高中4.5 函数的应用（二）第2课时练习

第三章　3.1　3.1.1　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．函数f(x)＝x＋的定义域是(　C　)

A．[2，＋∞)　　　　 B．(2，＋∞)

C．(－∞，2] D．(－∞，2)

[解析]　要使函数式有意义，则2－x≥0，即x≤2.所以函数的定义域为(－∞，2]．

2．函数y＝的定义域是(　C　)

A．{x|x>0} B．{x|x<0}

C．{x|x<0，且x≠－1} D．{x|x≠0，且x≠－1}

[解析]　∵∴∴

故选C．

3．函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1,2}的值域是(　A　)

A．{0,2,3} B．[0,3]

C．[0,3) D．[1,3)

[解析]　x＝－1时，f(－1)＝0；x＝1时，f(1)＝2；x＝2时，f(2)＝3.所以函数f(x)的值域为{0,2,3}．

4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　B　)

A．y＝ B．y＝

C．y＝ D．y＝x2＋x＋1

[解析]　A选项中，y的值可以取0；C选项中，y可以取负值；对D选项，x2＋x＋1＝(x＋)2＋，故其值域为[，＋∞)，只有B选项的值域是(0，＋∞)．故选B．

5．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是相等的函数，则函数y＝f(x)的定义域是(　A　)

A．[－3,1] B．(－3,1)

C．(－3，＋∞) D．(－∞，1]

[解析]　由于y＝f(x)与y＝＋是相等函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．故写成区间形式为[－3,1]．故选A．

6．若函数f(x)＝()2与g(x)＝x(x∈D)是相等函数，则D是(　C　)

A．(－∞，0) B．(0，＋∞)

C．[0，＋∞) D．(－∞，0]

[解析]　函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，即D＝[0，＋∞)．故选C．

二、填空题

7．函数y＝的定义域用区间表示为__(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4,6]__.

[解析]　要使函数有意义，需满足

即

∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．

8．函数f(x)＝＋的值域是__(，]__.

[解析]　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，≥，

∴0＜≤，＜f(x)≤.

9．若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则f(2x－1)的定义域为__[0,1)__.

[解析]　由y＝f(x)的定义域为[－1,1)，

则－1≤2x－1＜1，

解得0≤x＜1，

所以f(2x－1)的定义域为[0,1)．

三、解答题

10．求下列函数的值域．

(1)y＝2x＋1，x∈[1,5]；

(2)y＝－1；

(3)y＝.

[解析]　(1)∵1≤x≤5，∴2≤2x≤10，

∴3≤2x＋1≤11，所以函数的值域为{y|3≤y≤11}．

(2)∵≥0，∴－1≥－1.

∴函数y＝－1的值域为[－1，＋∞)．

(3)y＝＝

＝＝－.

∵≠0，∴y≠.

∴函数y＝的值域为.

11．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域．

(1)x∈R；

(2)x∈[0，＋∞)；

(3)x∈[－2,2]；

(4)x∈[1,2]．

[解析]　(1)∵y＝(x＋1)2－4，∴y≥－4，

∴值域为[－4，＋∞)．

(2)∵y＝x2＋2x－3的图象如图所示，当x＝0时，y＝－3，

∴当x∈[0，＋∞)时，值域为[－3，＋∞)．

(3)根据图象可得当x＝－1时，y＝－4；

当x＝2时，y＝5.

∴当x∈[－2,2]时，值域为[－4,5]．

(4)根据图象可得当x＝1时，y＝0；

当x＝2时，y＝5.

∴当x∈[1,2]时，值域为[0,5]．

B组·素养提升

一、选择题

1．函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝(　B　)

A．[－1，＋∞) B．[－1，)

C．(－1，) D．(－∞，)

[解析]　∵M＝{x|x<}，N＝{x|x≥－1}，

∴M∩N＝{x|－1≤x<}．故选B．

2．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g[f(x)]＝x的解集为(　C　)

A．{1} B．{2}

C．{3} D．∅

[解析]　由题意可知，当x＝1时，g[f(1)]＝g(2)＝2，不满足方程；

当x＝2时，g[f(2)]＝g(3)＝1，不满足方程；

当x＝3时，g[f(3)]＝g(1)＝3，满足方程，故选C．

3．(多选题)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中不能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　ACD　)

[解析]　A、C、D的值域都不是[1,2]，故选ACD．

4．(多选题)下列函数中，(0，＋∞)为该函数值域的子集的是(　ABC　)

A．y＝ B．y＝

C．y＝ D．y＝x2＋x＋1

[解析]　A中y＝的值域为[0，＋∞)；B中函数的值域为(0，＋∞)；C中y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；D中y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋的值域为[，＋∞)．

二、填空题

5．若函数f(x)＝ax2－1，a为正常数，且f[f(－1)]＝－1，则a的值是__1__.

[解析]　f(－1)＝a－1，∴f[f(－1)]＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，

∴a(a－1)2＝0，

又∵a>0，∴(a－1)2＝0，∴a＝1.

6．函数y＝(1≤x≤3)的值域为__[，8]__.

[解析]　∵1≤x≤3，∴1≤x2≤9，

∴≤≤1，∴≤≤8，

∴函数y＝(1≤x≤3)的值域为[，8]．

7．已知函数f(x＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f(2x－3)的定义域为__[1，]__.

[解析]　∵函数f(x＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x≤5，－1≤x＋3≤8，即函数f(x)的定义域为[－1,8]．

∴－1≤2x－3≤8，解得1≤x≤，∴函数f(2x－3)的定义域为[1，]．

三、解答题

8．已知函数f(x)＝x＋.

(1)求f(x)的定义域；

(2)求f(－1)，f(2)的值；

(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．

[解析]　(1)要使函数有意义，必须使x≠0，

∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.

(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.

9．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

[解析]　f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的图象是一条抛物线，它的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1,1)，开口向上，若存在实数m，使该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m]，则需m>1，且f(m)＝m，

即m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，

解得m＝3或m＝1(舍去m＝1)．

故存在实数m＝3满足条件．