高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式习题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式习题，共10页。

考点1 一元二次不等式及其应用
1.(2020全国Ⅰ(文),1,5分,)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=( )
A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}
2.(2020全国Ⅰ(理),2,5分,)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )
A.-4B.-2C.2D.4
3.(2019天津,10,5分,)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为 .
考点2 基本不等式及其应用
4.(2020天津,14,5分,)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为 .
5.(2020江苏,12,5分,)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 .
考点3 不等式的实际应用
6.(2019北京,14,5分,)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .
三年模拟练
1.(2020安徽淮北一中高二上期中,)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )
A.x|-3C.x|12.(2021湖南衡阳一中高一上期中,)已知实数m,n满足mn>0,则mm+n-mm+3n的最大值为( )
A.3+23B.3-23
C.2+3D.2-3
3.(2020江苏昆山第一中学高一月考,)若不等式ax+1x+b>1的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则x+abx-1≥0的解集为( )

A.-6,-14 B.[-1,1)
C.-6,-14 D.-14,1
4.(2021广东中山实验中学等四校高二上联考,)对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集不可能是( )
A.{x|x<-1或x>a}B.R
C.{x|-15.()已知正数x,y满足x+yx=2,且ax+xy(a>0)的最小值为2,则a的值为( )
A.3B.2C.1D.3
6.()中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=6,c=4,则此三角形面积的最大值为 .
7.(2020安徽池州东至第三中学高一期中,)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}(b>1).
(1)求a,b的值;
(2)当x>0,y>0,且满足ax+by=1时,有2x+y≥k2+k+2恒成立,求k的取值范围.
8.(2020河南郑州高二期末,)《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过,自2019年12月1日起施行.垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革,是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.所谓垃圾其实都是资源,当你放错了位置时它才是垃圾.某企业在市科研部门的支持下进行研究,把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品.已知该企业每周的加工处理量最少为75吨,最多为100吨.周加工处理成本y(元)与周加工处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=13x2-30x+2 700,且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.
(1)该企业每周加工处理量为多少吨时,才能使每吨产品的平均加工处理成本最低?
(2)该企业每周能否获利?如果获利,求出利润的最大值;如果不获利,则市政府至少需要补贴多少元才能使该企业不亏损?
9.(2020山东泰安第四中学高一月考,)我们学习了二元基本不等式,有如下结论:如果a>0,b>0,则ab≤a+b2,当且仅当a=b时,等号成立.利用基本不等式及其变形可以证明其他不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值.
(1)对于三元基本不等式,请猜想:设a>0,b>0,c>0,则 ≤a+b+c3,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全即可,不需要证明);
(2)利用(1)中猜想的三元基本不等式证明:
当a>0,b>0,c>0时,(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc;
(3)利用(1)中猜想的三元基本不等式求最值:
设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.
答案全解全析
五年高考练
1.D 由x2-3x-4<0,得(x-4)(x+1)<0,解得-12.B 由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=x|x≤-a2,
又∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-a2=1,
∴a=-2.故选B.
3.答案 x|-1解析 3x2+x-2<0⇔(x+1)(3x-2)<0,所以-14.答案 4
解析 12a+12b+8a+b=a+b2ab+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4,
当且仅当a+b2=8a+b,即(a+b)2=16,亦即a+b=4时取等号.
又∵ab=1,∴a=2+3,b=2-3或a=2-3,b=2+3时取等号,
∴12a+12b+8a+b的最小值为4.
5.答案 45
解析 由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=1-y45y2,∴x2+y2=1-y45y2+y2=1+4y45y2=15y2+4y25≥2425=45,当且仅当15y2=4y25,即y2=12,x2=310时取“=”.故x2+y2的最小值为45.
6.答案 ①130 ②15
解析 ①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130(元).
②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)×80%≥m×70%,
所以x≤m8,而m≥120,
为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,所以x≤m8min,而m8min=15,则x≤15.
所以x的最大值为15.
三年模拟练
1.D 由题意得集合A={x|132,所以A∩B=x|322.D ∵mn>0,
∴mm+n-mm+3n=2mnm2+4mn+3n2=2mn+3nm+4≤223+4=2-3,
当且仅当mn=3nm,即m=3n时取等号,故mm+n-mm+3n的最大值为2-3.
故选D.
3.C 不等式ax+1x+b>1可化为[(a-1)x-b+1]·(x+b)>0.
因为其解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),
所以a-1>0,即a>1,且方程(ax-x-b+1)(x+b)=0的两个根为x1=-1,x2=4,
则-a+1-b+1=0,4+b=0或4a-4-b+1=0,-1+b=0,
解得a=6,b=-4或a=1,b=1(舍去),
所以x+abx-1≥0可化为x+6-4x-1≥0,
整理得(x+6)(-4x-1)≥0,-4x-1≠0,
解得-6≤x<-14,
所以不等式的解集为-6,-14.故选C.
4.B 当a>0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)>0,解得x>a或x<-1;
当a=0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为0>0,此时不等式无解;
当-10可化为(x-a)(x+1)<0,解得-1当a=-1时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x+1)2<0,此时不等式无解;
当a<-1时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)<0,解得a故A、C、D都有可能,B不可能.
故选B.
5.C 因为正数x,y满足x+yx=2,
所以ax+xy=12×ax+xyx+yx
=12a+1+ayx2+x2y
≥12a+1+2ayx2·x2y
=12(a+1+2a),
当且仅当ayx2=x2y时,等号成立,所以ax+xy的最小值为12(a+1+2a),
令12(a+1+2a)=2,结合a>0,解得a=1.故选C.
6.答案 25
解析 由已知条件可得p=a+b+c2=5,
∴三角形的面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)=5(5-a)(5-b)≤5(5-a+5-b)2=25,
当且仅当a=b=3时,等号成立.
因此,三角形面积的最大值为25.
7.解析 (1)因为不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}(b>1),
所以1和b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根且a>0,
所以1+b=3a,1·b=2a,解得a=1,b=2.
(2)由(1)知a=1,b=2,于是有1x+2y=1,
故2x+y=(2x+y)1x+2y=4+yx+4xy≥8,当且仅当yx=4xy,即x=2,y=4时,等号成立,依题意,有(2x+y)min≥k2+k+2,即8≥k2+k+2,
得k2+k-6≤0,解得-3≤k≤2,所以k的取值范围为-3≤k≤2.
8.解析 (1)由题意可知,
每吨产品的平均加工处理成本为yx=x3+2 700x-30≥2x3·2 700x-30=30,
当且仅当x3=2 700x,即x=90(吨)时,才能使每吨产品的平均加工处理成本最低.
(2)设该企业每周获利为s元,则s=16x-y=-13x2+46x-2 700=-13(x-69)2-1 113,
∵75≤x≤100,∴当x=75时,smax=-1 125.
故该企业每周不能获利,市政府每周至少需要补贴1 125元才能不亏损.
9.解析 (1)对照二元基本不等式,可以得到当a>0,b>0,c>0时,3abc≤a+b+c3,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)证明:由(1)可得当a>0,b>0,c>0时,a2+b2+c23≥3a2b2c2,
∴a2+b2+c23·a+b+c3≥3a2b2c2·3abc=3a3b3c3=abc,
∴(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc.
(3)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≤(b+c)+(a+c)+(a+b)33=23(a+b+c)3=233=827,当且仅当b+c=a+c=a+b,即a=b=c=13时取等号,故(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为827.