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3.3幂函数同步练习湘教版（2019）高中数学必修第一册

查看最受欢迎《本章综合与测试》练习

2024-02-05 16:36
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湘教版（2019）第3章函数的概念与性质本章综合与测试课时训练

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这是一份湘教版（2019）第3章函数的概念与性质本章综合与测试课时训练，共24页。试卷主要包含了3幂函数同步练习，0分），【答案】B，【答案】A，【答案】D，【答案】C等内容，欢迎下载使用。

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3.3幂函数同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第一册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

下列函数中，与函数的值域相同的函数为

A. B. C. D.

设函数，则

A. 是奇函数，且在单调递增
B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增
D. 是偶函数，且在单调递减

设函数，则“该函数的图象过点”是“该函数为幂函数”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

已知点在幂函数的图象上，则函数是

A. 奇函数 B. 偶函数
C. 定义域内的减函数 D. 定义域内的增函数

已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数

A. B. C. D. 或

幂函数的图像经过点，则是

A. 偶函数，且在上是增函数
B. 偶函数，且在上是减函数
C. 奇函数，且在上是减函数
D. 非奇非偶函数，且在上是增函数

幂函数在为减函数，则的值为

A. 或 B. C. D.

函数在上的值域为

A. B. C. D.

已知，若，则下列各式中正确的是

A. B.
C. D.

已知函数是幂函数，对任意，且，满足，若，，且，则的值

A. 恒大于 B. 恒小于 C. 等于 D. 无法判断

若，则实数的取值范围为

A. B.
C. D.

已知幂函数的图像过，则下列结论正确的是

A. 的定义域为 B. 在定义域上为减函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数

二、多空题（本大题共6小题，共30.0分）

已知函数的定义域为，值域为，用含的表达式表示的最大值记为，最小值记为，设．

若，则；

当时，的取值范围为．

已知则，的最小值为
函数的图象为，直线，，与从左到右相交于点，，与从左到右相交于点，，四个交点从左到右为，曲线段在轴上投影的长度为，，则用表示；当变化时，的取值范围为．
已知幂函数过点，则若函数，则的值域为
已知幂函数的图象过点，则，由此，请比较下列两个数的大小：
已知幂函数的图象经过点，则函数，若，则实数的取值范围是．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

已知幂函数

试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性

若该函数的图象经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．

已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，

求函数的解析式；

求函数在区间上的值域．

已知函数为奇函数，其中为实数．
求实数的值；
若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数．

设，，，，生成函数若不等式在上有解，求实数的取值范围．

设函数，，是否能够生成一个函数且同时满足：是偶函数；在区间上的最小值为，若能够求函数的解析式，否则说明理由．

已知幂函数的图象过点．

求函数的解析式；

设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围．

今年的新冠肺炎疫情是世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库。已知建造隔离病房的所有费用万元和病房与药物仓库的距离千米的关系为：若距离为千米时，隔离病房建造费用为万元为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每公里成本为万元，设为建造病房与修路费用之和．

求的表达式；

当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值．

设常数，函数．

若，求的单调递减区间；

若为奇函数，且关于的不等式对所有的恒成立，求实数的取值范围；

当时，若方程有三个不相等的实数根、、，且，求实数的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的值域，属基础题．
首先求出的值域，根据条件逐项判断即可，

【解答】

解：函数的值域为，

而；；

．

只有．

故选B．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数奇偶性及复合函数单调性的判断，属于中档题．
先检验与的关系即可判断奇偶性，然后结合幂函数的性质、对勾函数的性质可判断单调性．

【解答】

解：函数的定义域为，
因为，
则，即为奇函数，
令，则，，
根据幂函数的性质可知，为增函数，
又在上为增函数，此时，
即函数是奇函数，且在单调递增．
故选A．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了充分、必要条件的判定和幂函数的性质，属于基础题．
通过幂函数的性质，得出必要性成立，通过举反例，得出充分性不成立．

【解答】

解：若函数为幂函数，则该函数的图象过点．
反之不成立，如函数的图象过，但不是幂函数．
“该函数的图象过点”是“该函数为幂函数”的必要不充分条件．
故选B．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与性质，属于一般题．
根据幂函数的定义与性质，列出方程求出与的值，求出的解析式，即可得出结论．

【解答】

解：幂函数的图象经过点，
且，
解得，；
在定义域上是奇函数，
且在，上分别单调递减，
故选A．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的值，根据幂函数的定义，令，求出的值，再判断是否满足幂函数在上为减函数即可．

【解答】

解：幂函数，
，解得，或；
又时为减函数，
当时，，幂函数为，在为减函数，满足题意；
当时，，幂函数为，在为增函数，不满足题意；
综上，，
故选A

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查幂函数性质，属中档题．
由幂函数经过点，求出幂函数的解析式，从而可得函数的奇偶性，以及在单调性．

【解答】

解：设幂函数的解析式为：，
将代入解析式得：
，解得，
，

则函数为非奇非偶函数，且在上是增函数，
故选D．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查幂函数的定义和性质，利用幂函数的定义先求出是解决本题的关键．属于基础题．
根据幂函数的定义和单调性求即可．

【解答】

解：为幂函数，
，
解得或．
由当时为减函数，
则，
解得．
，
故选C．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了利用对勾函数求值域，属于基础题．
由题可知，由对勾函数性质得出其单调性及最值，即可得出值域．

【解答】

解：依题意，，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数有最小值，因为，
故所求值域为，
故选C．

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查幂函数的单调性，考查比较大小，属于基础题．
根据幂函数的单调性，可得函数在上单调递增，结合，可得答案．
【解答】
解：因为，所以．
因为函数在上单调递增，
所以，
故选C．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的性质，单调性，幂函数的定义，属于拔高题．
由题意，判断出函数的单调性及奇偶性，再根据幂函数的性质求解．

【解答】

解：对任意，且，满足，得函数单调递增．
函数是幂函数，
则．
又函数单调递增，故，，
所以，
，且，，
所以．
故选：．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查利用幂函数的性质求解不等式，属于拔高题．
利用幂函数的性质得出关系式即可求出的取值范围．

【解答】

解：因为幂函数在和上都是单调递减的，

所以，由可得或或

解得或，

即实数的取值范围为．
故选：．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了幂函数的性质，是中档题．
先利用已知点求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质解题即可．

【解答】

解：设幂函数，
幂函数的图象过点，
，，
，
的定义域为，且在其定义域上是减函数，故选项A错误，选项B正确，
函数定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误，
故选B．

13.【答案】

【解析】

【分析】

此题考查利用数形结合研究函数的定义域、值域及最值，考查对数函数，属于中档题．
作出的图像，当时，值域为，令，解得或，结合图像，即可求得；当时，结合图像，分类讨论，求得，，从而求出，即可得到的取值范围．

【解答】

解：的图象如下：

当时，值域为，令，解得或，
令得，
定义域为，
，，或，，
，

由图象可知：当时，函数单调递减，令，则，

则有最小值，

当时，令，，则，，

所以有最大值为，

所以，

则令，，

所以，

根据对勾函数的性质，在上单调递减，上单调递增，
时，，时，，时，，
故．

故答案为，．

14.【答案】；．

【解析】

【分析】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和函数的单调性，属中档题．
由分段函数的特点易得的值；由二次函数和对勾函数的单调性即可得到答案．

【解答】

解：因为，
所以；
由题易知，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以的最小值为，
故答案为；．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查对数函数性质以及对勾函数求最值，属于中档题．
先分别用表示出和，然后再利用对勾函数性质求解范围即可．

【解答】

解：，直线，，
设其横坐标分别为，根据可知，，
则，，
，，
，
，
，
所以，
因为，在上单调递减，
且时，，
所以当，，
故答案为；

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的定义及二次函数的值域的求解，属于中档题．
由已知和幂函数的定义得，利用过点求出，然后通过换元，将问题转化为二次函数求解即可．

【解答】

解：因为函数为幂函数，
所以，
又幂函数过点，
所以，
所以，
则，
所以，
则，
令，则，，
则，
所以当即时，取得最大值，没有最小值，
所以的值域为．
故答案为．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，属于一般题．
用待定系数法求出幂函数的解析式，判断该函数是定义域上的偶函数，且在上是减函数；由此比较与的大小．

【解答】

解：幂函数的图象过点，
即，解得，
所以，其中；
所以是定义域上的偶函数，且在上是减函数；
由，
所以．
故答案为．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查实数的取值范围的求法，考查待定系数法求幂函数的解析式，幂函数的单调性的基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．
由幂函数的图象经过点，推导出，再由，列出不等式组，能求出实数的取值范围．

【解答】

解：设，由，得到，于是．
因为在单调递增，
且，
所以，
所以，所以．
故答案为；．

19.【答案】解：，，
而与中必有一个为偶数，
为正偶数．
函数的定义域为，
且在其定义域上为增函数．

函数的图象经过点，
，即，
，解得或．
又，，．
由，得，
解得．
实数的取值范围为

【解析】本题主要考查幂函数的图象和性质和利用单调性求参数的方法，属于拔高题．
将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性
将点的坐标代入，求出的值，再利用函数的单调性列出不等式，求出实数的取值范围即可．

20.【答案】解：当时，，
则，

又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
故．

由可得，，
令，，
则，

由对勾函数的性质可得，
，
，
，

函数在区间上的值域为

【解析】本题主要考查了函数的奇偶性，分段函数，函数的值域．
根据函数的奇偶性，即可求出函数在上的解析式；
由可得，，令，，则函数可化为，利用对勾函数的性质求出，即可求出的值域．

21.【答案】解由题意

，
因为，所以，

解得，
故实数的值为；

，则，则，

，在上单调递增，

因为函数为奇函数，

不等式，可转化为，

所以，

即，则，

令，则，

当时，，

当时，
，
令
由对勾函数性质可得在上单调递减，
所以，
所以，
综上所述，实数的取值范围为．

【解析】本题考查了函数奇偶性，单调性，不等式恒成立问题，考查了分析和转化能力，属于中档题．
根据奇函数，可得，代入函数解析式求解即可；
结合函数奇偶性和单调性，不等式在上恒成立可化为，参数分离，构造函数，求出即可求解．

22.【答案】解：由题意，，，，
，
不等式在上有解，
等价于在上有解，
令，则，由，
知取得最大值，．
设，
则．
由，得，
整理得，即，
即对任意恒成立，所以．
所以

设，，令，则，
由对勾函数的性质可知在单调递减，上单调递增，
在单调递增，
，且当时取到“”．
，
又在区间的最小值为，
，且，此时，，
所以．