C　必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,所以任何事件发生的概率总在区间[0,1]内,故A中说法错误;B,D混淆了频率与概率的概念.故选C.

2.B　根据已知条件只能得到这100次随机试验中出现6点的频率为=0.19.

3.D　抛掷一枚质地均匀的硬币,每次都只出现两种结果:正面朝上,反面朝上,每种结果出现的可能性相等,故所求概率为.

4.D　彩票中奖的概率为是指买一张彩票中奖的可能性为,D正确;

买10 000张这种彩票中奖为随机事件,即买10 000张彩票,可能有一张中奖,可能有多张中奖,也可能不中奖,故A,B错误;

若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张彩票中奖的概率依然是,不是买10 000张彩票一定能中奖,C错误.故选D.

5.A　由题表得,取到的号码为奇数的频率是=0.53,所以取到的号码为奇数的概率的估计值为0.53.

6.B　样本中白糖质量在497.5~501.5 g之间的有5袋,所以该自动包装机包装的白糖质量在497.5~501.5 g之间的频率为=0.25,则概率约为0.25.

7.解析　(1)由题图得,甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.

(2)由题图得,甲、乙两品牌产品寿命大于200小时的共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是=,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.

8.B　随机数数量越多,概率越接近实际数.

9.B　由于掷两枚均匀的骰子,所以产生的整数随机数中,每2个数字为一组.

10.答案　

解析　[a,b]中共有b-a+1个整数,每个整数出现的可能性相等,所以每个整数出现的可能性是.

11.解析　设事件A=“取到一级品”,

①用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)或计算器产生1到10之间的整数随机数,用1,2,3,4,5,6,7表示取到一级品,8,9,10表示取到二级品;

②每一个数作为一组,产生N组随机数;

③统计其中出现1至7之间数的次数N1;

④计算频率fn(A)=,即为事件A发生的概率的近似值.

12.解析　本题答案不唯一.用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率,所以每三个随机数作为一组.

例如,产生20组随机数:

666　743　671　464　571　561　156

567　732　375　716　116　614　445

117　573　552　274　114　662

相当于做了20次试验,在这些数组中,前两个数字不是7,第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球,第三次摸到的是红球,它们分别是567和117,共两组,因此恰好第三次摸到红球的概率约为=0.1.

能力提升练

1.D　由题中直方图知,众数为=87.5,用频率估计概率得,行驶速度超过90 km/h的概率为0.05×5+0.02×5=0.35,故选D.

2.B　因为掷一枚硬币出现正面向上的概率为,所以大约有150人回答第一个问题,又电话号码的尾数是奇数的概率为,所以在回答第一个问题的150人中大约有75人回答了“是”,所以另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂.因此我们估计这群人中大约有×100%≈3.33%的人服用过兴奋剂.

3.解析　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.

由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.

由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,

故P(B)的估计值为0.3.

(3)由所给数据得下表:

调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a(元).

因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a元.

4.解析　(1)由频率分布直方图可知,线上学习时间在[200,300)的频率为(0.002+0.006)×50=0.4,所以可以用数字0,1,2,3表示线上学习时间在[200,300)内,数字4,5,6,7,8,9表示线上学习时间不在[200,300)内.观察题中随机数组可得,3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300)的有191,271,812,932,431,393,027,730,206,433,138,602,共12个.用频率估计概率可得,该市3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300)的概率P==0.4.

(2)抽取的20人中,线上学习时间在[350,450)的同学有20×(0.003+0.002)×50=5人,其中线上学习时间在[350,400)的同学有3名,设为A,B,C,线上学习时间在[400,450)的同学有2名,设为a,b,用(x,y)表示样本空间中的样本点,则从5名同学中任取2名的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本点,用M表示“2名同学来自同一组”这一事件,则M={(A,B),(A,C),(B,C),(a,b)},共4个样本点,所以P(M)==0.4.