高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式课后测评

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2.3一元二次不等式同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第一册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是

A. 或 B. 或
C.  D.

2. 一元二次方程的根为，，则当时，不等式的解集为 

A. 或 B. 或
C.  D.

3. 关于的不等式的解集为，则的最小值是   

A.  B.  C.  D.

4. 不等式的解集为 

A. 或 B.
C. 或 D.

5. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是   

A.  B.  C.  D.

6. 若不等式的解集为 则不等式 的解集是     

A.  B.
C.  D. 或

7. 如果关于的不等式的解集是，那么等于

A.  B.  C.  D.

8. 若关于的二次不等式的解集是，则

A.  B.  C.  D.

9. 若为的解集，则的解集为   

A. 或 B.
C.  D.

10. 若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为   

A. ， B. ， C. ， D. ，

11. 某产品的总成本万元与产量台之间的函数关系是，若每台产品的售价为万元，则生产者不亏本销售收入不小于总成本时的最低产量是

A. 台 B. 台 C. 台 D. 台

12. 已知不等式的解集是，则等于     

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 定义：闭区间的长度为已知二次函数，则不等式解集的区间长度为          ，不等式的解集的区间长度为，则实数的值是          ．
14. 函数的图象如图所示，则不等式的解集是          ，不等式的解集是          ．
     

15. 若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为          ，实数的取值范围为          ．
16. 已知不等式的解集为，不等式的解集为若关于的不等式的解集为，则          ；          ．
17. 若不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集为，则          ，          。

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 已知关于的不等式；

若，求不等式的解集．

若关于的不等式解集为，求的取值范围．






 

19. 若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知关于的不等式．

若不等式的解集为，求的值．

求关于的不等式其中的解集．






 

21. 已知关于的不等式；

若，求不等式的解集．

若关于的不等式解集为，求的取值范围．






 

22. 已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集；

，，，求证．






 

23. 已知函数．
    Ⅰ若不等式的解集是，求实数与的值；
    Ⅱ若，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次不等式的解法，一元二次方程的根与系数的关系．
由二次不等式的解集可得：，则不等式为，解一元二次不等式即可得解．

【解答】

解：由不等式的解集是，

得，解得：

则不等式为，即，

解得：或，

即不等式的解集为：或，

故选：．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次不等式的求解，属于基础题．
由题意得出，即，，代入不等式求解即可．
【解答】
解：一元二次方程的根为，，

，解得，，
不等式为，
，
不等式可化为，
解得．
故选D．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】 
本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、基本不等式的性质，属于中档题．
由不等式的解集为，利用根与系数的关系可得，，再利用基本不等式即可得出． 
【解答】
解：关于的不等式的解集为，
．
，，
，当且仅当时取等号，
的最小值是．
故选A．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
根据一元二次不等式与相应方程根的关系，即可得到结果．

【解答】

解：因为方程的两根为和，
所以不等式的解集为：或．
故选A．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了基本不等式性质的运用能力和计算能力．
根据不等式的解集为，利用韦达定理求出，，利用基本不等式的性质求解．

【解答】

解：不等式的解集为，
故，为对应方程的两个根，
根据韦达定理，可得：，，
那么：，
，
，
即，当且仅当时等号成立，
故的最大值为．
故选：．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次不等式的应用，关键是求出、、的关键．
根据题意，由一元二次不等式与一元二次方程的关系可得和是方程的两个根，进而有，，解可得、的值，即可得，解该不等式可得答案．
【解答】
解：根据题意，不等式的解集为，
则有和是方程的两个根，
则有，，
解可得：，，
，
解可得，
即不等式的解集为，
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系．
根据不等式的解集求出和的关系，再根据指数运算求出结果．

【解答】

解：根据题意，若不等式的解集是，

则与是方程的两个根，则有

解得，，

．
故选B．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

由不等式与相应方程的关系得：，是方程的两个根，再依据根与系数的关系即可求得，的值；
本小题主要考查一元二次不等式与一元二次方程、考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．

【解答】

解：关于的二次不等式的解集是，
，是方程的两根，

，，
．
故选：
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查一元二次不等式的解法，根据条件求出，的值是解决本题的关键，属于基础题．
根据不等式的解集得到，是对应方程的两个根，利用韦达定理求出，的值，即可解所求不等式的解．

【解答】

解：的解集为，
，是对应方程的两个根，
，
解得，，
则等价为，
即，
解得或，
即不等式的解集为．
故选D．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化思想的应用及二次函数在闭区间上的最值的求解，属于一般题．
由题意可知，是方程的根，利用根与系数的关系可求，，然后结合二次函数的性质可求．

【解答】

解：的解集为，
，是方程的根，

，，
则二次函数的图像开口向下，对称轴，
在区间上，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值．
故选B．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
总售价不小于总成本，则生产者不亏本，故令总售价大于或等于总成本，解出产量的取值范围，其中的最小值即是最低产量． 
【解答】
解：设利润为万元，
则，
令，得或舍去，
生产者不亏本时的最低产量是台．
故选B．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系，考查一元二次方程根与系数的关系问题，属于基础题．
根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出、的值，再求的值．

【解答】

解：不等式的解集是，
方程的实数根是和，
由韦达定理可知
解得：
．
故选：．

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次不等式解集的应用，体现了二次函数与一元二次方程相互转化关系的应用．
解出的解集，即可求出解集的区间长度；根据不等式与方程的关系，利用韦达定理求解即可．
【解答】
解：由可得：，
解得，、
所以区间长度为；
由得：，
设不等式的解为，
则，，
因为不等式的解集的区间长度为，
所以，
故，
即，
解得．
故答案为：；．  

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次不等式与相应函数和方程的关系，不等式求解和一元二次不等式的解法，属于中档题．
利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系得的解集为，再利用条件求得且，从而得不等式等价于，再计算得结论．
【解答】

解：由函数图象知，的解集为．

从而且．

解得且．

所以不等式等价于

解得
所以解集为．
故答案为：；．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查含参数的一元二次不等式解法，不等式的性质，属于拔高题．
先求解不等式的解集为，再利用不等式的性质判断左右端点的取值范围即可求解．

【解答】

解：方程的解为，
则不等式的解集为，
因为，所以，
，
若不等式有且只有两个整数解，
则这两个整数解应为和，故两个整数解之和为．
且，
得，因为，
所以解得．
故答案为．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应方程的关系，交集及其运算．
首先求出，从而得到的两个根，代入即可求解．

【解答】

解：由，得，解得，
所以，
由，得，解得，
所以，
所以，
因为关于的不等式的解集为，
所以，为方程的两根，
所以，解得．
故答案为；．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的求解，一元二次不等式与相应函数与方程的关系．
先解一元二次不等式得到，，则可求，进而知方程的两根为，，结合韦达定理可求．

【解答】

解：不等式的解集为，
即，解得，
，
不等式的解集为，
即，解得，
，
则；
不等式的解集为，
则方程的两根为，，
由韦达定理知，解得
．
故答案为；．

18.【答案】解：当时，原不等式可化为，
即，

解得或．
故不等式的解集为．

由不等式的解集为，
得不等式组．

解不等式组，得，
当时，两根相等，满足题意．

综上，的取值范围为．

【解析】本题考查含参数的一元二次不等式的解的问题，属于中档题．
当，原不等式可化为，利用一元二次不等式的解法即可求解
依题意得不等式组，得，当时，两根相等，满足题意，即可求解．
 

19.【答案】解：由题意，时，不等式等价于，显然恒成立。
当时，该不等式为一元二次不等式，又对恒成立，
根据其对应一元二次函数的图像性质可知，其开口必向下且对应一元二次方程无解，于是有

解得．
综上，根据分析可知实数的取值范围是．
由时，不等式等价于，显然对恒成立。
 下面对分两种情况考虑：
当时，
即考虑不等式对一切恒成立，
不等式可变形为，即，
解得．
 当时，
即考虑不等式对一切恒成立，
不等式可变形为，即，
解得。
综上所述，若不等式 对一切恒成立，
必有，
即。
 

【解析】本题考察了含参不等式恒成立问题，对参数分类讨论，并利用一元二次函数图像性质与其对应一元二次方程根的判别式可计算参数取值范围．
本题考察了含参不等式对参数所在区间的恒成立问题同考虑的情况，另外当时对不等式进行变形，将参数不等式化为常见的一元二次不等式，分类进行求解对这几种情况实数所在范围取交集运算，得到不等式对参数所在区间恒成立时实数的取值范围．
 

20.【答案】解：将代入，得，
所以不等式为，

再转化为  ，所以原不等式解集为，
所以；

不等式可化为，即  ，

因为，
当时，，不等式的解集为或；

当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或．
综上，

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或．

【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法，分类讨论思想，属于中档题．
根据题目条件，将代入求得的值，进而求解不等式的解集，解出的值．
将题目所给不等式转化为一元二次不等式形式，根据的取值，进行分类讨论，分别求解不等式的解集，最后综合得出结果．
 

21.【答案】解：当时，原不等式可化为，
即，

解得或．
故不等式的解集为．

由不等式的解集为，
得不等式组．

解不等式组，得，
当时，两根相等，满足题意．

综上，的取值范围为．

【解析】本题考查含参数的一元二次不等式的解的问题，属于中档题．
当，原不等式可化为，利用一元二次不等式的解法即可求解
依题意得不等式组，得，当时，两根相等，满足题意，即可求解．
 

22.【答案】解：解集为的一元二次不等式是，
即，即，
，，
不等式的解集为；
证明：，，，
，
，
，当且仅当时，等号成立，
，
当且仅当时，等号成立，
故．
 

【解析】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次方程的根与系数的关系，基本不等式的运用．
解集为的一元二次不等式是，整理可求出，的值，然后解不等式即可求出答案；
由基本不等式可得，故可证明．
 

23.【答案】解：Ⅰ由题意可得，且，是方程的根，
根据方程的根与系数的关系可得，，
，；
Ⅱ由题意知对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，，则．
函数图象的对称轴为直线，，，
函数在区间上先单调递增，后单调递减，
当时，，
解得，
又，所以实数的取值范围是
 

【解析】本题主要考查了二次函数的性质，考查了一元二次不等式与相应函数和方程的关系，考查了不等式的恒成立问题，属于中档题．
Ⅰ由题意可得，且，是方程的根，根据方程的根与系数的关系可求；
Ⅱ由已知可得对任意恒成立，构造函数，，则，结合二次函数的性质可求．