高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式复习练习题

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2.3.1一元二次不等式及其解法同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第一册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知不等式，则该不等式的解集是

A.  B.
C. 或 D. 或

2. 已知二次函数的部分对应值如下表．

则不等式的解集为                                        

A.  B.
C.  D.

3. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集为，则等于

A.  B.  C.  D.

4. 若不等式的解集是空集，则实数的取值范围是   

A.  B.
C.  D.

5. 不等式的解集是，则的解集是

A.  B.
C.  D.

6. 设，若关于的不等式在区间上有解，则

A.  B.  C.  D.

7. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为   

A.  B.
C.  D.

8. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是   

A. 或 B. 或
C.  D.

9. 已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是     

A.  B.
C.  D.

10. 若不等式的解集是，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为

A.  B.
C.  D. 或

12. 已知二次方程的一个根为，则另一个根为  

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 定义：闭区间的长度为。已知二次函数，则不等式解集的区间长度为          ，不等式的解集的区间长度为，则实数的值是          。
14. 已知不等式的解集为，则实数          ，          ．
15. 若不等式的解集为，则的值为          ，的值为          ．
16. 已知不等式的解集是，那么      ，      ．
17. 若不等式的解集为，则          ．          ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

18. 已知关于的不等式的解集为．
    求实数，的值；
    解关于的不等式：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知关于的不等式

若不等式的解集是，求的值；

若不等式的解集是，求的取值范围；

若不等式的解集为，求的取值范围．






 

20. 已知函数，
    若的解集是，求，的值；
    若，解关于的不等式．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知、都是正数．若，求的最小值．已知不等式的解集为或求实数，的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知关于的不等式．

若不等式的解集为，求实数的值；

不等式对恒成立，求实数的取值范围．






 

23. 设，，且，．

求、的值；

解不等式．






 

24. 已知函数，，
    若关于的不等式的解集为，求的值。
    若关于的不等式解集中恰好有个整数，求实数的取值范围。
    若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围。
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知，．

Ⅰ解关于的不等式；

Ⅱ若，是方程的两个实数根，且，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：不等式，化为，
因式分解为：，解得．
则该不等式的解集是．
故选：．
不等式，化为：，解出即可得出．
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数与对应一元二次不等式的应用问题，是基础题．
根据二次函数的部分对应值表，得出对应一元二次不等式的解集．
【解答】
解：根据二次函数的部分对应值表知， ，
且时，；
 时，； 
一元二次不等式的解集是 
故选B．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了分式不等式、一元二次不等式的解法，考查了一元二次方程的根与系数关系，是基础题．
分别化简集合与，取交集后得到不等式的解集，利用一元二次方程的根与系数关系列式求解和的值，则答案可求． 
【解答】
解：由得：，
．
由得：，
．
．
不等式的解集是，
即不等式的解集是．
，是方程的两根．
则，解得．
．
故选C．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题．
不等式的解集是空集，即，解不等式即可．

【解答】

解：不等式的解集是空集，
则，
解得．
故选B．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的求解，属于基础题．
由题意可得方程的两根分别为，；即可求出，代入不等式，即可求得解集．

【解答】

解：因为不等式的解集为，
所以方程的两根分别为，；
则，解得，
代入不等式得，
即，
解得，
即不等式解集为．
故选C．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围，解这类题通常分三种情况：，有时还需要结合韦达定理进行解决．
根据题意得不等式对应的二次函数开口向上，分别讨论三种情况即可．
【解答】
解：由题意得：当，
当
当，
综上所述：．
故选D．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查根与系数的关系问题．
根据不等式的解集求出、与的关系，由此化不等式为，求出解集即可．

【解答】

解：不等式的解集为，
所以
解得，，
所以不等式可化为，
即，解得；
故所求不等式的解集为 ．
故选B．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式的恒成立问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题．
根据题意，讨论的取值范围，求出满足条件的实数的取值范围．
【解答】
解：关于的不等式的解集为，
当时，不等式化为，解得，不合题意；
当时，应满足，
即，
解得；
实数的取值范围是．
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法，属于中档题．
先根据关于的一元二次不等式的解集为，得到，且和是一元二次方程的两根，由根与系数关系可得到，，，代入不等式化简后可解得．

【解答】

解：因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以，且和是一元二次方程的两根，
所以，解得
所以不等式可化为，即，
解得，
则不等式的解集是．
故选A．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题．
将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数，，从而求出所求．
【解答】
解：不等式的解集为
，为方程的两个根
根据韦达定理：
     
     
由解得：

故选B．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，属于基础题．
根据三个二次之间的关系求出，的值，然后代入到所求的不等式中求解即可．
【解答】
解：不等式的解集为，
方程的两根为，，且，
则，，
解得，，
则所求不等式可化为，
即，
解得，
则不等式的解集为．
故选A．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次方程根于系数的关系，属于基础题．
根据韦达定理可求另外一根．
【解答】
解：设另一根为，由韦达定理可知，，
即，
故选A．  

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题，

解出一元二次不等式，直接得出结果；

根据不等式与方程的关系，利用韦达定理求解即可．

【解答】
解：由可得：

，

解得，

所以区间长度为

由得：

，

设不等式的解为，

则，，

因为不等式的解集的区间长度为，

所以，

故，

即

解得

故答案为：；

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
画出函数的图象，可知，分类讨论：若，则不等式的解集分为两段区域，不符合题意，应舍去故，再利用，解得，即可．

【解答】

解：画出函数的图象，

可得，
由图象可知：若，则不等式的解集分两段区域，不符合已知条件；
因此，此时恒成立，
又不等式的解集为，
，，可得
，
由化为，
解得，或．
当时，由，
解得或，不符合题意，应舍去；
，此时．

故答案为；．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法，重点考查学生对一元二次不等式与一元二次方程间的关系的理解与应用，属于基础题．
根据题意可得：与是的解，由韦达定理可求得，．

【解答】

解：不等式的解集是，
与是的解，由韦达定理得：，
，
，
．
故答案为：；．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查一元二次不等式解集与相应一元二次方程根的关系，及韦达定理，由题意，不等式的解集是，的解为或，利用韦达定理即可得出．
【解答】
解：不等式的解集是，
则的解为或，
所以，解得．
故答案为；．  

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法，是基础的计算题．由不等式的解集得到不等式所对应的方程的根，然后利用根与系数关系列式求出，的值．

【解答】

解：因为不等式的解集为，
所以方程的两个根为，．
则，解得．
故答案为；．
 

18.【答案】解：由题意知，为关于的方程的两根，
则，，．
由，即，
解得：或，
故不等式的解集是或．
 

【解析】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
由题意知，为关于的方程的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可；
将，的值代入不等式，求出不等式的解集即可．
 

19.【答案】解：不等式的解集是或，
，且和是方程的实数根，
由一元二次方程根与系数的关系，得，
；
不等式的解集是，
，且，
解得；
不等式的解集为，得，且，
解得．
 

【解析】本题考查一元二次不等式与相应方程的关系，考查不等式的恒成立问题，属于中档题．
根据一元二次方程与对应的不等式的关系，结合根与系数的关系，求出的值；
根据题意，且，解得即可；
根据题意，得且，由此求出的取值范围．
 

20.【答案】解：由题意得，，是方程的两根，
所以，，解得，．
当时，即，
也即，
当时，由可得或；
当时，由可得；
当时，由可得或；
综上，当时，的解集为或；当时，的解集为；
当时，的解集为或．
 

【解析】由的解集是知，是方程的两根，由根与系数的关系可求，值；
把替换下，然后按照的两根大小关系分类讨论即可．
本题考查二次函数、二次方程、二次不等式间的关系，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的关键．
 

21.【答案】解：
，

当且仅当即时，取等号．

所以的最小值为．

因为不等式的解集为或．

所以与是方程的两个实数根，且，．

由根与系数的关系，

可得，．

解得：，．

【解析】本题考查了利用基本不等式求最值，根据“”的用法，，展开后利用基本不等式可得最小值．
本题考查了一元二次不等式的解法，由根与系数的关系，可得实数，的值．
 

22.【答案】解：由题意知且和是方程的两根，

所以，解得；

由题意，不等式对恒成立，

当时，不等式变为，不合题意；

当时，则，解得；

综上，实数的取值范围为．

【解析】本题考查了一元二次不等式与相应的一元二次方程以及二次函数的对应关系．
由已知得和是相应方程的两根且，利用根与系数的关系即可得出；
分情况讨论：当时，不等式变为，不合题意；当时，则，即可求出的取值范围．
 

23.【答案】解：集合或，
，，则，
所以，为方程的两根，

，

由知不等式为，
解得，
所以不等式的解集为．

【解析】本题考查了交集及其运算、并集及其运算和一元二次不等式的解法，是基础题．
根据集合，求得集合，由和求出集合，根据不等式的解集与方程根之间的关系，利用韦达定理即可求得，的值，从而求得结果．
由知不等式为，解不等式即可．
 

24.【答案】解：因为函数，，，
又的解集为，
所以，方程的两根，
由，解得
由得，
令，
则，知，
故解集中的个整数只能是，，或，，；
若解集中的个整数是，，，
则，得；
解集中的个整数是，，；
则，得；
综上，由知，实数的取值范围为或．
因为函数，，，
由在上恒成立，
知在上恒成立，
化简得，
设，
设，
因为在在上单调递增，
即，
所以．
 

【解析】本题考查了含有字母系数的函数与不等式、方程的应用问题，也考查了转化的思想的应用问题，是较难题．
根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出、的值；
由得，令，求出解集中恰有个整数时的取值范围即可．
由在上恒成立，知在上恒成立，化简得，设，，利用在上单调递增，求出的最大值，进一步求出实数的取值范围；
 

25.【答案】解：由，得 

当时，原不等式的解集为

当时，原不等式的解集为

当时，原不等式的解集为 

，是方程的两个实数根，等价于有两个实数根，

则

因为，所以，当且仅当，即时取等号

故的最小值为 ．

【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数根与系数的关系，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．
由，得，根据的取值范围分别求解不等式即可．
由题目条件，结合二次函数根与系数的关系，以及的条件利用基本不等式，可求的最小值．